不等式证明.docx

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1、不等式证明典型例题一 例1 若0xloga(1+x) 分析1 用作差法来证明需分为a1和0a1时， 因为 01-x1， 所以 loga(1-x)-loga(1+x) =-loga(1-x)-loga(1+x) =-loga(1-x2)0 当0a1时， 因为 01-x1 所以 loga(1-x)-loga(1+x) =loga(1-x)+loga(1+x) 2 =loga(1-x)0 综合知loga(1-x)loga(1+x) 分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号 解法2 作差比较法 因为 loga(1-x)-loga(1+x) =lg(1-x)lg(1+x) -lgalga1lg(

2、1-x)-lg(1+x) lga1-lg(1-x)-lg(1+x) lga-1lg(1-x2)0， lga=所以loga(1-x)loga(1+x) - 1 - 说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快 典型例题二 例2 设ab0，求证：abab. 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式 abbaaabbaa-bbb-a=a-b 证明：ba=ababab0，a1,a-b0. baa-baabb1. ba1. bab又ab0， a

3、bab. 说明：本题考查不等式的证明方法比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小. abbaba典型例题三 a4+b4a+b4 例3 对于任意实数a、b，求证22分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有(22a+b4)，2展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：a+b2ab出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明： a+b2ab 两边同加(a+b):2(a+b)(a+b)， 44442222222a4+b4a2+b22 即：2222又： a+b2ab 两边同加(a+b):2(a+b)(a

4、+b) - 2 - 22222a2+b2a+b2 22a2+b22a+b4) (22a4+b4a+b4由和可得 22说明：此题参考用综合法证明不等式综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解 典型例题四 111+9. abc111分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把+通分，则会把不等式变得较复abc例4 已知a、b、cR，a+b+c=1，求证+杂而不易得到证明由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如ba+，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”ab

5、的技巧 证明：a+b+c=1 111a+b+ca+b+ca+b+c+=+ abcabcbcacab =(1+)+(+1+)+(+1) aabbccbacacb =3+(+)+(+)+(+) abacbc cacbbaba+2=2，同理：+2，+2。 acbcabab 111+3+2+2+2=9. abc说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的 典型例题五 例 已知abc，求证：111+0. a-bb-cc-a分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以

6、用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程. - 3 - 证明一：(分析法书写过程) 111+0 a-bb-cc-a111+只需要证明 a-bb-ca-cabc 为了证明a-ca-b0,b-c0 111f,0 a-ba-cb-c111+成立 a-bb-ca-c111+0成立 a-bb-cc-a证明二：(综合法书写过程) abc a-ca-b0,b-c0 111 0 a-ba-cb-c111+成立 a-bb-ca-c111+0成立 a-bb-cc-a说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚. 典型例题六 例6 若a0,b0，且

7、2ca+b，求证： c-c2-abac+c2-ab. 分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的 证明：为要证c-c2-abac+c2-ab. 只需证-c2-aba-cc2-ab， 即证a-c2c2-ab， 2也就是(a-c)c-ab， - 4 - 即证a-2aca(a+b)， a0,2ca+b,b0， c2a+bab，故c2ab即有c2-ab0， 2又 由2ca+b可得2aca(a+b)成立， 所求不等式c

8、-c2-aba2，则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2)， 而a+b=2，故(a2-ab+b2)a+b2ab从而ab1， a+b1+ab2 (a+b)2=a2+b2+2ab2+2ab4 a+b2，则a2-b， 故2=a3+b3(2-b)3+b3，即28-12b+6b2，即(b-1)22，则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)8 由a3+b3=2，得3ab(a+b)6，故ab(a+b)2 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2， 222233- 5 - ab(a+b)(a+b)(a2-ab+b2) a2-ab+b2ab，即(a-b)23x3+y3 分析

9、：用综合法证明比较困难，可试用分析法 证明：要证x2+y23x3+y3，只需证(x2+y2)3(x3+y3)2， 即证x6+3x4y2+3x2y4+y6x6+2x3y3+y6， 化简得3x4y2+3x2y42x3y3，x2y2(3x2-2xy+3y2)0 D=4y2-433y20 x2y2(3x2-2xy+3y2)0 原不等式成立 说明：1本题证明易出现以下错误证法：x2+y22xy，3x3+y3332x23y2，然后分(1)xy1；(2)xy1且0y1且0x1来讨论，结果无效 2用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是AB，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要

10、条件也可以 典型例题九 例9 已知1x2+y22，求证1x2-xy+y23 2分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明 证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数r 1x2+y22， 可设x=rcosq，y=rsinq，其中1r2，0q2p - 6 - 1sin2q) 2113113由1-sin2q，故r2r2(1-sin2q)r2 2222221113而r2，r23，故x2-xy+y23 2222x2-xy+y2=r2-r2sinqcosq=r2(1-说明：1三角代换是最常见的变量代换，当条件为x2+y2=r2或x2+y2r2或x2y2=1时，均可用三角代换

11、2用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变a2b2量和取值的变化会影响其结果的正确性 典型例题十 1111+L+n(k=1,2,L,n)，得111 2nn+kn111； 2nn+1n111当k=2时， 2nn+2n当k=1时， 111 2nn+nn1n111n=+L+=1 22nn+1n+22nn当k=n时，说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境例如证明1117111+L+-由，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第1222n24k2k-1k2项放缩，可得小于2当放缩方式不同，结果也在变化 2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，

12、分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和 典型例题十一 (a-b)2a+b(a-b)2-abb0，求证： 8a28b分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证- 7 - 明较好 (a-b)2a+b(a-b)2-ab证明：欲证， 8a28b(a-b)2(a-b)2a+b-2ab只须证 4a4ba-ba-b2即要证(a-b)， 2a2b即要证22a-b2aa-ba-b2b 即要证a+b2a1a+b2b， 即要证a+baba2a+bb 即要证1+2ab+1，即b1a

13、a b即要证ba1b0，显然成立， (a-b)2a+b(a-b)2-ab故 8a28b说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件分析法通常采用“欲证只要证即证已知”的格式 典型例题十二 例12 如果x，y，zR，求证：x8+y8+z8x2y3z3+y2z3x3+z2x3y3 分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能，由(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20，易得a2+b2+c2ab+bc+ca，此式的外形特征符合要求，因此，我们用如下的结合法证明 证明：x8+y8+z8=(x4)2+(y4)2+(z

14、4)2 x4y4+y4x4+z4x4 =(x2y2)2+(y2z2)2+(z2x2)2 x2y2y2z2+y2z2z2x2+z2x2x2y2 - 8 - =(xy2z)2+(yz2x)2+(zx2y)2 xy2zyz2x+yz2xzx2y+zx2yxy2z =x2y3z3+y2z3x3+z2x3y3 x8+y8+z8x2y3z3+y2z3x3+z2x3y3 说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式a2+b22ab而得到的左右两边都是三项，实质上是a2+b2+c2ab+bc+ca公式的连续使用 111如果原题限定x，y，zR+，则不等式可作如下变形：x8+y8+z8x3y3z3(+)xyzx5

15、y5z5111进一步可得到：33+33+33+ xyzyzxzxy显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化的过程 典型例题十三 (1-b)c，(1-c)a三数中，不例13 已知0a1，0b1，0c，(1-b)c，(1-c)a 444又0a1，0b1，0c，(1-b)c，(1-c)a 2223(1-a)b+(1-b)c+(1-c)a 21-a+b1-b+c1-c+a又(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a 222以上三式相加，即得： (1-a)b+(1-b)c+(1-c)a3 2- 9 - 显然与相矛盾，假设不成立，故命题获证 说明：一般情况下，如果命题中有

16、“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想 典型例题十四 例14 已知a、b、c都是正数，求证：2a+ba+b+c3-ab3-abc 32分析：用分析法去找一找证题的突破口要证原不等式，只需证-2abc-33abc，即只需证c+2ab33abc把2ab变为ab+ab，问题就解决了或有分析法的途径，也很容易用综合法的形式写出证明过程 a+ba+b+c3-abc， 证法一：要证2-ab332只需证a+b-2aba+b+c-33abc， 即-2abc-33abc，移项，得c+2ab33abc 由a、b

17、、c为正数，得c+2ab=c+ab+ab33abc 原不等式成立 证法二：a、b、c为正数， c+ab+ab33cabab=33abc 即c+2ab33abc，故-2abc-33abc a+b-2aba+b+c-33abc， a+ba+b+c32-abc -ab332说明：题中给出的a+b+c3a+b，ab，abc，只因为a、b、c都是正数，形式32同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了 原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当c=ab时取“”号证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证

18、题的关键本题的关键是证明c+2ab33abc - 10 - 典型例题十五 例15 已知a0，b0，且a-b=1求证：0111(a-)(b+)1 aab分析：记M=0111(a-)(b+)，欲证0M1，联想到正、余弦函数的值域，aab本题采用三角换元，借助三角函数的变换手段将很方便，由条件a-b=1，a、bR+可换元，围绕公式sec2q-tan2q=1来进行 p， 2111111)(b+)=(secq-)(tanq+) 则(a-2asecqtanqsecqab1sinqcosq=cos2q(-cosq)(+) cosqcosqsinqsin2q12=cosq=sinq cosqsinqcosq1

19、11p)(b+)1成立 0q，0sinq1，即0(a-a2ab证明：令a=sec2q，b=tan2q，且0q2nnn+1xn 分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2的因子，因此可考虑使用均值不等式 证明：x是不等于1的正数， 1+x2x0， (1+x)n2nxn 又1+xn2xn0 将式，两边分别相乘得 - 11 - (1+xn)(1+x)n2xn2nxn， (1+xn)(1+x)n2n+1xn 说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利由特点选方法是解题的关键，这里因为x1，所以等号不成立，又因为，两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性

20、证得结果这也是今后解题中要注意的问题 典型例题十七 例17 已知，x，y，zR+，且x+y+z=1，求证x+y+z3 分析：从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法 证明：要证x+y+z3， 只需证x+y+z+2(xy+只需证xy+xz+x，y，zR+， xz+yz)3， yz1 x+y2xy，x+z2xz，y+z2yz， 2(x+y+z)2(xy+xz+xy+xz+x+yz)， yz1成立 y+z3 说明：此题若一味地用分析法去做，难以得到结果在题中得到只需证xy+xz+yz1后，思路已较清晰，这时改用综合法

21、，是一种好的做法通过此例可以看出，用分析法寻求不等式的证明途径时，有时还要与比较法、综合法等结合运用，决不可把某种方法看成是孤立的 典型例题十八 111+L+2 2232n2分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项注1意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从2下n手考查即可 例18 求证1+- 12 - 证明：111111=-(n2)， n2nnn(n-1)n-1n1+1111111111+L+1+-+-+L+-=2-2 12232232n2n-1nn说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻本题所采用的方法也是解不等式时常用的一

22、种方法，即放缩法这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键 典型例题十九 例19 在DABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若A+C2B，求证a4+c42b4 分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化 证明：A+C=p-B2B，B，cosBp31 2由余弦定理得b2=a2+c2-2accosBa2+c2-ac a2+c2b2+ac， a4+c4=(a2+c2)2-2a2c2 =(a2+c2+2ac)(a2+c2-2ac) b2+(2+1)acb2-(2-1)ac =b4+2acb2-a2c2 =-(ac-b)2+2b42b4 说明：三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理，另外还有面积公式1S=absinC本题应用知识较为丰富，变形较多这种综合、变形能力需要读者在平时解2题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养 - 13 -