《中值定理构造辅助函数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中值定理构造辅助函数.docx（12页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、中值定理构造辅助函数微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的x换成x；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数，并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F(x) 例1：证明柯西中值定理 分析：在柯西中值定理的结论f(b)-f(a)f(x)=中令x=x，得g(b)-g(a)g(x)f(b)-f(a)f(x)f(b)-f(a)=g(x)=f(x)再两边同时积分得，先变形为g(b)-g(a)g(x)g(b)-g(a)
2、f(b)-f(a)g(x)=f(x)+Cg(b)-g(a)F(x)=f(x)-，令C=0，有f(x)-f(b)-f(a)g(x)=0故g(b)-g(a)f(b)-f(a)g(x)为所求辅助函数 g(b)-g(a)例2：若a0,a1,a2,an是使得a0+aa1a2+n=0的实数证明方程23n+1a0+a1x+a2x2+anxn=0在内至少有一实根 证：由于(a0+a1x+a2x2+anxn)dx=a0x+aa12a23x+x+nxn+1+C 23n+1并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 F(x)=a0x+aa12a23，则 x+x+nxn+123n+11）F(x)在0，1上
3、连续 2）F(x)在内可导 3）F(0)=0， F(1)=a0+aa1a2+n=0 23n+1故F(x)满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在x(0,1)使F(x)=0，即(a0x+aa12a23x+x+nxn+1)x=x=0亦即a0+a1x+a2x2+anxn=0 23n+1这说明方程a0+a1x+a2x2+anxn=0在内至少有实根x=x 2 积分法 对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数 例3：设f(x)在1，2上连续，在内可导，f(1)=在x(1,2)使f(x)=2f(x)1，f(2)=2证明存2x 分析：结论变形为xf(x)-2f(x)=0，不易凑成F(x)x=x=0我
4、们将x换为x，结论变形为f(x)2f(x)f(x)-=0，积分得：lnf(x)-2lnx=ln2=lnc，即2=c，从而f(x)xxx可设辅助函数为F(x)=f(x)1，有本题获证 F(1)=F(2)=x22例4：设函数f(x)，g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可微，f(a)=f(b)=0证明存在x(a,b)，使得：f(x)+f(x)g(x)=0 证：将f(x)+f(x)g(x)=0变形为f(x)=-f(x)g(x)f(x)=-g(x)f(x)f(x)=-g(x)，将x换f(x)为x，则，两边关于x积分，得： f(x)dx=-g(x)dxf(x)1df(x)=-dg(x)lnf(x)=-
5、g(x)+C，所以f(x)f(x)=exp(-g(x)+C)=exp(-g(x)exp(C)=Kexp(-g(x)，其中K=exp(C)，由f(x)=Kexp(-g(x)可得K=f(x)exp(g(x)由上面积分的推导可知，f(x)exp(g(x)为一常数K，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的x的存在是不成问题的因而令F(x)=f(x)exp(g(x)，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证 3 几何直观法 此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数 例5：证明拉格朗日中值定理 分析：通过弦AB两个端点的直线方程为y=f(a)+f(b)-f(a)(
6、x-a)，则函数f(x)与b-a直线AB的方程之差即函数f(b)-f(a)(x-a)在两b-aF(x)=f(x)-f(a)+个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数 例6：若f(x)在a,b上连续且f(a)b试证在(a,b)内至少有一点x，使f(x)=x 分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数y=f(x)的图形曲线必跨越y=x这一条直线，而两者的交点的横坐标x，恰满足f(x)=x进而还可由图知道，对a,b上的同一自变量值x，这两条曲线纵坐标之差f(x)-x构成一个新的函数它满足g(a)0,因而符合介值定理的g(x)，条件当x为g(x)的一个零点时，g(x)=
7、0恰等价于f(x)=x因此即知证明的关键是构造辅助函数g(x)=f(x)-x 4 常数k值法 此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点： 1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k 2）恒等变形使等式一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b及f(b)构成的代数式 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式若是，则把其中一个端点设为x，相应的函数值改为f(x) 4）端点换变量x的表达式即为辅助函数F(x) (0ab)，例7：设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，试证存在一点x(a,b)，a使等式f(b)-f(a)=lnxf(x)成立 bf(b)-f(a)f(b)-f(a)分析：将结论变形为，
8、则有=xf(x)，令k=lnb-lnalnb-lnaf(b)-klnb=f(a)-klna，令b=x，可得辅助函数F(x)=f(x)-klnx 例8：设f(x)在a,b上存在，在acb，试证明存在x(a,b)，使得f(a)f(b)f(c)1+=f(x) (a-b)(a-c)(b-a)(b-c)(c-a)(c-b)2分析：令f(a)f(b)f(c)+=k(a-b)(a-c)(b-a)(b-c)(c-a)(c-b)，于是有(b-c)f(a)+(a-b)f(c)+(c-a)f(b)=k(a-b)(a-c)(b-c)，上式为关于a，b，c三点的轮换对称式，令b=x，则得辅助函数F(x)=(x-c)f(
9、a)+(a-x)f(c)+(c-a)f(x)-k(a-x)(a-c)(x-c) 5 分析法 分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论 例9：设函数F(x)在0，1上连续，在内可导，证明在内存在一点C，使得F(1)=F(0)+(e1-c-e-c)F(C) 分析：所要证的结论可变形为：F(1)-F(0)=(e1-c-e-c)F(c)=e-1F(c)，即ceF(1)-F(0)F(c)=c，因此可构造函数G(x)=ex，则对F(x)与G(x)在0，1上应用柯e-1e西中值定理即可得到证明 例10：设函数f(x)在0,1上连续，在内可导，且f(0)=0，对任意x(0,1)
10、有f(x)0证明存在一点x(0,1)使nf(x)f(1-x)=成立 f(x)f(1-x)分析：欲证其成立，只需证nf(x)f(1-x)-f(1-x)f(x)=0由于对任意x(0,1)有f(x)0，故只需证：x=xn(f(x)n-1f(x)f(1-x)-f(1-x)(f(x)n=0即(f(x)nf(1-x)=0，于是引入辅助函数F(x)=(f(x)nf(1-x) 例11：设函数f(x)在区间0，+上可导，且有n个不同零点：0x1x2xn试证af(x)+f(x)在0，+内至少有n-1个不同零点 证明：欲证af(x)+f(x)在0，+）内至少有n-1个不同零点，只需证方程af(x)+f(x)=0在0
11、，+内至少有n-1个不同实根 因为，x0,+)，eax0，故只需证方程eaxaf(x)+f(x)=0在0,+)内至少有n-1个不同实根 引入辅助函数F(x)=eaxf(x)，易验证F(x)在区间x1,x2，x2,x3，xn-1,xn上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这n-1个区间上应用罗尔定理，得F(x1)=F(x2)=F(xn-1)=0，其中x1(x1,x2),x2(x2,x3),xn-1(xn-1,xn)且0x1x2xn-1 以上说明方程F(x)=0在x1,x2x2,x3xn-1,xn0，+内至少有n-1个不同实根，从而证明了方程af(x)+f(x)=0在0，+内至少有n-1个不同实根 6
12、 待定系数法 在用待定系数法时，一般选取所证等式中含x的部分为M，再将等式中一个端点的值b换成变量x，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数j(x)，这样首先可以保证j(b)=0，而由等式关系j(a)=0自然满足，从而保证j(x)满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数M与f(x)之间的关系 例12：设f(x)是a,b上的正值可微函数，试证存在x(a,b)，使lnf(b)f(x)=(b-a) f(a)f(x)证明：设lnf(b)f(x)=M(b-a)，-M(x-a)容易验证j(x)在a,b 上令j(x)=lnf(a)f(a)满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在x(a,b)使j(x)=
13、0，解得M=f(b)f(x)=(b-a) f(a)f(x)f(x)，故f(x)ln例13：设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点x使2xf(b)-f(a)=(b2-a2)f(x) 证明：将所证等式看作f(b)-f(a)=(b2-a2)f(x)，设f(b)-f(a)=M(b2-a2)，2x令j(x)=f(x)-f(a)-M(x2-a2)，则j(x)满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点x(a,b)，使j(x)=0，即f(x)=2Mx，若x=0，则f(x)=0，结论成立；若x0，则M=f(x)，从而有2xf(b)-f(a)=f(x)(b2-a2) 2x例1
14、4：设0x1x2，则存在x(x1,x2)使x1ex2-x2ex1=ex(1-x)(x1-x2) 分析：对于此题设x1ex2-x2ex1=M(x1-x2)作函数j(x)=x1ex-xex1-M(x1-x)应用罗尔定理可得存在x(x1,x2)，使j(x)=0，即x1ex-ex1+M=0，从而M=ex1-x1ex，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数 11ex2ex111ex2ex1x证明：将所证等式变形为-=e(1-x)(-)，设-=M(-)，x2x1x2x1x2x1x2x111exex1-M(-)，则j(x)满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在令j(x)=-xx1xx1xex-ex1+M=0，于是M=(1-x)ex，故x(x1,x2)，使j(x)=0，即22xxx1ex2-x2ex1=ex(1-x)(x1-x2) 总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，巧妙构造辅助函数抓住这两点，即可顺利完成证明
