《中考数学中以圆为框架的综合计算与证明专题训练与解析100题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学中以圆为框架的综合计算与证明专题训练与解析100题.docx（261页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、中考数学中以圆为框架的综合计算与证明专题训练与解析100题数学专题之精品解析 中考数学中以圆为框架的综合计算与证明专题训练与解析 例1在ABC中，分别以AB、AC为直径在ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点 如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：DO1FFO2E； 如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若ACB90，DB5，CE3，求线段PQ的长； 如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD
2、的延长线于点P，连接PA求证：PA是半圆O1的切线 P P D A D A A D Q O1 O1 O1 E O2 O2 O2 E B C B F C B C F F 证明：O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点 O1FAC且O1FAO2，O2FAB且O2FAO1 BO1FBAC，CO2FBAC BO1FCO2F 点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点 O1FAO2O2E，O2FAO1O1D，BO1D90，CO2E90 BO1DCO2E，DO1FFO2E DO1FFO2E 解：延长CA至G，使AGAQ，连接BG、AE 点E是半圆O2圆弧的中点，AECE3 AC为半圆O2的直径，AEC90 A
3、CECAE45，AC32 AQ是半圆O2的切线，CAAQ，CAQ90 AQEACE45，GAQ90，AQACAG32 同理：BAP=90，AB=AP52 CG62，GABQAP AQPAGB，PQBG ACB90，BCAB AC 42 22 22 Q E 图1 图2 图3 D O1 A O2 C E B F P G D A O1 O2 C E Q B F BGBC GC 226，PQ226 设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CGMF于G，过B作BHMF于H，连接DH、1 数学专题之精品解析 AD、DM F是BC边的中点，SABFSACF，BHCG 由知，CAQ90，ACAQ，2390 FMPQ
4、，2190，13 同理：24 AMQCGA，AMCG，AMBH P 同可证ADBD，ADBADP90 ADBAHB90，ADPAMP90 M A、D、B、H四点在以AB为直径的圆上 1Q A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上 7629D 且DBHDAH180 A 38558，67 O1 E DAMDAH180，DBHDAM O2 DBHDAM，59 G 4HDM90，5790 C F B 6890，PAB90，PAAB H 又AB是半圆O1的直径，PA是半圆O1的切线 2如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB90，点C是AB上的一个动点，ODBC，OEAC，垂足分别为D、E 当BC1时，求线
5、段OD的长； 在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由； 设BDx，DOE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域 B D C E O A 11解：ODBC，BD2BC2 1522在RtBOD中，ODOB BD 2 存在，长度保持不变的边为DE 连接AB OAOB2，AOB90，ABOA OB 22 ODBC，OEAC，D是BC中点，E是AC中点 B 22 D C 1DE2AB2 E 2 连接OC，过D作DFOE于F OD2，BDx，OD4x OAOBOC，ODBC，OEAC 12，34 O A B 2 D C 数学专题之精品解析 AO
6、B90，DOE45 4x 在RtDOF中，DFOF 22 在RtDFE中，EFDE DF 22 4x 22x 2224x 4x 112yOEDF(x) 222222 2 4x x4x 即y 4 3如图，已知在ABC中，AB15，AC20，cotA2，P是边AB上的一个动点，P的半径为定长当点P与点B重合时，P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且P与边AC相交于点M和点N时，设APx，MNy 求P的半径； N 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； 当AP65时，试比较CPN与A的大小，并说明理由 M A B P 解：过B作BDAC于D P与边AC相切，BD是P的半径 22 C 5cot
7、A2，sinA5 C H M A P B D N BD又sinAAB，AB15，BD35 过P作PHMN于H 5则PH5x，PMBD35 MHPM PH 22 12455x y2MH22即y512455x 11255x 2 当AP65时，CPNA 理由如下： 当AP65时，PH6，MH3，AH12，AM9 AC20，MN6，CN5 AM935PN35AMPNMP5，CN5，MPCN 35又PMPN，PMNPNM 3 数学专题之精品解析 AMPPNC，AMPPNC CPNA 4如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，B60，AB10，AD4，M与BAD的两边相切，点N在射线AB上，N与
8、M是等圆，且两圆外切 设ANx，M的半径为y，求y关于x的函数关系式； 当x为何值时，M与CD相切？ 直线CD被M所截得的弦与直线BC被N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由 A D M N B C 解：连接AM、MN，设M与AB相切于点E，连接ME N与M是等圆，且两圆外切 A 在RtMNE中，MN2ME，ANM30 D E ADBC，B60，BAD120 M与BAD的两边相切 NAM60，AMN90 11在RtAMN中AM2AN2x M N B C 3MEAMsin604x 3即y4x 设M分别与AD、CD相切于点F、G，连接MA、MF、MG 则M
9、FFDMGy 3331且AFMFcot603y34x4x A F M D G N B C 13AD4，AFFDAD，4x4x4 x8(31) 作NHBC于点H 若直线CD被M所截得的弦与直线BC被N所截得的弦的长相等，则弦心距MGNH 当点N在线段AB上时 AB10，BN10x A M F D G 3FDMGNHBNsin602(10x) N B 4 C H 数学专题之精品解析 113AF4x，AFFDAD，4x2(10x)4 104123x 11A F D 当点N在AB延长线上时 3则FDMGNHBNsin602(x10) M H B N G C 13x(x10)4 42x104123 11
10、当x104123104123或x时，直线CD被M所截得的弦与直线BC被N所截得的弦的1111长相等 5已知：半圆O的半径OA4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作OP的垂线交半圆O于点C，射线PC交半圆O于点D，连接OD 当ACCD时，求弦CD的长； 设PAx，CDy，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； 设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF1时，求tanP的值 D C P A B O A O 备用图 解：连接OC 当ACCD时，POCDOC BC垂直平分OP，PCOC4 PPOCDOC A 备用图 O C E D DOCDDOCDPO，DPDO 4CD即4CD4
11、，解得CD252 P A B O 1作OECD于E，则CEDE2y 当点C在AD上时 5 数学专题之精品解析 PBCPEO90，PP PBCPEO， PB PCPE PO x4 即 2 4 12 x4 ，y 4 x 2x4 4 y 2显然，B不与A重合，x4 当D与C重合时，PC是半圆O的切线 PCOC，PCO90 此时PCO是等腰直角三角形 OP2OC，即x442，x424 D不与C重合，x424 424x4 y1 x24 2x4 当点C在AD 外时 同理，PBCPEO， PB PCPE PO x4 即 2 4 12 x4 ，y 4 x 2x44 y 2当点C在AD 上时，过D作DGOP交B
12、F于G 则DEGPEB，DEFOBF DE DG DG DF 1 PE PB OB OF 41 y DE 12PE 5 ，即1y 4 y5，解得21 2CE1，PE5，OE 422 1 15 tanP OE 15 PE 5 当点C在AD 外时，过D作DGOP交BE于G 则DEGPEB，DFGBFO DE DG DG DF 1 PE PB OB OF 41 y DE 12PE 3 ，即 1y 4 y3，解得21 2 6 C E D P A B O F C E G D P A B O C E D F G P A B O 数学专题之精品解析 CE1，PE3，OEOE15tanPPE3 4115 22
13、 36在RtABC中，C90，AC6，sinB5，B的半径长为1，B交边BC于点P，点O是边AB上的动点 如图1，将B绕点P旋转180得到M，请判断M与直线AB的位置关系； 在的条件下，当OMP是等腰三角形时，求OA的长； 如图2，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的N和以OA为半径的O外切，设NBy，OAx，求y关于x的函数关系式及定义域 C C N P A B A B O 图1 图2 3解：在RtABC中，C90，AC6，sinB5 AB10，BCAB AC 过点M作MDAB于D 22 1068 22 C MD3在RtMDB中，MDB90，sinBMB5 A 36MB2，MD5251
14、P D B M M与直线AB相离 6MD51MP，OMMP C 若OPMP，易得MOB90 OBBC88cosBBMAB10，OB5 A 842OA1055 P O B M 若OMOP，过O作OEBC于E EBBC815cosBOBAB10，OB8 C 1565OA1088 M E A 4265当OMP是等腰三角形时，OA的长为5或8 连接ON，过N作NFAB于F O P B 7 数学专题之精品解析 3在RtNFB中，NFB90，sinB5，NBy C 344NF5y，BF5y，OF10x5y N A O F B N和O外切，ONxy 在RtNFB中，ON OF NF 42322(xy)(10
15、x5y)(5y) 22225050xyx40 7如图，O的半径为6，线段AB与O相交于点C、D，AC4，BODA，OB与O相交于点E，设OAx，CDy 求BD的长； 求y关于x的函数关系式，并写出定义域； 当CEOD时，求AO的长 O E A B C D 解：OCOD，OCDODC，OCAODB BDODBODA，OBDAOC，OCAC BD6OCOD6，AC4，64，BD9 OBDAOC，AOCB ABAO又AA，ACOAOB，AOAC O E A C D B y13xABACCDBDy13，x4 12y4x13 120y8，04x1312，解得213x10 定义域为213x10 OCOE，
16、CEODCODBODA AOD180AODC180CODOCDADO 12ADAO，y4x，4x134x x2210 AO2210 8如图，ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，且直线AH交BC于F设D、E、G分别为内切圆I与边BC、CA、AB的切点，求证： 8 数学专题之精品解析 AGDF； D、H、E三点共线 A E G I H B C D F 证明：由题意I为ABC的内心，所以ABHHBF AFBH，AHBFHB90 又BHBH，AHBFHB，ABBF 又由切线长定理，得BGBD AGDF 连接DE、EH、AI、EI AEIAHI90，A、E、H、I四点在以AI为直径的圆上
17、 AEHAIB 1I为ABC的内心，AIB902C A E I B H C G 1AEH902C D CDCE，DEC180C190C 22F AEHDEC180 D、H、E三点共线 9如图，扇形OMN的半径为1，圆心角90，点B是MN上一动点，BAOM于点A，BCON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q 求证：四边形EPGQ是平行四边形； 探索OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形； 试说明3PQ OA 是定值 N C G O 证明：AOC90，BAOM，BCON 四边形OABC是矩形，ABOC，ABOC E、G分别是AB
18、、CO的中点 AEGC，AEGC 9 22N F P Q D B E A M O 备用图 M N F P Q B E C G 数学专题之精品解析 四边形AECG为平行四边形，CEAG 连接OB 点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点 GFOB，DEOB，PGEQ 四边形EPGQ是平行四边形 当CED90时，EPGQ是矩形 此时AEDCEB90 又DAEEBC90，AEDBCE N ADAEF B AEDBCE，BEBC C yx2222设OAx，ABy，则 x，得y2x y2P G Q O D A M E 又OA AB OB ，即xy1 222222322x2x1，解得x3 3
19、当OA的长为 3时，四边形EPGQ是矩形 N BF P AOQ D B E A M 连接GE交PQ于点O，则OPOQ，OGOE 过P作OC的平行线分别交BC、GE于点B、A PGPEGE由PCFPEG得，PFPCFC2 C G 2111PA3AB3AB，GA3GE3OA O 11AO2GEGA6OA PQ AB OA 在RtPAO 中，PO PA AO ，即 4936 222222122222又AB OA 1，3PQ AB 3 11422223PQ OA AB 3OA 133 10如图，AE切O于点E，AT交O于点M、N，线段OE交AT于点C，OBAT于点B，已知EAT30，AE33，MN22
20、2 求COB的度数； 求O的半径R； 点F在O上，且EF5，将OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E、F重合在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC的周长之比 A E M 10 F C O B N 数学专题之精品解析 解：AE切O于点E，OEAE OBAT于点B，AECOBC90 又ACEOCB，ACEOCB COBEAT30 在RtAEC中，CEAEtan303 OCBACE60 A M 设BCx，则OB3x，OC2x (C222F C B 连接ON，得(3x)(22)(2x3)
21、) 解得x1或x13，x1 O R2x35 这样的三角形有3个 画直径FG，连接GE EFOEOF5，EFG60BCO GEF即为所要画出的三角形 三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似 变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比 又两个直角三角形斜边长FG2R10，OC2 GEF与OBC的周长之比为5 :1 E (B) N G T (O) 11定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离 ab已知O，A，B，C是平面直角坐标系中四点 根据上述定义，当m2，n2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_； 当m5，n2时，如图2，线段
22、BC与线段OA的距离为_ 如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式 当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M 求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长； 点D的坐标为，m0，n0作MHx轴，垂足为H，是否存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与AOD相似，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由 y y y B C B C B C O A x O A x O A x 11 数学专题之精品解析 y y M C x x O A O A 解：2 当4m6时，显然线段BC与线段OA的距离等于A半径，即d2 当2
23、m4时，作BNx轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长 d 2(4m)m8m12 22 2y B N O B A x C C m28m12d关于m的函数解析式为：d 2由题意可知，由线段PE，EFG，线段GK，KNP所围成的封闭图形就是点M随线段BC运动所围成的 y P B M C E x N O A F K G 点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为： 22224164 m0，n0，点M随线段BC运动所形成图形的是线段M0E和EF 易知AOD是两直角边为1 :2的直角三角形 MH1MH若AMH与AOD相似，则 HA2 或 HA2 y B (D) O M0 M1 C M2 E M3
24、x M1H1当2m24时，显然M1H1H1A，HA2 1M1H12，H1A1，OH13 m1321 当4m26即M2在线段CE上时，同理可求m2523 H1 A H2 R H3 F x M3H31当6m28即M3在线段EF上时，AH32M3H3，HA2 3设M3H3x，则AH32x，AH32x2 12 数学专题之精品解析 8222又RH32，(2x2)x2，x15，x20 363626OH342x5，m3525 综上可知，存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与AOD相似，相应m的值为1，3，265 12已知矩形ABCD中，AB2，AD5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作O
25、，交BC于点F，过点F作FHCE于H，直线FH交O于点G 当直线FH与O相切时，求AE的长； 当FHBE时，求FG的长； 在点E运动过程中，OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由 E A D H O B C F B 解：连接OF、EF BE是O的直径，BFE90 又AABF90，四边形ABFE为矩形 AEBF，DECF FH与O相切，OFFH FHCE，OFCE BOOE，BFCF 15AEDE2AD2 A O B E H D F C 作OMFG于M，连接OF FHBE，BECFHC90 AEAB易证ABEDEC，DCDE AE2即25AE，解得AE1或4
26、当AE1时，BF1，DECF4 5BE5，CE25，OF2 A O B E H G M D 85由CFHCBE，得CH5 F C 13 数学专题之精品解析 OMEHCECH25FMOF2235 5， OM 10 FG2FM35 5 当AE4时，BF4，DECF1 BE2 5，CE 5，OG 5 由CFHCBE，得CH55 OMEHCECH4522355，FMOG OM 5 FG2FM65 5 连接EF，设AEx 则EFAB2，BFAEx，CFDE5x 若OFG是等腰直角三角形，则FOG90 当点G在点F上方时 连接BG、EG，设BG、EF交于点K，作GMEF于M 则FBGFEG45 BFK和E
27、GK都是等腰直角三角形 KFBFx，EK2x，GMKM112 EK1 2 x FMx1112 x1 2 x GFMECF90FEC RtGMFRtEFC， GM EFFM CF 11 2x2 1 x5x，解得x95795712，x22512 当点G在点F下方时 连接BG、EG，设BC、EG交于点K，作GMBF于M 则GBFGEF45 BGK和EFK都是等腰直角三角形 KFEF2，EK22 BKx2，GMKM1112( x2)，FM2 2( x2) 2( x2) MFGHFCFEC90HCF RtFMGRtEFC， FM EFGM CF 1 2(x2) 2 1571571 5x ，解得x1 2，
28、x2 ) 2 2( x2 14 A E D O H B F C M G A E H D O M G K B F C A E D O B M H K F C G 数学专题之精品解析 957157综上所述，OFG能成为等腰直角三角形，此时AE的长为 2或2 13在平面直角坐标系中，点A、B，点P是线段OA上一动点，以PA为半径的P与线段AB的另一个交点为C，作CDOB于D 求证：CD是P的切线； 当P与OB相切时，求P的半径； 在的条件下，设P与OB相切于点E，连接PB交CD于F 求CF的长； 在线段DE上是否存在点G使GPF45？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由 y y B B D D
29、 F C E C x x O P A O P A 图1 图2 y 证明：连接PC，过B作BNx轴于N B PCPA，12 A，B，OA10，BN8，ON6 在RtOBN中，OBON BN OAOB，OBA1 OBA2，PCOB CDOB，CDPC CD是P的切线 解：设P的半径为r P与OB相切于点E，OBPE 22 6810 22 D C 2 1 O N P A x PEr在RtOPE中，sinEOPOP10r y B D F E O P N C BN84在RtOBN中，sinBONOB105 r44010r5，解得r9 404050由知r9，OP1099 A x 1022OEOP PE 3
30、 15 数学专题之精品解析 PCDCDEPED90 四边形PCDE是矩形 PEPC，矩形PCDE是正方形 40PEDC9 104020BDOBOEDE10399 BFDPFC，BDFPCF90 DFBDBDFPCF，CFPC 4020CF9980即CF40，解得CF27 9y B D G E T O 4 3 存在 在DE延长线上截取ETCF 四边形PCDE是正方形 PETPCF90，PEPC PETPCF，43，PTPF CPE90，GPF45 GPE345，GPE445 即GPT45，GPTGPF 又PGPG，PGTPGF GFGTGEETGECF 4080设GEa，则DG9a，GF27a
31、F C P A x 408040又DFDCCF92727 在RtDFG中，DF DG GF 2240240808(27)(9a)(27a)，解得a9 2228即EG的长为 9 14如图，以ABC的边BC为弦，在点A的同侧画BC交AB于D，且BDC1902A，点P是BC上的一个动点 判定ADC的形状，并说明理由； 若A70，当点P运动到PBAPBC15时，求ACB和ACP的度数； 当点P在BC运动时，过点P作直线MNAP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在这样的点P，使得BMP和BPC和CPN彼此相似？请说明理由 A A D D B P 16 C B C 备用图 数学专题之精品解析 解：ADC
32、是等腰三角形 1BDC902A 111ADC902A，ACD902AA902A ACDADC，ADC是等腰三角形 A70，PBAPBC15 ACB1807021580 11BPCBDC902A90270125 A M D P N C B PCB1801512540 ACPACBPCB804040 存在当点P运动至CD的中点时，BMP和BPC和CPN彼此相似 P是CD的中点，ABPCBP 设Ax，ABPCBPy 11则ACB180x2y，PCB180y(902x)90y2x 11ACPACBPCB180x2y(90y2x)90y2x PCBACP，PC平分ACB 当点P运动至CD的中点时，点P是
33、ABC的角平分线的交点 1连接AP，则AP平分BAC，BMPCNP902xBPC BMP和BPC和CPN彼此相似 15如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，BC4AD42，B45将直角三角板含45角的顶点E放在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F 在点E移动过程中，当ABE为等腰三角形时，求CF的长； 在点E移动过程中，求ADF外接圆半径的最小值 D A F B E 解：BC4AD42，AD2 11等腰梯形ABCD，B45，AB22(BCAD)22(422)3 C B45，BAEAEB135 17 数学专题之精品解析 AEF45，CEFAEB135 BAECEF，又BC D A BEABBAECEF，CFEC F C ECBCBE42BEBE CFABBEABBE3B E 2325若AEBE，则AEB90，BE2AB2，代入得CF2 若ABAE，则BAE90，BE2AB32，代入得CF2 若ABBE，则BE3，代入得CF423 设ADF外接圆的圆心为O ADF135，AOF90，AF2r 当AF最小时，r也最小；又当CF最大时，AF最小 由知CF42BE1242182BEBE BE(BE22) 333338当BE22即E为BC
