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1、专升本高数公式大全高等数学公式 导数公式： (tgx)=sec2x(ctgx)=-csc2x(secx)=secxtgx(cscx)=-cscxctgx(ax)=axlna1(logax)=xlna基本积分表： (arcsinx)=11-x21(arccosx)=-1-x21(arctgx)=1+x21(arcctgx)=-1+x2tgxdx=-lncosx+Cctgxdx=lnsinx+Csecxdx=lnsecx+tgx+Ccscxdx=lncscx-ctgx+Cdx1x=arctg+Ca2+x2aadx1x-a=lnx2-a22ax+a+Cdx1a+x=a2-x22alna-x+Cdxx
2、=arcsin+Ca2-x2ap2ndx2cos2x=secxdx=tgx+Cdx2=csc2sinxxdx=-ctgx+Csecxtgxdx=secx+Ccscxctgxdx=-cscx+Caxadx=lna+Cxshxdx=chx+Cchxdx=shx+Cdxx2a2=ln(x+x2a2)+Cp2In=sinxdx=cosnxdx=00n-1In-2nx2a22x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22x2a2222x-adx=x-a-lnx+x2-a2+C22x2a2x222a-xdx=a-x+arcsin+C22a22三角函数的有理式积分： 2u1-u2x2dusinx=，co
3、sx=，u=tg，dx= 21+u21+u21+u2第 1 页 共 8 页 高等数学公式 一些初等函数： 两个重要极限： ex-e-x双曲正弦:shx=2ex+e-x双曲余弦:chx=2shxex-e-x双曲正切:thx=chxex+e-xarshx=ln(x+x2+1）archx=ln(x+x2-1)11+xarthx=ln21-x三角函数公式： 诱导公式： 函数 角A - 90- 90+ 180- 180+ 270- 270+ 360- 360+ sinx lim=1x0 x1 lim(1+)x=e=2.718281828459045.x xsin cos tg -tg ctg ctg -
4、ctg tg -ctg ctg tg -ctg ctg -sin cos cos cos sin sin -sin -ctg -tg -cos -tg -sin -cos tg -cos -sin ctg -cos sin -sin cos sin cos -tg tg -ctg -tg 和差角公式： 和差化积公式： sin(ab)=sinacosbcosasinbcos(ab)=cosacosbmsinasinbtg(ab)=tgatgb1mtgatgbctgactgbm1ctg(ab)=ctgbctgasina+sinb=2sina+b22a+ba-bsina-sinb=2cossin22
5、a+ba-bcosa+cosb=2coscos22a+ba-bcosa-cosb=2sinsin22cosa-b第 2 页 共 8 页 高等数学公式 倍角公式： sin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a-sin2actg2a-1ctg2a=2ctga2tgatg2a=1-tg2a半角公式： sin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3a-3cosa3tga-tg3atg3a=1-3tg2asintga2=1-cosaa1+cosacos=2221-cosa1-cosasinaa1+cosa1+cosasina=ctg=1+cosas
6、ina1+cosa21-cosasina1-cosaabc=2R 余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC sinAsinBsinCa2正弦定理： 反三角函数性质：arcsinx=中值定理与导数应用： p2-arccosxarctgx=p2-arcctgx 拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f(x)(b-a)f(b)-f(a)f(x)柯西中值定理：=F(b)-F(a)F(x)曲率： 当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds=1+y2dx,其中y=tga平均曲率：K=Da.Da:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；Ds：MM弧长。DsyDadaM点的曲率：K=l
7、im=. 23Ds0Dsds(1+y)直线：K=0;1半径为a的圆：K=.a第 3 页 共 8 页 高等数学公式 空间解析几何和向量代数： 空间2点的距离：d=M1M2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2vvvvab=abcosq=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosq=ivvvc=ab=axbx平面的方程：v1、点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3、截距世方程：+=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=Ax0+By0+Cz0+D
8、A2+B2+C2axbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz222222jaybyvvvvvvaz,c=absinq.例：线速度：v=wr.bzkx=x0+mtx-x0y-y0z-z0v空间直线的方程：=t,其中s=m,n,p;参数方程：y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2+2+2=1abc22xy2、抛物面：+=z2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2+2-2=1abc22xyz2双叶双曲面：2-2+2=1abc多元函数微分法及应用 全微分：dz=zzuuudx+dydu=dx+dy+dzxyxyz全微分的近似计算：Dzdz=fx(x
9、,y)Dx+fy(x,y)Dy多元复合函数的求导法：dzzuzvz=fu(t),v(t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=+xuxvx当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=uuvvdx+dydv=dx+dyxyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)=0，=-，2=(-x)(-x)dxFyxFyyFydxdxFyFzz隐函数F(x,y,z)=0，=-x，=-xFzyFz第 4 页 共 8 页 高等数学公式 微分法在几何上的应用： x=j(t)x-xy-y0z-z0空间曲线y=y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0=j(t)y(
10、t)w(t0)00z=w(t)在点M处的法平面方程：j(t0)(x-x0)+y(t0)(y-y0)+w(t0)(z-z0)=0vFyFzFzFxFxF(x,y,z)=0若空间曲线方程为：,则切向量T=,GGGxGGG(x,y,z)=0yzzx曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：v1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x-x0y-y0z-z03、过此点的法线方程：=Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)FyGy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x
11、0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0重积分及其应用： f(x,y)dxdy=f(rcosq,rsinq)rdrdqDD曲面z=f(x,y)的面积A=Dzz1+dxdyxy22MyM=M平面薄片的重心：x=x=Mxr(x,y)dsDr(x,y)dsD2D,y=yr(x,y)dsDr(x,y)dsDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=yr(x,y)ds,对于y轴Iy=x2r(x,y)ds平面薄片对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：Fx=fDr(x,y)xds(x2+y2+a)322，Fy=fDr(x,y)yds(x2+y2+a
12、)322，Fz=-faDr(x,y)xds3(x2+y2+a2)2常数项级数： 1-qn等比数列：1+q+q+L+q=1-q(n+1)n 等差数列：1+2+3+L+n=2111调和级数：1+L+是发散的23n2n-1级数审敛法： 1、正项级数的审敛法根植审敛法：r1时，级数发散nr=1时，不确定2、比值审敛法：r1时，级数发散nUnr=1时，不确定3、定义法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，则收敛；否则发散。n第 5 页 共 8 页 高等数学公式 交错级数u1-u2+u3-u4+L(或-u1+u2-u3+L,un0)的审敛法莱布尼兹定理： unun+1如果交错级数满足su1,其余项
13、rn的绝对值rnun+1。limu=0，那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛： (1)u1+u2+L+un+L，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1(-1)n调和级数：n发散，而n收敛；1级数：n2收敛；时发散1p级数：npp1时收敛幂级数： 1x1时，收敛于1-x1+x+x2+x3+L+xn+Lx1时，发散对于级数(3)a0+a1x+a2x2+L+anxn+L，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定1r0时，R=求收
14、敛半径的方法：设liman+1=r，其中an，an+1是(3)的系数，则r=0时，R=+nanr=+时，R=0r函数展开成幂级数： f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)+L+(x-x0)n+L2!n!f(n+1)(x) 余项：Rn=(x-x0)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn=0n(n+1)!f(0)2f(n)(0)nx0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f(0)x+x+L+x+L2!n!第 6 页 共 8 页 高等数学公式 一些函数展开成幂级数： m(m-1)2m(m-1)L(m-n+1)nx+L+x+L(-1x1)2!n! 2n-1x3x5xsinx=x-+-L+(-1)n-1+L(-x0) 两个相等实根(p-4q=0) 一对共轭复根(p-4q0) 222(*)式的通解 y=c1er1x+c2er2x y=(c1+c2x)er1x y=eax(c1cosbx+c2sinbx) r1=a+ib，r2=a-ib4q-p2 pa=-，b=22第 7 页 共 8 页 高等数学公式 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=elxPm(x)型，l为常数；f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型第 8 页 共 8 页
