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1、与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析 本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴： 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。 例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE=CF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等 连结BF BF=DE 证明：连结DB,DF,设DB,AC交于点O 四边形ABCD为平行四边形 AO=OC,DO=OB AE=FC AO-AE=OC-FC 即OE=OF 四边形EBFD为平行四边形 BF=DE DCFOE
2、A图1BA图2BEODC第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例2如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12， BD=10，AB=m，那么m的取值范围是 A1m11 B2m22 C10m12 D5m6 解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB=CE,DC=BE,则有四边形CDBE为平行四边形,在DACE中, AC=12,CE=BD=10,AE=2AB=2m 12-102m12+10，即22m22 解得1m11 故选A 第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形 求证：AC+
3、BD=AB+BC+CD+DA 证明：过A,D分别作AEBC于点E，DFBC的延长线于点F AC=AE+CE=AB-BE+(BC-BE)=AB+BC-2BEBC BD=DF+BF=(CD-CF)+(BC+CF)=CD+BC+2BCCF 则AC+BD=AB+BC+CD+DA+2BCCF-2BCBE 四边形ABCD为平行四边形 ABCD且AB=CD,AD=BC 22222222222222222222222222221 0ABC=DCF AEB=DFC=90 DABEDDCF BE=CF AC+BD=AB+BC+CD+DA E31PFD222222CDA2BE图3CFB图4AK第四类：延长一边中点与
4、顶点连线，把平行四边形转化为三角形。 例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP=AB 证明：延长CF交BA的延长线于点K 四边形ABCD为正方形 0ABCD且AB=CD,CD=AD,BAD=BCD=D=90 01=K 又D=DAK=90,DF=AF DCDFDKAF AK=CD=AB CE=11CD,DF=AD CE=DF 220BCD=D=90 DBCEDCDF 1=2 00001+3=90 2+3=90 CPB=90,则KPB=90 AP=AB 第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。 例5如
5、左下图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。 解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有 DAEDDFEC,DFABDFEC,DAEDDFAB AADENFB图5CFBEC图6OD2 第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线 例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD中，AN=BN,BE=交BD于F，求BF:BD 解：连结AC交BD于点O,连结ON 1BC,NE 3BD 211BEBF=AN=BN ONBC且ON=BC 22ONFO1BF2= BE=BC BE:ON=2:3 3FO3BF2= BF:BD=1:5 BO5四
6、边形ABCD为平行四边形 OA=OC,OB=OD=综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形、矩形等图形，为证明解决问题创造条件。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 梯形的辅助线 口诀： 梯形问题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细
7、心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。 通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下： 作法 图形 3 平移腰，转化为三角形、平行四边形。 平移对角线。转化为三角形、平行四边形。 BEADEC延长两腰，转化为三角形。 BADC作高，转化为直角三角形和矩形。 BADCEFA中位线与腰中点连线。 DEBCF、平移 1、平移一腰： 例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的长. 解：过点D作DEBC交AB于点E. 又ABCD，所以
8、四边形BCDE是平行四边形. ABDCDC所以DEBC17，CDBE. 在RtDAE中，由勾股定理，得 AE2DE2AD2，即AE217215264. 所以AE8. 4 AEB所以BEABAE1688. 即CD8. 例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。 解：过点B作BM/AD交CD于点M，在BCM中，BM=AD=4， CM=CDDM=CDAB=83=5， 所以BC的取值范围是： 54BC54，即1BCCD，求证：BDAC。 证：作AEBC于E，作DFBC于F，则易知AE=DF。 在RtABE和RtDCF中， 因为ABCD，AE=DF。 所以由
9、勾股定理得BECF。即BFCE。 9 在RtBDF和RtCAE中 由勾股定理得BDAC 、作中位线 1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。 例13如图，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中点，AOD=90，求证：ABCD=AD。 证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE= 在AOD中，AOD=90，AE=DE 所以OE=1AD 212 由、得ABCD=AD。 2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。 例14如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：1(BC-AD
10、)。2EF/AD；EF= 证：连接DF，并延长交BC于点G，易证AFDCFG 则AD=CG，DF=GF 由于DE=BE，所以EF是BDG的中位线 从而EF/BG，且EF=1BG 2因为AD/BG，BG=BC-CG=BC-AD 10 所以EF/AD，EF=1(BC-AD) 23、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。 例15、在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求AEB=2CBE。 解：分别延长AE与BC ，并交于F点 BAD=900且ADBC FBA=1800BAD=900 又ADBC DAE=F(两直线平行内错角相
11、等) AED=FEC DE=EC ADEFCE AE=FE 在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE 在FEB中 EBF=FEB AEB=EBF+ FEB=2CBE 例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？ 解：AE=BE，理由如下： 延长AE，与BC延长线交于点F DE=CE，AED=CEF， DAE=F ADEFCE AE=EF ABBC， BE=AE 例17、已知：梯形ABCD中，AD/BC，E为DC中点，EFAB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积 11 A D E B C F 解
12、：如图，过E点作MNAB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点 DE=EC，ADBC DEMCNE 四边形ABNM是平行四边形 EFAB， S梯形ABCD=SABNM=ABEF=15cm2 1. 若等腰梯形的锐角是60，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为_cm. 2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60，AD2，BC8，则此等腰梯形的周长为 A. 19 ADB. 20 C. 21 D. 22 BC3. 如图所示，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，则梯形ABCD的面积为 A. 130 B. 140 C. 150 D. 160 ABDECA F E B
13、 N C D M *4. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，对角线AC与BD互相垂直，且AD30，BC70，求BD的长. ADBC12 5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长. ADBC6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的长. ADBEC7. 如图所示，梯形ABCD中，ABCD，D2B，ADDC8，求AB的长. DCAB*8. 如图所示，梯形ABCD中，ADBC，若E是AB的中点，且ADBCCD，则DE与CE有何位置关系？E是ADC与BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？ ADEBC 13 14
