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1、专升本高等数学公式全集 常数项级数： 等比数列：1+q+q2专升本高等数学公式 n-1+L+q=1-qn1-q等差数列：1+2+3+L+n=调和级数：1+12+13+L+1n(n+1)n2是发散的级数审敛法： 1、正项级数的审敛法根植审敛法：设：r=limnnr1时，级数发散r=1时，不确定r1时，级数发散r=1时，不确定散。2、比值审敛法：Un+1Un设：r=limn3、定义法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，则收敛；否则发n交错级数u1-u2+u3-u4+L(或-u1+u2-u3+L,un0)的审敛法如果交错级数满足unun+1limu=0，那么级数收敛且其和nn莱布尼兹定理：
2、su1,其余项rn的绝对值rnun+1。绝对收敛与条件收敛： (1)u1+u2+L+un+L，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：级数：1nn发散，而收敛；时发散p1时收敛收敛级数；(1)为条件收敛级数。n(-1)n收敛；12p级数：1np 1 / 10 幂级数： 23n1+x+x+x+L+x+Lx1时，收敛于x1时，发散11-x对于级数(3)a0+a1x+a2x+L+anx+L，如果它不是仅在原点xR时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定r0时，R=求收敛半径的方法：设liman+1
3、an=r，其中an，an+1是(3)的系数，则1rnr=0时，R=+r=+时，R=0函数展开成幂级数： 函数展开成泰勒级数：余项：Rn=f(n+1)f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)n+1f(x0)2!(x-x0)+L+2f(n)(x0)n!(x-x0)+Ln(x)(n+1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f(0)2!2充要条件是：limRn=0nx0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f(0)x+x+L+f(n)(0)n!x+Ln一些函数展开成幂级数： (1+x)m=1+mx+x3m(m-1)2!x2+L+xm(m-1)L(m-n+1)n!xn+L(-1x1)sinx=x
4、-3!+x52n-15!-L+(-1)n-1(2n-1)!+L(-x0l1l2y=c1e+c2el2xD=0D0l1=l2=ly=(c1+c2x)elxaxl1=a+ib,l2=a-iby=e(c1cosbx+c2sinbx) 3 / 10 导数公式： 2(tgx)=secx(arcsinx)=(arccosx)=-(arctgx)=11+x11-x11-x2222(ctgx)=-cscx(secx)=secxtgx(cscx)=-cscxctgx(a)=alna(logaxxx)=1xlna(arcctgx)=-11+x2基本积分表： 三角函数的有理式积分： tgxdx=-lncosx+Cc
5、tgxdx=lnsinx+Csecxdx=lnsecx+tgx+Ccscxdx=lncscx-ctgx+Caxadx2cossindx2xx=sec2xdx=tgx+Cdx2cscxdx=-ctgx+C=secx+C=-cscx+C+C2secxtgxdxcscxctgxdxax+xdx-adx-xdx22=1a1arctglnlnxa+C+C+Cx-ax+aa+xa-xxadx=axlna222a12ashxdxchxdxp2=chx+C=shx+C=ln(x+xa)+C2222a-x2=arcsin+Cdxxa22p2In=sin02nxdx=cos0nxdx=2n-1naaa2In-2x
6、+a)+Cx-axa+C2222x+adx=x-adx=a-xdx=22222x2x2x2x+a+x-a-a-x+2222222ln(x+lnx+arcsin22+C2 4 / 10 一些初等函数： 两个重要极限： :shx=ex-e-x双曲正弦2双曲余弦:chx=ex+e-x2x双曲正切:thx=shxchx=e-e-xex+e-xarshx=ln(x+x2+1）archx=ln(x+x2-1)arthx=11+x2ln1-x和差角公式： sin(ab)=sinacosbcosasinbcos(ab)=cosacosbmsinasinbtg(ab)=tgatgb1mtgatgbctg(ab)
7、=ctgactgbm1ctgbctga limsinx x0x=1lim(1+1x xx)=e=2.718281828459045.sina+sinb=2sina+ba-b2cos2sina-sinb=2cosa+bsina-b22cosa+cosb=2cosa+bb2cosa-2cosa-cosb=2sina+bsina-b22 5 / 10 和差化积公式： 倍角公式： sin2a=2sinacosacos2a=2cosa-1=1-2sina=cosa-sinactg2a=tg2a=ctga-12ctga2tga1-tga222222sin3a=3sina-4sinacos3a=4cosa-
8、3cosatg3a=3tga-tga1-3tga2333半角公式： sintga2=1-cosa21-cosa1+cosaasinA1-cosasinabsinB=cosctga2=1+cosa21+cosa1-cosa22=1+cosasina2a2=csina1+cosaa2=sina1-cosa正弦定理： =sinC=2R 余弦定理：c=a+b-2abcosC 反三角函数性质：arcsinx= 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：柯西中值定理：p2-arccosxarctgx=p2-arcctgx f(b)-f(a)=f(x)(b-a)=f(x)F(x)拉格朗日中值定理。f(b)-f
9、(a)F(b)-F(a)当F(x)=x时，柯西中值定理就是 ： 6 / 10 空间解析几何和向量代数 空间2点的距离：向量在轴上的投影：d=M1M2=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1)222PrjuAB=ABcosj,j是AB与u轴的夹角。vvvvPrju(a1+a2)=Prja1+Prja2vvvvab=abcosq=axbx+ayby+azbz,是一个数量两向量之间的夹角：cosq=k,axbx+ayby+azbzax+ay+az222bx+by+bz222ivvvc=ab=axbxjaybyvvvaz,c=absinq.例：线速度：bzaybycyazbzczvvvv=wr.
10、axvvvvvv向量的混合积：abc=(ab)c=bxcx代表平行六面体的体积。vvv=abccosa,a为锐角时，平面的方程：1、点法式：vA(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)Ax+By+Cz+D=0xa+yb+zc=1d=Ax0+By0+Cz0+DA+B+C空间直线的方程：2222、一般方程：3、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：x=x0+mtx-x0y-y0z-z0v=t,其中s=m,n,p;参数方程：y=y0+ntmnpz=z+pt02222二次曲面：1、椭球面：2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：xaxa
11、2222xa222+yb+2zc=1xy2p2q=z+-ybyb2222-+zczc2222=1=1 7 / 10 多元函数微分法及应用 全微分：dz=zxdx+zydydu=uxdx+uydy+uzdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法Dzdz=fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy：dzzuzvz=fu(t),v(t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=+xuxvx当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=uxdx+uydydv=vxdx+vydy隐函数的求导公式：FFFdydydy隐函数F(x,y)=0，=-x，2=(-x)(-x)dxFyxFyyFydx
12、dxFyFxzz隐函数F(x,y,z)=0，=-，=-xFzyFz2微分法在几何上的应用： x=j(t)x-x0y-y0z-z0空间曲线y=y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：=j(t0)y(t0)w(t0)z=w(t)在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：j(t0)(x-x0)+y(t0)(y-y0)+w(t0)(z-z0)=0FzGzGz,FzFxGx,FxGxFyGyvFyF(x,y,z)=0,则切向量T=GyG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：v1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0
13、,y0,z0)2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0x-x0Fx(x0,y0,z0)=y-y0Fy(x0,y0,z0)=z-z0Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度： 8 / 10 函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中j为x轴到方向l的转角。fvfv函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i+jxy它与方向导数的关系是单位向量。l多元函数的极值及其求法： f是gradf(x,y)在l上的投影。vvfvv：=gradf(x,y)e
14、，其中e=cosji+sinjj，为l方向上的ll的方向导数为：fl=fxcosj+fysinj设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C2A0,(x0,y0)为极大值B-AC0,(x0,y0)为极小值2则：值B-AC0时，无极B2-AC=0时,不确定柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 第一类曲线积分：x=j(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(atb),则：y=y(t)bLf(x,y)ds=ax=t22fj(t),y(t)j(t)+y(t)dt(ab)特殊情况：y=j(t) 9 / 10 第二类曲
15、线积分：x=j(t)，则：y=y(t)bP(x,y)dxL+Q(x,y)dy=aPj(t),yL(t)j(t)+Qj(t),y(t)y(t)dt两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：系：Pdx+Qdy=的方向角。)dxdy=-Py(PcosaL+Qcosb)ds，其中a和b分别为D(Qx-PyPdxL+Qdy格林公式：D(Qx-Py)dxdy=12PdxL+Qdy当P=-y,Q=x，即：平面上曲线积分与路径Qx=2时，得到D的面积：A=Ddxdy=Lxdy-ydx无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，二元函数的全微分求积在QxPy注意方向相反！：u(x,y)的全微分，其中：，且QxPy。注意奇点，如(0,0)，应时，Pdx+Qdy才是二元函数(x,y)u(x,y)=P(x,y)dx(x0,y0)+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。 10 / 10
