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1、中考数学复习专题 代数式中考数学复习专题 代数式 一. 教学目标： 1. 复习整式的有关概念，整式的运算 2. 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式。 3. 掌握分式的概念、性质，掌握分式的约分、通分、混合运算。 4. 理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根，了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式
2、的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。 二. 教学重点、难点： 因式分解法在整式、分式、二次根式的化简与混合运算中的综合运用。 三.知识要点： 知识点1 整式的概念 单项式单项式的次数系数 整式多项式多项式的次数项数系数升降幂排列整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项式； 单项式的次数是所有字母的指数之和； 多项式的次数是多项式中最高次项的次数； 单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号 同类项概念的两个相同与两个无关： 两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同； 两个无关：一是与系数的大小无关，二是与字母的顺序无关； 整式加减的实质是合
3、并同类项； 因式分解与整式乘法的过程恰为相反。 知识点2 整式的运算 page 1 of 7 幂的运算 aman=am+n(a)mn=amn=anbn(ab)n单项式乘以单项式 单项式乘以多项式 提公因式法 因式分解 多项式乘以多项式 公式法 (a+b)(a-b)=a2-b2提公因式法 乘法公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 知识点3 因式分解 多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止分解因式的常用方法有： 提公因式法 如多项式am+bm+cm=m(a+b+c), 其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式
4、 运用公式法，即用 a2-b2=(a+b)(a-b), a22ab+b2=(ab)2,a3b3=(ab)(a2mab+b2)写出结果 十字相乘法 对于二次项系数为l的二次三项式x+px+q, 寻找满足abq，abp的a，b，如有，则x2+px+q=(x+a)(x+b);对于一般的二次三项式ax22+bx+c(a0),寻找满足 2a1a2a，c1c2c，a1c2a2c1b的a1，a2，c1，c2，如有，则ax+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行 分组时要用到添括号：括号前面是“”号，括到括号里的各项都不变符
5、号；括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号. 2求根公式法：如果ax+bx+c=0(a0),有两个根x1，x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。 知识点4 分式的概念 page 2 of 7 分式的定义：整式A除以整式B，可以表示成式，其中A称为分式的分子，B为分式的分母。 对于任意一个分式，分母都不能为零。 分式的约分 分式的通分 知识点5 分式的性质 AA的形式。如果除式B中含有字母，那么称为分BBaAmA=(m0)已知分式，分式的值为正：a与b同号；分式的值为负：a与b异号；分式的BnBb值为零：a0且b0；分式有意义：b0。 零指数 a0=1(a0) 负整数指数
6、 a-p=1(a0,p为正整数). apaman=am+n,整数幂的运算性质 aman=am-n(a0),(a)=amnmn,(ab)n=anbn上述等式中的m、n可以是0或负整数 知识点6 根式的有关概念 1. 平方根：若x2a，则x叫做a的平方根，记为2. 算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根； 3. 立方根：若x3a，则x叫做a的立方根，记为3a。 4. 最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。 5. 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。 知识点7 二次根式的性质 a(a0)是一个非负数； (a)2=a(a
7、0) a。 注意：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根； a(a0)a(a)2=|a|=0(a=0) =b-a(a0) ab(a0,b0) 知识点8 二次根式的运算 二次根式的加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并 二次根式的乘法 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ab=ab(a0,b0). 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式 二次根式的除法 二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母
8、的有理化因式，把分母的根号化去把分母的根号化去，叫做分母有理化 例题精讲 例1. 如果单项式axym3n-1为0时，a、m、n各为多少？ 仍为一个单项式，a、m、ny5的和与-5x2-m各为多少？ a=5解：m=2-m 3n-1=5a为有理数 a=5m=2-m m=13n-1=5n=2m=1 n=2 例2. 因式分解：4mx2-9my2 (a+b)2+2(a+b)+1 2x25xy2y2 解：原式m 原式=(a+b+1) 令-2x2+5xy+2y2=0 x=2-5y25y2+16y2-4 x=541y 45+415-41y） 442例3. 已知(3a2-2a+1)(a+k)的结果中不含a项，求
9、k的值； 32a-a+a+k的一个因式是a+1，求k的值； 2解：a2的系数为：3k20 k 3原式2当a1时32k0 k3 例4. 利用简便方法计算：的值， 你能确定积的个位数是几吗？ 解： 2641 264的个位数为6 积的个位数字为5 例5. x为何值时，下列分式的值为0?无意义？ x-2x+2x2-3x+2x2-x-2解：当x2 x1 时为零 当x2 x2，x1时分式无意义 例6. 分式的约分与通分 4a3c5b0.8x2ny2n-11. 约分： 2. 通分， 2222n-12n+1-2ac5bc10ab1.4xy8ac3bc-25ab4x解：原式2 , 2222222227y10ab
10、c10abC10abcx-3x2-2x-312+例7. 先化简后再求值：2，其中x=2+1 x+1x-1x+2x+13331x-3(x+1)2原式 (x+1)(x-1)(x+1)(x-3)x+1112x 2 x-1x+1x-1当x21时，原式1 11+a与34a2-2是同类二次根式，求a的值。 例8. 若最简二次根式-2 page 4 of 7 解：1a4a220, a11 ， a23 4a2-2a+1a-110-1例9. 已知:a,求-+值 22aa-a1-2a+a2+31解：a a231 2+3111-a|a-1|(a-1)2原式1 1 -a11-a2 -aaa(a-1)a(a-1)a-1
11、11当a时，a23, =2+3 a2+31原式232322 例10. 把根号外的因式移到根号内： 1-111a； (x-1)； x-； (2-x) ax-1x-2x解：原式a 原式-1-x 原式-x 原式-例11. 观察下列各式及其验证过程 x-2 2223(23-2)+22(22-1)+22=2+。验证：2 =2+2233332-12-133(33-3)+33(32-1)+33333=3+。验证：33 =3+8888832-132-1根据上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想44的变形结果并进行验证。 15针对上述各式反映的规律，写出用n表示的等式,并给出证明。 44343-4+44(42
12、-1)+44解：4 =4+1515151542-1n(n2-1)+nnn3n3-n+nnn =n+n2-1n2-1n2-1n2-1n2-1课后练习 一. 选择题 1. 下列运算正确的是 326m34235 A. 2x3x=6x B. 3a4a=12a C. -2a(-3a)=6a D. (-b)(-2b)=2b m2. 把a2a6分解因式，正确的是 A. a6 B. C. D. 3. 设150,则xy的值是 A. 5或3 B. 3或5 C. 3 D. 5 4. 不论为何值，代数式245的值 A. 大于或等于0 B. 0 C. 大于0 D. 小于0 5. 化简二次根式a-A. a+2的结果是 2
13、a-a-2 B. -a-2 C. a-2 D. -a-2 6. 下列命题：任何数的平方根都有两个如果一个数有立方根，那么它一定有平方根算术平方 page 5 of 7 根一定是正数非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 当1x2时，化简1x44xx2 的结果是 A. 1 B. 2x1 C. 1 D. 32x 二. 填空题 8. 矩形的面积为6x213x5，其中一边长为2x1，则另一边为 。 9. 对于分式x+y，如果x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值 2x10. 若x2kx6有一个因式是，则k的值是 ; 11. (-2)2的平方根是 ，9的算
14、术平方根是 ， 是64的立方根。 12. 2-3的倒数是 ；2-3的绝对值是 。8的有理化因式是 ，x-y的有理化因式是 。 三. 计算与解答题 13. 三角形某一边等于2a+b，第二边比第一边小224 4281 2242 x2+3xy16. 已知 x5xy6y0 求 的值 2y22211b+2），而第三边比第一边大，这个三角2217. 试求函数232129 的最大值和最小值。 练习答案 一. 选择题。 15 CCADB 67DC 二. 填空题。 8. 3x5 9. 是原来的10. 1 11. 试题答案 1 32, 3,4 12. =-2-3 3-2 2 x-y 三. 解答题 13. 2ab2ab-2 2ab2ab-2 2222136a3b4 22 page 6 of 7 14. 原式b220 15. 原式 -2-2-2+2y） 22-2+5-2-5原式4 22原式20 x2y或x3y x2+3xy4y2+6y2当x2y时，=5 222y2yx2+3xy9y2+9y2当x3y时，=9 222y2y217. 解：t2-3(x-2)+3 03233 t最大值2，t最小值2-3 page 7 of 7
