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1、中考数学压轴题训练圆 一、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点A在圆外； 二、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点； 2、直线与圆相切 d=r 有一个交点； 3、直线与圆相交 dR+r； 外切(图2) 有一个交点 d=R+r； 相交(图3) 有两个交点 R-rdR+r； 内切(图4) 有一个交点 d=R-r； 内含(图5) 无交点 dR-r； 图4 图5 d R R 图1 d d d A B d r C O d r d d=r r d r R 图2 r R 图3 r r d r R 第 1 页 共 11 页 四、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论
2、1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 C A O E B D 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理共5个结论，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：AB是直径 ABCD CE=DE 弧BC=弧BD 弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD 弧AC=弧BD 五、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等， 弦心距相等。 此定理也称1
3、推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：AOB=DOE；AB=DE；OC=OF； 弧BA=弧BD 中任意1个条件推出其他3个结论。 六、圆周角定理 C 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在O中，C、D都是所对的圆周角 C=D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角； 圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 B 即：在O中，AB是直径 或C=90
4、 C=90 AB是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 第 2 页 共 11 页 C O A D B E F D A C B O B O A D C B O A C O A C B O A 即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90 注：此推论实际上是定理“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理。 七、切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线 (2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如图
5、) 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 八、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点 和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PA=PB，PO平分BPA 九、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。 即：O1、O2相交于A、B两点 O1O2垂直平分AB 十、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： (1)公切线长：RtDO1
6、O2C中，AB2=CO12=O1O22-CO22； (2)外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。 十一、圆内正多边形的计算 第 3 页 共 11 页 O M A N B O P A A O1 B O2 A C O2 B O1 C O B D A (1)正三角形 在O中ABC是正三角形， 有关计算在RtDBOD中进行：OD:BD:OB=1:3:2； (2)正四边形 同理，四边形的有关计算在RtDOAE中进行， OE:AE:OA=1:1:2： B O C (3)正六边形 同理，六边形的有关计算在RtDOAB中进行， A E D AB:OB:OA=1:3:2. 十二、扇形、
7、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：(1)弧长公式：l=A O B A npR； 180O S B l npR21=lR (2)扇形面积公式： S=3602n：圆心角 R：扇形所对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱： (1)圆柱侧面展开图 2 S表=S侧+2S底=2prh+2pr A D D1 B 母线长 底面圆周长 C1 C B1 (2)圆柱的体积：V=prh (2)圆锥侧面展开图 2(1)S表=S侧+S底=pRr+pr 2O (2)圆锥的体积：V= 12prh 3A C r B 第 4 页 共 11 页 1如图，将边长为a的正六边形A1 A2 A3 A4 A5 A6在直线l
8、上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为( ) A. 4+238+43pa B pa 334+34+23pa D pa 36 C 2. 如图，AC是O的直径，弦BD交AC于点E 求证：ADEBCE； 如果AD2=AEAC，求证：CD=CB 3. 如图，已知点E在直角ABC的斜边AB上，以AE为直径的O与直角边BC相切于点D 求证：AD平分BAC； 若BE=2，BD=4，求O的半径 4. 如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证： 第 5 页 共 11 页 D是BC的中点；
9、 BEC ADC； AB CE=2DPAD 5如图，在锐角ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，于E，过O作ODBC交O于D，连结AE、AD、DC 1AC长为半径作O，交BC2AE的中点； (1)求证：D是(2)求证：DAO =B +BAD； (3)若 6. 已知，AB是O的直径，点P在弧AB上，把AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在O上 当P、C都在AB上方时，判断PO与BC的位置关系； SDCEF1=，且AC=4，求CF的长 SDOCD2第 6 页 共 11 页 当P在AB上方而C在AB下方时，中结论还成立吗? 证明你的结论； 当P、C都在AB上方时，过C点作CD直线AP于D，且
10、CD是O的切线，证明：AB=4PD 7己知：如图，ABC内接于O，AB为直径，CBA的平分线交AC干点F，交O于点D，DFAB于点E，且交AC于点P，连结AD。 (1)求证：DAC=DBA； (2)求证：P处线段AF的中点； 第 7 页 共 11 页 DCPAEOFB(3)若O的半径为5，AF= 15，求tanABF的值。 28、如图，O是RtABC的外接圆，AB为直径，ABC=30，CD是O的切线，EDAB于F， (1)判断DCE的形状；(2)设O的半径为1，且OF= 9、如图，AB是O的切线，切点为A，OB交O于C且C为OB中点，过C点的弦CD使ACDA F O 3-1，求证DCEOCB
11、2B D C E AD的长为45，2p，求弦AD、AC的长 2第 8 页 共 11 页 10、如图14，直线AB经过eO上的点C，并且OA=OB，CA=CB，eO交直线OB于E，D，连接EC，CD 求证：直线AB是eO的切线； 试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明； 若tanCED= 11、O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作O的切线PE，E为切点，PEOD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K 求证：四边形OCPE是矩形； 求证：HKHG； KHGF第 9 页 共 11 页 1，eO的半径为3，求OA的长 2EPBDAOC若EF2，FO1，求KE的长 的中点BC，AB边上的高AE，CF12、如图，ABC内接于eO，BAC=60，点D是BCo相交于点H试证明： FAH=CAO； 四边形AHDO是菱形 13、如图，在ABC中ACB=90，D是AB的中点，以DC为直径的eO交ABC的三边，交点分别是G，F，E点GE，CD的交点为M，且ME=46，MD:CO=2:5 求证：GEF=A 求eO的直径CD的长 第 10 页 共 11 页 oB G F M O C A D 若cosB=0.6，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为X轴 和Y轴，建立平面直角坐标系，求直线AB的函数表达式 第 11 页 共 11 页
