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1、不定积分解题方法及技巧总结不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。 2.第一类换元法。 设f()具有原函数F()。则 fj(x)j(x)dx=fj(x)dj(x)=Fj(x)+C 其中j(x)可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观
2、察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：ln(x+1)-lnxdx x(x+1)111-=- x+1xx(x+1)(ln(x+1)-lnx)=ln(x+1)-lnx12dx=-(ln(x+1)-lnx)d(ln(x+1)-lnx)=-(ln(x+1)-lnx)+Cx(x+1)2例2：1+lnxdx (xlnx)2(xlnx)=1+lnx 1+lnxdxlnx1dx=-x(x+1)2(xlnx)2xlnx+C 3.第二类换元法： 设x=j(t)是单调、可导的函数，并且
3、j(t)0.又设fj(t)j(t)具有原函数，则有换元公式 f(x)dx=fj(t)j(t)dt 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种： (1)a2-x2：x=asint；x=acost(2)x2+a2：x=atant；x=acott；x=asht (3)x2-a2：x=asect；x=acsct；x=achtn(4)nax+b：ax+b=t(5)nax+bnax+b：=tcx+dcx+d1(6)当被积函数含有xmax2+bx+c，有时倒代换x=也奏效。t 当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。 sinxdxt=x2tsintdt=-2(
4、tcost-costdt)=-2tcost+2sint+C=-2xcosx+2sinx+C 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， x=-=-=-dxx12-11x=1tt11tt61-t11212-11-t2dttdt=-dt6t51-t12dt161-t121arcsinx-6+c6当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。 sinxdxt=x2tsintdt=-2(tcost-costdt)=-2tcost+2sint+C=-2xcosx+2sinx+C 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， x=-=-=-dxx12-11x=1tt11tt61-t11212-11-t2dttdt=-d
5、t6t51-t12dt161-t121arcsinx-6+c64.分部积分法. 公式：mdn=mn-mdn 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取m、n时，通常基于以下两点考虑： 降低多项式部分的系数 简化被积函数的类型 举两个例子吧！ 例3：x3arccosx1-x2dx 观察被积函数，选取变换t=arccosx,则 x3arccosx1-x2cos3tdx=t(-sint)dt=-tcos3tdt= sint132t(sint-1)dsint=td(3sint-sint)=11tsin3-tsint-(sin3t-sint)dt=3311 ts
6、in3-tsint+(sin2t-1)dcost=33121tsin3-tsint-cost-cos3t+C=339121-x3-x-(x2+2)1-x2arccosx+C933例4：arcsin2xdx 22arcsinxdx=xsinx-x2arcsinx11-x2dxxarcsinx+2arcsinxd1-x2=xarcsinx+21-x2arcsinx-1-x2xarcsinx+21-x2arcsinx-2x+C21-x2dx= 上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在mdn=mn-mdn中，m、n的选取有下面简单
7、的规律： (1)m=Pm(x)，n=eax,sinax,cosax(2)m=lnx,arctanx,arcsinx，n=Pm(x)(3)m=e，n=cosbx,sinbx将以上规律化成一个图就是： Pm(x) 情况，有两个通用公式： eaxI1=esinbxdx=2(asinbx-bcosbx)+Ca+b2 eaxaxI2=ecosbxdx=2(acosbx+bsinbx)+Ca+b2ax5 不定积分中三角函数的处理 1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。 被积函数 1dx上下同乘sinx变形为 22sinx+cosx1cosxd(cosx)dx=- sinx+cosx1-cos2x(
8、1+cosx)()令u=cosx，则为 udu111=(-1-u2(1+u)2(1+u)24(1+u)4(1-u)du111+cosx=-ln+c 2(1+cosx)41-cosx1x1x=lntan2-sec2+c-()22422.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意sin2x+cos2x=1的使用。 sinxcosx1(sinx+cosx)-1dx=dxsinx+cosx2sinx+cosx1dx=sinx-cosx- 22sin(x+p/4)2=1xp(sinx-cosx)-1lntan2+8+c222 三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使
9、用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。 3. 函数的降次 形如sinmxcosnxdx的积分 当m为奇数时，可令u=cosx，于是 sinxcosxdx=-sinsinmmnm-1xcosxdcosx=-1-un(2)m-12undu， 转化为多项式的积分 当n为奇数时，可令u=sinx，于是 xcosxdx=nsinmxcosn-1xdsinx=u(1-u)m2u-12du， 同样转化为多项式的积分。 当m，n均为偶数时，可反复利用下列三角公式： 1sin2x,21-cos2x sin2x=, 21+cos2xcos2x=,2sinxcosx= 不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种
10、情形之一为止。 形如tannxdx和cotnxdx的积分 令u=tanxdx，则x=arctanu，dx=du，从而 1+u2tannxdx=undu, 21+u 已转化成有理函数的积分。 类似地，cotnxdx可通过代换u=cotx转为成有理函数的积分。 形如secnxdx和cscmxdx的积分 当n为偶数时，若令u=tanx，则x=arctanu,dx=du，于是 21+usecnxdx=(1+tanx)dx22n=(1+u)n221du=1+u2(1+u)22-1ndu 已转化成多项式的积分。 类似地，cscnxdx可通过代换u=cotx转化成有理函数的积分。 当n为奇数时，利用分部积分
11、法来求即可。 4.当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。 2xsinxdx=121x-4411=x2-44=1-cos2x11dx=x2-xcos2xdx2421211()xdsin2x=x-xsin2x+sin2xdx 4441xsin2x-cos2x+c8x5.几种特殊类型函数的积分。 有理函数的积分 有理函数P(x)P*(x)P*(x)先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干Q(x)Q(x)Q(x)dx(a2+x2)n个部分分式之和。 222n-122a(n-1)(x+a)2a(n-1)1.有理真分式化为部分分式之和求解 简单的有理真分式的拆分 ( 1dx=x1+x4)1x3x-
12、1+x4dx 1ln1+x4+c4注意分子和分母在形式上的联系 =lnx-x(3+x)7dx= =1311lntln(3+t)-dt=-+c 3+t33t(x6dxdt7t=xt(3+t)x73+x7)lnx7-ln3+x7=+c3 此类题目一般还有另外一种题型： ()()=x+11dx=2x2+2x+51lnx2+2x+5+c2()2x+2dx2x+2x+5 2.注意分母有理化的使用 dx2x+3+2x-1=2x+3-42x-13311(2x+3)2-(2x+3)2+C=1212x6+x4-4x2-2dx 例5：x3(x2+1)2x6+x4-4x2-2x6+x44x2+2x4x2+2=32-
13、32=2-32 322222x(x+1)x(x+1)x(x+1)x+1x(x+1)x12dx=ln(x+1)+C2x+12 2224x+24x+22x+122dx=xdx=x3(x2+1)2x4(x2+1)2x4(x2+1)2dxm=x2m+1(m+1)2-m2m2(m+1)2dm=m2(m+1)2dm=11111(m2-(m+1)2)dm=m+1-m+C=-x2(x2+1)+C故不定积分求得。 三角函数有理式的积分 x2tan2sinx=x1+tan22 万能公式：x1-tan22cosx=2x1+tan2P(sinx,cosx)xdx可用变换t=tan化为有理函数的积分，但由于计算较烦，Q
14、(sinx,cosx)2应尽量避免。 对于只含有tanx的分式，必化成sinxcosx。再用待定系数 或cosxsinxA(acosx+bsinx)+B(acosx+bsinx)来做。 acosx+bsinx 简单无理函数的积分 一般用第二类换元法中的那些变换形式。 像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x和1+x时，可令x=tan2t；同时出现x和1-x时，可令x=sin2t；同时出现1-x2和arcsinx时，可令x=sint；同时出现1-x2和arccosx时，可令x=cost等等。 善于利用ex，因为其求导后不变。 ex(x+1)exx1+xexdx=1tt=xexdt=ln+ct(1
15、+t)1+tx+1dx=xx1+xe()()1xdxexex1+xex()xex=ln+cx1+xe 这道题目中首先会注意到xex，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为ex+xex与分母差ex，另外因为ex求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以ex。 某些题正的不行倒着来 =lnsinx1u2lnudxsinx=2usinx11-21u2duuulnuu2-12du=2lnudu-1u-1lnu-u2-1duu=u2-1tanyduu=secysecytanydy usecytan2ydy=tany-y+c原式=-sinxd(cotx)=-cotxlnsinx+=-cotxlnsinx+
16、=-cotxlnsinx+cotxd(lnsinx)cosxcosxdxsinxsinx2cotxdx=-cotxlnsinx-cotx-x+c 这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用u=sinx，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当u=sinx这类一般的换元法行不通时尝试下题中的反证法。 注意复杂部分求导后的导数 1u=sinx。这种思路类似于证明lnx+2t+2dxt=lnxdt 22txlnx1-2xlnxt1-2te()()注意到: 1-6t2et-2t3ety1=t-2t3ett-2t3et y2=3tt-2te1-2t2ety3=t1-
17、2t2et()Qt+2=y1-y2-3y3 2tt1-2te()t+2dt=2tt1-2te3t()=ln(t-2te)-t-3lnt+c1-6t2et-2t3etdt-3tt-2tet-2t3et1-2t2ett-2t3etdt-3t1-2t2etdt()=lnlnx-2(lnx)elnx-lnx-3lnlnx+c3()本题把被积函数拆为三部分：y1,y2,y3，y1的分子为分母的导数，y2的值为1，y3的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。 对于R(x,ax2+bx+c)考虑D=b2-4ac的符号来dx(a=/0)型积分，确定取不同的变换。 如果D0，设方程ax2+bx+c=0两个实根为a,b，令 可使上述积分有理化。 如果D0，则方程ax2+bx+c=0没有实根，令 ax2+bx+c=t(x-)， ax2+bx+c=axt， 可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设 ax2+bx+c=xtc， 至于采用哪种替换，具体问题具体分析。
