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1、不定积分难题集锦第三部分 不定积分 第 1 页 共 6 页 98 x2arctanxdx=( ) 21+x11xarctanx-ln(1+x2)-(arctanx)2+c 2212(B) xarctanx-ln(1+x)+c 21122(C) xarctanx-ln(1+x)+(arctanx)+c 2211ln(1+x2)-(arctanx)2+c (D) 22lnsinxdx=( ) 992sinx(A) cotxlnsinx-cotx-x+c xlnsinx+cotx-x+c -cot-cot-cot103设xlnsinx-cotx+x+c xlnsinx-cotx-x+c sinx，则
2、f(sinx+1)cosxdx=( ) xsin(sinx+1)sin(sinx+1)+c +c xsinx+1f(x)的一个原函数为sin(sinx+1)+c sinxsin(sinx+1)sin(x+1)arcsinexdx=( ) 104 xe-x+ln(1-x+ln(1-1-e2x)+c 1-ex)+c dx=( ) -x-ln(1-x-ln(1-1-e2x)+c 1-ex)+c 105 x-2x-2x+102-x2-2x+10-ln(x-1+x2-2x+10)+c x2-2x+10-ln(x-1+x2-2x+10)+c x2-2x+10+ln(x-1+x2-2x+10)+c x2-2
3、x+10+ln(x-1+x2-2x+10)+c 1 第三部分 不定积分 第 2 页 共 6 页 106设I=1-tanxdx ,则( ). 1+tanxcosx-sinxcos2x-sin2xcos2xdxd(sin2x) (A).I=dx=dx=cosx+sinx(cosx+sinx)21+sin2x1+sin2x =ln1+sin2x+C; (cosx-sinx)21-sin2xdcos2xdx=dx=sec2xdx+ (B).I=cos2xcos2x cos2-sin2x =lnsec2x+tan2x (C).令tan+lncos2x+C; dttdt2-1+t1+t2=ln1+tanx
4、-lnsec+C ； d(cosx+sinx)=lncosx+sinx+C. (D).I=cosx+sinxdx107设I=， 则( ). 22sinx+2cosxx=t,I= (A). I=d(tanx)1x=arctan+C; 2tanx+222dx=arctan(cosx)+C; 21+cosx (B).I=xtan=t2 (C).I=2dt2dt-1t-1dt1+t=-=arctan+C =2t(t-1)2-21-t21+2t-t222+21+t21+t2tanarctanx-12+C. 2 (D).I=12108设f(x)有原函数xlnx， 则xf(x)dx=。 21111(+lnx
5、)+C; (B).x2(+lnx)+C; 2442112121(C).x(-lnx)+C; (D).x(-lnx)+C. 4224(A).x109设x+1f(x)=1-xe2x0x0，则下列选项不是f(x)的原函数者为 ( ) 2 第三部分 不定积分 第 3 页 共 6 页 12x+x2F(x)=-1e-x2x0x012x+x+12 F(x)=-1e-x+322112x+x-22F(x)=1-x-e2x0x012x+x2F(x)=-1e-x+122110设x0x0x0x0f(x)的一个原函数是F(x)，g(x)是f(x)在区间I上的反函数，g(x)的一个原函数为G(x)，则下列选项中正确的是
6、( ) F(x)G(x)111设=1 f(x)g(x)=1 dF(g(x)=1 dxdG(f(x)=1 dxf(x)的一个原函数是F(x)，g(x)是f(x)在区间I上的反函数，g(x)的一个原函数为G(x)，则下列选项中不正确的是 ( ) F(x)G(x)=1 f(x)g(x)=1 dG(f(x)=xf(x) dxdF(g(x)x=dxf(x)cosxsinx+cosxdx 等于( ) 1 (x+ln|sinx+cosx|)+c ln|sinx+cosx|+c 2112积分 sinx+ln|sinx+cosx|+c x+ln|sinx+cosx|+c 113积分 dx(2+sinx)cosx
7、 等于( ) 1cosx1ln|+ln|tanx+secx|+c ln(2+sinx)+ln|cosx|+c 22+sinx211(sinx+1)2 ln+c secx+ln(2+sinx)+c 23(2+sinx)|cosx|114dxsinx-sin1 等于( ) 1x-1x+1ln|sin|-ln|cos|+ccos122 ln|cotx-cscx|+c 3 第三部分 不定积分 第 4 页 共 6 页 1x+1x-1-ln|sin|ln|cos|+ccosx-cos122|+c cos1 ln| sinx-sin1dx115 等于( ) cosx+cos21x-2x+2ln|cos|-l
8、n|cos|+c ln|secx+tanx|+c sin1221x-2x+2xxln|sin|-ln|cos|+c ln|tan+sec|+c cos22222sinx116设f(x)有一个原函数是，则xf(x)dx=。 x2sinx+c -cosx+c cosx-xsinx+c，因f(x)未知，故只能计算到此。 xf(x)-xdx2 (2sinx-2xcosx-xsinx)2，这是一个不能用初等函数表示的积分。 x1-tanxdx= ( ) 117 1+tanx(A) ln|1+sin2x|+c (B) ln|sec2x+tan2x|+ln|cos2x|+c (C) ln|1+tanx|-l
9、n|secx|+c (D) ln|cosx+sinx|+c 118设xln(A) x2x是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx= ( ) 1111(+lnx)+c (B) x2(+lnx)+c 2442112121(C) x(-lnx)+c (D) x(-lnx)+c 4224119已知f(lnx)=x，其中1x+及f(0)=0，则f(x)=( ) xx(A) e (B) e(C) ex-1， 1x+ -1， 0x+ (D) ex， 1x+ 120下列说法中正确的是( ) (A) 1x在(-1,1)上的原函数为-1 2x(B) 1+x-12dx=-arctanx+c1,1dx=arctan+
10、c2 x1+x2-1即arctan1,arctanx为同一个函数的原函数,彼此差一常数, x 4 第三部分 不定积分 第 5 页 共 6 页 arctan1+arctanx=cxx0 (c) 符号函数sgnx在(-,+)上存在原函数 (D)112xsin-cosf(x)=xx0x0x=0在(-,+)上存在原函数, 所以不连续函数也可以存在原函数. 121sinx1-sin2xdx=( ) +c (D)secx+c (A)xsecx+c (B)-secx+c (C)tgxx4+1dx=( ) 1226x+1312(A)arctgx+arctgx+c (B)arctgx2+arctgx+c 331
11、34(C)arctgx+arcthx+c (D)ln(x+1)+arctgx+c 33二、计算题： (1)(4)(7)1dx2x(x-2)sinxcosx1+sin2x2lnx+1dx32x(lnx)(2)dx(8)dxx24x-15x-1dx2x-x-22(3)cosxdx(6)(5)sin2xdx 44cosx-sinxarcsinxdx 2x1dx24cosxtanx(9)cosx-sinx(10)dx21+sinxsinxcosx(11)dxsinx+cosxsin4x(12)dx 1+cosxdx(13)1-sin4xex-1(16)2xdxe+4x2(19)arctanxdx21+
12、xlnx(14)dx(1-x)2(17)arctanxdx1+xarcsinx(15)dx 1-x(18)1+sinx+cosxdx 21+sinxxln(1+x2)(20)dx21+x5 (21)tan3xdx 第三部分 不定积分 第 6 页 共 6 页 (22)11+e2x2xdx2x(23)dx1+cosxarctanx(26)2dx2x(1+x)x3(24)dx 100(x-1)arctanex(27)dx 2xe(25)e(tanx+1)dx(28)设f(sin2x)=xx,求：f(x)dx sinx1-x(29)已知f(x)的一个原函数为ln2x,求：xf(x)dx 1114x2-
13、1二、计算题：1)lnx-lnx-2-+c2)+c442(x-2)x3)2(xsinx+cosx)+c4)2ln2secx+2sec2x-1+c5)2lnx+1+3lnx-2+c2311426)-ln2sinx-1+c7)-2+c8)(tanx)4+c2xlnx311-1-x212+cosx9)-arcsinx+ln+c10)arctan(sinx)+ln+cxx222-cosx11pp11)(sinx-cosx)-lnsec(x-)+tan(x-)+c244221111112)(x-sin2x)-sin3x+c13)tanx+arctan(2tanx)+c22322lnx14)-lnx+ln
14、1-x)+c15)21-xarcsinx-x+c1-x1ex1116)arctan-lnx+ln(e2x+4)+c17)21+xarctanx-2lnx+x)+c224818)21cosx-2arctan(2tanx)+arctan(sinx)+ln+c222cosx+2111119)xarctanx-ln(1+x2)-(arctanx)2+c20)ln2(1+x2)+c21)tan2x+lncosx+c2222x22)ln1+e2x-e-x+c23)-xcotx+lnsinx+-lncscx-cotx+csinx133124)-(x-1)-96-(x-1)-97-(x-1)-98-(x-1)-99+c25)e2xtanx+c9697989arctanx11x2226)-(arctanx)+ln+cx221+x211127)-e-2xarctanx-e-x-arctanex+c22228)-2arcsinx-1-x+2x+c29)2lnx-ln2x+c 6
