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1、中考数学综合题专题复习几何中的动点问题专题解析数学专题之精品解析 中考数学综合题专题复习专题解析 如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高为4动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t ADNBMC当MNAB时，求t的值； 试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形 本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说
2、，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 解：由题意知，当M、N运动到t秒时，如图，过D作DEAB交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形 ADNBEMCABDE，ABMN DEMN MCNC =ECCD10-2tt50 =解得t=10-3517第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,
3、MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 分三种情况讨论： 当MN=NC时，如图作NFBC交BC于F，则有MC=2FC即 1 数学专题之精品解析 DF4sinC=， CD53cosC=， 53t10-2t=2， 525解得t= 8ADNBMFC 当MN=MC时，如图，过M作MHCD于H 则CN=2CH， 3t=2(10-2t) 560t= 17ADNH 当MC=CN时， 则10-2t=t 10t= 3256010综上所述，当t=、或时，MNC为等腰三角形 83
4、17在ABC中，ACB=45点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF 如果AB=AC如图，且点D在线段BC上运动试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论 如果ABAC，如图，且点D在线段BC上运动中结论是否成立，为什么？ 若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC42，BC=3，CD=x，求线段CP的长 BMC 2 数学专题之精品解析 本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不
5、动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 ： 结论：CF与BD位置关系是垂直； 证明如下：QAB=AC ，ACB=45，ABC=45 由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90， DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABD BCF=ACB+ACF= 90即 CFBD 这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 ACFBD(1)中结论成立 F 理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG 可证：GADCAF ACF=AGD=45 CBGDEBCF=A
6、CB+ACF= 90 即CFBD 这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP. 过点A作AQBC交CB的延长线于点Q， 点D在线段BC上运动时， BCA=45，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x， CPx易证AQDDCP，CP=CD ， =， 4-x4DQAQx2CP=-+x 4点D在线段BC延长线上运动时， BCA=45，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x 过A作AGAC交CB延长线于点G，则DAGDDACF CFBD， CPxAQDDCP，CP=
7、CD ， =， 4+x4DQAQx2CP=+x 4已知如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，3 数学专题之精品解析 MBC是等边三角形 求证：梯形ABCD是等腰梯形； 动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且MPQ=60保持不变设求y与x的函数关系式； PC=x，MQ=，y在中，当y取最小值时，判断PQC的形状，并说明理由 A M D B 60P Q C 本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是
8、不变的。题目给定MPQ=60，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 证明：MBC是等边三角形 MB=MC，MBC=MCB=60 M是AD中点 AM=MD ADBC AMB=MBC=60， DMC=MCB=60 AMBDMC AB=DC 梯形ABCD是等腰梯形 解：在等边MBC中，MB=MC=BC=4， MBC=MCB=60，MPQ=60 BMP+BPM=BPM+QPC=120 (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) BMP=QP
9、C BMPCQP PCCQ= BMBPPC=x，MQ=y BP=4-x，QC=4-y 4 数学专题之精品解析 x4-y12 y=x-x+4=44-x4 (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) 第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2 ，求PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。解： PQC为直角三角形 y=12x-2()+3 4当y取最小值时，x=PC=2 P是BC的中点，MPBC，而MPQ=60， CPQ=30， PQC=90 以上三类题目都是动点问
10、题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题. 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG 直接写出线段EG与CG的数量关系； 将图1中DBEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，连接EG， CG，你在中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 将图1中DBEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线
11、段，问中的结论是否仍然成立？ ADGEB图1CEFB图3CAGEFDADFB图2 C5 数学专题之精品解析 这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF旋转45之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是
12、两个全等的三角形出现了。 CG=EG 中结论没有发生变化，即CG=EG 证明：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点 在DDAG与DDCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DDAGDDCG AG=CG 在DDMG与DFNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DDMGDFNG MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN 在RtDAMG与RtDENG中， AM=EN，MG=NG， DAMGDENG AG=EG EG=CG AMGEFDNCB图2 第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也
13、是出于此原因，如果BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。 中的结论仍然成立 6 数学专题之精品解析 AGEFDB图3C已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将ABE沿直线AE翻折，点B落在
14、点B 处 BE=1 时，CF=_cm， CEBE当=2 时，求sinDAB 的值； CEBE当= x 时，请写出ABE翻折后与正方形ABCD公共部CE当分的面积y与x的关系式， A D C 动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情
15、况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。 CF= 6 cm； 如图1，当点E在BC上时，延长AB交DC于点M， ABCF， ABEFCE， B BEAB =CEFCBE=2， CF=3 CE ABCF，BAE=F 7 图1 数学专题之精品解析 又BAE=B AE， B AE=F MA=MF 设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k 在RtADM中，由勾股定理得： k=(9-k)+6， 解得 k=MA=法） sinDAB=222135 DM=当点E在BC上时，y=； x+1当点E在BC延长线上时，y=图2 18x-18 x 通过以上五道例题，我们研究了动
16、态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下： 第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。 第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的
17、那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。 第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。 8 数学专题之精品解析 已知：如图，射线AM/射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动，E是AB边上的动点求证：DADEDBEC； 如图，当点E为AB边的中点时，求证：AD+BC=CD； 设AE=m，请探究：DBEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含
18、有m的代数式表示DBEC的周长；若无关，请说明理由 第25题 第25题 本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。 ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0PBC180， 且PBC平分线上的一点D满足DB=DA， 当BP与BA重合时，BPD= ； 当BP在ABC的内部时，求BPD的度数； 当BP在ABC的外部时，请你直接写出BPD的度数
19、，并画出相应的图形 本题中，和动点P相关的动量有PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下 9 数学专题之精品解析 如图：已知，四边形ABCD中，AD/BC， DCBC，已知AB=5，BC=6，cosB=3 5点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN 当BO=AD时，求BP的长； 点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为
20、多长时BP=MN；若不存在，请说明理由； 在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作C，请直接写出当C存在时，O与C的位置关系，以及相应的C半径CN的取值范围。 A A D D P M B C B O N C 这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。 在ABCD中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1) 在图1
21、中画图探究： 当P为射线CD上任意一点时，连结EP1绕点E逆时针旋转90 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明； 当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. 若AD=6,tanB=4,AE=1,在的条件下，设CP1=x，SP1FC1=y，求y与x之间的函3数关系式，并写出自变量x的取值范围. 10 数学专题之精品解析 本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90的条件。旋转90自然就是垂直
22、关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。 证明： DEEC， DEC=90 AED+BEC=90 又 A=B=90， AED+EDA=90 BEC=EDA DADEDBEC 证明：如图，过点E作EF/BC，交CD于点F， E是AB的中点，容易证明EF=1(AD+BC) 21CD 2第25题 在RtDDEC中， DF=CF， EF= 11(AD+BC)=CD 22 AD+BC=CD
23、 解：DAED的周长=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m 设AD=x，则DE=a-x 222 A=90， DE=AE+AD即a-2ax+x=m+x 2222a2-m2 x= 2a 由知DADEDBEC， 11 数学专题之精品解析 a2-m2DADE的周长ADa+m2a= =DBEC的周长BEa-m2a DBEC的周长=2aDADE的周长=2a a+m DBEC的周长与m值无关 解：BPD= 30 ； 如图8，连结CD 解一： 点D在PBC的平分线上， 1=2 ABC是等边三角形， BA=BC=AC，ACB= 60 BP=BA， BP=BC BD= BD， PBDCBD DB=DA，BC=A
24、C，CD=CD， BCDACD 3=4=ACB=30 BPD =30 解二： ABC是等边三角形， BA =BC=AC DB=DA， CD垂直平分AB 3=4=ACB=30 BP=BA， BP=BC 点D在PBC的平分线上， PBD与CBD关于BD所在直线对称 BPD=3 BPD =30 BPD= 30或 150 图形见图9、图10 P1212APB12D图8 34 BPD=3- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 CAAP或12 DADBBCBCC数学专题之精品解析 解：过点A作AEBC,在RtABE中，由AB=5，cosB=3得BE=3 5 CDBC，AD
25、/BC，BC=6， AD=EC=BCBE=3 当BO=AD=3时， 在O中，过点O作OHAB,则BH=HP BH39=cosB,BH=3= BO5518 BP= 5 不存在BP=MN的情况- 假设BP=MN成立， BP和MN为O的弦，则必有BOP=DOC. 过P作PQBC，过点O作OHAB, CDBC，则有PQODOC- 设BO=x，则PO=x,由BP=2BH=BH33=cosB=，得BH=x, x556x. 51824BQ=BPcosB=x，PQ=x 2525187OQ=x-x=x 252524x29PQDCPQODOC，即25=4，得x= =6OQOC7x6-x25当x=29629时，BP
26、=x=5=AB，与点P应在边AB上不符， 655不存在BP=MN的情况. 情况一：O与C相外切，此时，0CN6；-7分 情况二：O与C相内切，此时，0CN7.-8分 3A D M P H 13 B Q O N C 数学专题之精品解析 解：直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直 证明：如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H 线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90依次得到线段EF、EG1， ，EG1=EPPEG11=CEF=901，EF=EC =90-PEFG1EF=90-PEF，PEC， 111G1EF=PEC 1G1EFPEC 1G1FE=PCE 1ECCD， B P2 图1 A E C
27、 G1 F G2 P1 H D =90， PCE1G1FE=90 EFH=90 FHC=90 FG1CD 按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直 四边形ABCD是平行四边形， B=ADC 4， 34DE=5，tanEBC=tanB= 3，tanB=AD=6，AE=114 数学专题之精品解析 可得CE=4 由可得四边形EFCH为正方形 CH=CE=4 G1 如图2，当P1点在线段CH的延长线上时， =x-4， FG1=CP1=x，PH1SP1FG1F A B 图2 E C 1x(x-4) =FG1PH=122P1 H D 12y=x-2x(x4) 2如图3，当P1点在线段CH上时， G1 =x-4， FG1=CP1=x，PH1SP1FG1F H 1x(4-x) =FG1PH=122B A E C 图3 D P1 12y=-x+2x(0x4)或21y=-x2+2x(0x4) 2 标是(- 52-4,0) 2 15
