中考数学思维方法讲义第2讲证明四边形专题.docx

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1、中考数学思维方法讲义第2讲证明四边形专题 年级：九年级 第2讲 证明 1、牢记四边形的有关性质及其判定； 2、运用四边形的性质及判定进行有关计算与证明； 3、数学思想方法的合理运用。 1.平行四边形的性质及判定方法。 2.矩形的性质及判定方法。 3.菱形的性质及判定方法。 4.正方形的性质及判定方法。 5.梯形的概念及判定方法。 6.梯形问题的转化。 梯形的常见辅助线的添加方法： 通过添加辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形 一招制胜图形分离法 - 1 - 题型一: 选择题 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，A=120，则阴影部分的面积是 A3 B2 C3 D2 考点感悟：

2、 变式练习： 1、如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为( ) A 1 B3 C 2 D31 2、如图，梯形ABCD中，ABCD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则EFG的周长是 A.8 B.9 C.10 D.12 3、在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB5，BC6，则CECF的值为 A111132 B111132 C1111311311332或112 D112或12 题型二:填空题 如图，菱形ABCD中，A

3、B=AC，点E、F分别为边ADAB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DHE交AG于点O则下列结论ABFCAE，AHC=120，HOAH+CH=DH，AD 2=ODDH中，正确的结论是 BFC 变式练习： 1. 如图，线段AC=n+1，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到AME当AB=1时，AME的面积记为S1；当AB=2时，AME的面积记为S2；当AB=3时，AME的面积记为S3；当AB=n时，AME的面积记为Sn当n2时，SnSn1= 2、如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD

4、、DA的中点，则EG2+FH2= 。 新型试题 如图，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HDGCEB的结果； 将图中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图，求HDGCEB； 把图中的正方形都换成矩形，如图，且已知DAABHAAEm: n，此时HDGCEB的值与小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果 当=60时，求CE的长； 当6090时， 是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由 连接CF，当CE2CF2取最大值时，求C点的位置 考点感悟： - 2 - 写计算过程） 考点感悟： 如图1，梯形ABCD中，ADBC

5、，ABC2BCD2，点E在AD上，点F在DC上，且BEF=A. BEF=_(用含的代数式表示)； 当ABAD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想； 当ABAD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AEAB，ABmDE，ADnDE”，其他条件不变，求EBEF的值。 考点感悟： - 3 - 如图，在矩形OABC中，AO10，AB8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线yax2bxc经过O，D，C三点 求AD的长及抛物线的解析式； 一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向

6、点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与ADE相似？ 点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由 y ADB E x OC 考点感悟： 1、如图，四边形ABCD中，BAD=120，B=D=90，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMN+ANM的度数为 5、如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于点O

7、 求边AB的长； 如图2，将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左A. 130 B. 120 C. 110 D. 100 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，C90，AD5，BC9， 以A为中心将腰AB顺时针旋转90至AE，连接DE，则ADE的面积等于 A10 B11 C12 D13 3、如图，已知正方形ABCD中，BE平分DBC且交CD边于点E，将BCE绕点C顺时针旋转到DCF的位置，并延长BE交DF于点G 求证：BDGDEG； 若EGBG=4，求BE的长 4、如图，梯形ABCD中，ADBC，DCB45，CD 2，BDCD 过点C作CEAB于E， 对角

8、线BD于F点G为BC中点，连结EG、AF (1)求EG的长； (2)求证：CF AB AF - 4 - 右旋转，其中三角板60角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G 判断AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由； 旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时，求CG的长 部分答案与提示： 如图，设BF、CE相交于点M， 菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3， 设BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10x， 在RtBCE中，CE2=BC2BE2=100x2。 在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=2+100x2=20020x。 CMBCCM2B

9、CMBGF，即。 =GFBG32+3解得CM=1.2。DM=21.2=0.8。 A=120，ABC=180120=60。 3=3， 2333=菱形ECGF边CE上的高为3sin60=3。 223311=3。故选A。 阴影部分面积=SBDM+SDFM=0.83+0.8222CECE3解：=60，BC=10，sin=，即sin60=，解得CE=53。 =BC102菱形ABCD边CD上的高为2sin60=2存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下： 连接CF并延长交BA的延长线于点G， F为AD的中点，AF=FD。 在平行四边形ABCD中，ABCD，G=DCF。 在AFG和CFD中， G=DCF，

10、G=DCF，AF=FD， AFGCFD。CF=GF，AG=CD。 CEAB，EF=GF。AEF=G。 AB=5，BC=10，点F是AD的中点，AG=5，AF=AFG=G。 在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF， 又CFD=AFG，CFD=AEF。 EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF， 因此，存在正整数k=3，使得EFD=3AEF。 111CG）2=CG2=505x。 244525CE2CF2=100x250+5x=x2+5x+50=2+50+。 245当x=，即点E是AB的中点时，CE2CF2取最大值。 2解：HD:GC:EB:2 :1。 CF=GF，CF2=连接AG、AC

11、， ADC和AHG都是等腰直角三角形， AD:ACAH:AG:2，DAC=HAG=45。 DAH=CAG。DAHCAG。 HD:GCAD:AC:2。 DAB=HAE=90，DAH=BAE。 又ADAB，AHAE，DAHBAE。HD=EB。 HD:GC:EB:2:1。 有变化，HD:GC:EBm:m2+n2:n。 正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 连接AG， 正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上， 11AD=BC=5。AG=AF。 22GAE=CAB=45，AE=AH，AB=AD。 A，G，C共线，ABAE=ADAH

12、，HD=BE。 AG=AEAB= 2AE，AC=2AB sin45 sin452= 2BE。 GC=ACAG=2AB2AE= HD：GC：EB=1：2：1。 连接AG、AC，由ADC和AHG都是等腰直角三角形，易证- 5 - 得DAHCAG与DAHBAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值。 连接AG、AC， 矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上， DA：AB=HA：AE=m：n， ADC=AHG=90，ADCAHG。 AD：AC=AH：AG=m:m2+n2，DAC=HAG。 DAH=CAG。DAHCAG。 HD：GC=AD：AC=m:m2+n2。

13、 DAB=HAE=90，DAH=BAE。 DA：AB=HA：AE=m：n，ADHABE。DH：BE=AD：AB=m：n。 HD：GC：EB=m:m2+n2:n。 解：1802。 EDF=C=，GBC=A，DEB=EBC。 EDF=G。 BEF=A，BEF=GBC。 GBC+EBC=DEB+BEF，即EBG=FED。 DEFGBE。EBBG。 =EFDEAB=mDE，AD=nDE，AG=AE=DE。 BG=AGAB=DEmDE=DE。 EBDE=n+1-m。 EFDE梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。 由梯形ABCD中，ADBC，ABC=2BCD=2，根据平行线

14、的性质，易求得A的度数，又由BEF=A，即可求得BEF的度数： 梯形ABCD中，ADBC，A+ABC=180。A=180ABC=1802。 EB=EF。证明如下： 又BEF=A，BEF=A=1802。 连接BD交EF于点O，连接BF。 连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得EOBDOF，根据ADBC，A=180-ABC=1802， ADC=180C=180-。 AB=AD，ADB=相似三角形的对应边成比例，可得OEOB ，从而可证得EODBOF，又由相似三=ODOF1=。 2角形的对应角相等，易得EBF=EFB=，即可得EB=EF。 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易

15、证得DEFGBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得BDC=ADCADB=1802。 由得：BEF=1802=BDC。 EB 的值。解析：延长DF,BA交于G，可证CEMCFM, CDFBGF,EFOEOBOEOD又EOB=DOF，EOBDOF。，即。 =ODOFOBOFEOD=BOF，EODBOF。EFB=EDO=。 EBF=180BEFEFB=EFB。EB=EF。 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE， 则G=AEG=ADBC， 通过线段的简单运算，即可求得。 根据折叠前后的相等线段，先在RtOEC中求出OE长，再在RtADE中运用勾股定理构建方程求AD然后将O，D，C三点的坐

16、标代入抛物线y=ax2+bx+c求出a，b，c即可分别用含的代数式表示CQ和CP的长，再利用相似三角形产生的相似比构建含t的方程，解之即得从两定点C，E形成的边CE为平行四边形的边和对角线两个角度分析求解 解：四边形ABCO为矩形， 180-A180-(180-2a)=a。 22- 6 - OABAOCB90，ABCO8，AOBC10 由题意得，BDCEDC BDEC90，ECBC10，EDBD 由勾股定理易得EO6 AE1064 设ADx，则BDDE8x，由勾股定理，得x242(8x)2 解之得，x3，AD3 抛物线yax2bxc过点O，c0 抛物线yax2bxc过点D(3，10)，C(8，

17、0)， 解之得 抛物线的解析式为：yx2x DEAOEC90，OCEOEC90， DEAOCE 由可得AD3，AE4，DE5 而CQt，EP2t，PC102t 当PQCDAE90时，ADEQPC， ，即，解得t 当QPCDAE90时，ADEPQC， ，即，解得t 当t或时，以P，Q，C为顶点的三角形与ADE相似- 7 - 存在M1，N1 M2，N2 M3，N3 5、解：四边形ABCD是菱形，AOB为直角三角形，且OA=12AC=1，OB=12BD= 3。 在RtAOB中，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=12+(3)2=2。 AEF是等边三角形。理由如下： 由知，菱形边长为2，AC=2，AB

18、C与ACD均为等边三角形。 BAC=BAE+CAE=60。 又EAF=CAF+CAE=60，BAE=CAF。 在ABE与ACF中，BAE=CAF ，AB=AC=2 ，EBA=FCA=60， ABEACF。AE=AF。AEF是等腰三角形。 又EAF=60，AEF是等边三角形。 BC=2，E为四等分点，且BECE，CE=12，BE=32。 由知ABEACF，CF=BE=32。 EAC+AEG+EGA=GFC+FCG+CGF=180， AEG=FCG=60，EGA=CGF， EAC=GFC。 在CAE与CFG中， EAC=GFC ，ACE=FCG=60， 3CAECFG 。CGCE=CFCA，即CG1=22。解得：CG=38。 2旋转的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。 根据菱形的性质，确定AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度。 确定一对全等三角形ABEACF，得到AE=AF，再根据已知条件EAF=60，可以判定AEF是等边三角形。 确定一对相似三角形CAECFG，由对应边的比例关系求出CG的长度。 - 8 -