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1、专题运用向量法证明立体几何问题专题：运用向量法证明立体几何问题 一、知识点： uv1、若向量m与直线l平行，则向量m叫做直线l的方向向量。 2、若ma，则m叫做平面a的法向量。 要证m为平面a的法向量，只须让m与平面a内的两条相交直线垂直。 若c轴与平面的法向量，可设为m= 若y轴为平面的法向量，可设为m= 若Z轴为平面的法向量，可设为m= 3、证明线面平行与线面垂直 若m为平面a的法向量，n为直线l的方向向量，则 lamnm=nmnmnla=0 4、运用向量求角 若两条异面直线l1，l2所成的角为q，m为l1的方向向量，n为l2urrmgnoocosq=，(0q90) urr的方向向量，则m
2、n若两个平面a1，a2所成的二面角的平面角为q，m为a1的法向urrmgnoocosq=，(0q90) urr量，n为a2的法向量，则mn当二面角为锐时为q；当二面角为钝角时为p-q。 直线l与平面a所成的角为q，n为直线l的方向向量，m为平面aurrmgnoosinq=，(0q90) urr的法向量，则mn5、点P到平面a的距离为d,若m为平面a的法向量，A为平面a内任uuururPAgmr 一点，则d=uum例1如图在四棱锥P-ABCD中，底面AB、CD是正方形且边长为1，侧棱PD112底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，且F的坐标是。 333求证：PA平面EDB 求证：PB平面E
3、FD 解：如图建立空间直角坐标系D-xyz。 设底面正方形的边长为,则PD=1 D，P，A， 11B,C，E 22ur设m=(x,y,z)为平面EDB的法向量 uruuuruuurDB=(1,1,0)mgDB=0r则uruuu ， 而uuur11 DE=(0,)mgDE=022x+y=0x=-y11 ， 即 z=-yy+z=022故m= 又PA= uuururm=1+0-1=0 PAg故PAm，即PA平面EDB r设n=(x,y,z)为平面EFD的法向量 ruuuruuur112DF=(,)ngDF=0333r则ruuu 而uuur 11DE=(0,)ngDE=022121x+y+z=0x=-
4、z333故 即 11y=-zy+z=022r故n= uuur而PB= uuurrPBn 即PB平面EFD 例2，在直三棱柱中，AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点， 求证： B1C 平面A1BD 求点B1到平面A1BD的距离 求二面角A1-DB-B1的余弦值 解：如图建立空间直角系D-xyz， 由AA1=AB=BC=3,AC=2知 D，B，C A1，B1 ur设m=(x,y,z)为面ABD的法向量 uruuuruuurmgDB=0DB=(0,22,0)uruuuur则 而uuuu rmgDA1=0DA1=(-1,0,3)1y=0y=0故 即 x=3z-x+3z=0故m= uuur又
5、B1C= uuururm=3+0-3=0 B1Cguuur故mB1C uuurB1C平面ABD 1由知面A1BD的法向量m= uuur又B1B= uruuurmgB1B-33=uur=10 B1到面A1BD的距离为 d=1010mr由图可知c轴为面BBD的法向量，可设为n= ur由知面ABD的法向量m= 11设锐二面角A1-DB-B1的平面角为q urrmgn33r=10 则Cosquuruu=1010mn例3：如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E为BC的中点，F为CC1的中点。 求EF与平面ABCD所成的角的余弦值 求二面角F-DE-C的余弦值 解：如图示建
6、立空间直角坐标系D-xyz。 AB=2，AA1=4 urZ轴为面ABCD的法向量，可设为m= uuur又EF= 设EF与面ABCD所成的角为q D，A，B， C，E，F uruuurmgEF2ruuuur=则Sinq=uu 5mEF2故Cosq=1-Sinq=1-rZ轴为面CDE的法向量，设为n= ur设m=(x,y,z)为面DEF的法向量 uruuuruuurmgDE=0DE=(1,2,0)uruuur则则 而uuur mgDF=0DF=(0,2,2)45= 55ur故m= urrmgn16uuruurcos=则6 6mnx=-2yx+2y=0故 即 y=-zy+z=0设锐二面角F-DE-C的平面角为q
