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1、中学重要不等式几个重要不等式 一、平均值不等式 设a1,a2, an是n个正实数，则时取等号 1.二维平均值不等式的变形 ，当且仅当a1=a2=an(1)对实数a,b有a+b2ab (2)对正实数a,b有22(3)对b0，有， (4)对ab0有2， (5)对实数a,b有a(a-b)b(a-b) (6)对a0,有(7) 对a0,有 (8)对实数a，b有a22ab-b2 (9) 对实数a，b及l0，有二、例题选讲 例1.证明柯西不等式 证明：法一、若或命题显然成立，对0且0，取 代入(9)得有 两边平方得 法二、，即二次式不等式恒成立 则判别式例2.已知a0,b0,c0,abc=1,试证明： (1
2、) (2) 证明：(1)左= = (2)由知 同理： 相加得：左 例3.求证： 证明：法一、取，有 a1(a1-b)b(a1-b), a2(a2-b)b(a2-b), an(an-b)b(an-b) 相加得(a1+ a2+ an)-( a1+ a2+ an)bb(a1+ a2+ an)-nb0 222所以2222法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+ an)=(a11+ a21+ an1)(a1+ a2+ an2)(12+12+12) =(a1+ a2+ an)n, 所以原不等式成立 例4.已知a1, a2,an是正实数，且a1+ a2+ an0, 则原不等式即na1a2an+1(1-a1)(1-a2)(1-an) 1-a1=a2+a3+an+1n1-a2=a1+a3+an+1nn+1 1-an+1=a1+a1+ann相乘得(1-a1)(1-a2)(1-an)n例5.对于正整数n，求证： n+1证明：法一、 法二、左= = 例6.已知a1,a2,a3,an为正数，且，求证： (1) (2) 证明：(1) 相乘左边=(n+1) 2n证明(2) 左边= -n+2( = -n+2(2-a1)+(2-a2)+(2-an)( -n+2n
