中考数学考前冲刺必考知识点汇总.docx

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1、中考数学考前冲刺必考知识点汇总初三数学应知应会的知识点 一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+

2、c=0 (a0)时，=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： 0 有两个不等的实根； =0 有两个相等的实根； 1 0 无实根； 0 有两个实根. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a0) 时，如0，有下列公式： (1)x1,2=-bb2-4ac；(2)xbxc2a1+x2=-a，1x2=a. 5当ax2+bx+c=0 (a0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 xbc1+x2=-a，x1x2=a；=b2-4ac 分析，不要求背记) 两根互为相反数 -ba= 0且0 b = 0且0； 两根互为倒数 ca=1且0 a = c且0； 只

3、有一个零根 ca= 0且-ba0 c = 0且b0； 有两个零根 ca= 0且-ba= 0 c = 0且b=0； 至少有一个零根 ca=0 c=0； 两根异号 ca0 a、c异号； 两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 ca0且-ba0 a、c异号且a、b异号； 两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 ca0且-ba0 a、c异号且a、b同号； 有两个正根 cba0，-a0且0 a、c同号， a、b异号且0； 有两个负根 ca0，-ba0且0 a、c同号， a、b同号且0. 6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0时，二次三项式在实数范围内不能分解. ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

4、 或 ax2+bx+c=ax-b+b2-4acx-b-b2-4ac. 2a2a7求一元二次方程的公式： x2 -x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为 2 整数. 8平均增长率问题-应用题的类型题之一 ： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2. 常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 9分式方程的解法： (1)去分母法两边同乘最简公分母验增根代入最简公分母，值0.换元法凑元，设元，换元.验增根代入原方程每个分母，值0. 11几个常见转化： 22222(1)x1+x22=(x1+x2)-2x1x2；(

5、x1-x2)=(x1+x2)-4x1x2；x+12=(x+)-2；xx211或x+2=(x-)2+2；xx21(x-x)2=(x+x)2-4xx(x1x2)121212x1-x2=；22(x10,x20.(5)x1,x2若为几何图形中线段长时,可利用图形中的相等关系(例如几何定理，相似形,面积等式,公式)推导出含有x1,x2的关系式.注意隐含条件:x10,x20.(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某些线段的比，并且引入“辅助未知元k”.(7)方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值,但总可

6、求出任何两个未知数的关系.解三角形 1.三角函数的定义：在RtABC中,如C=90，那么 sinA=Bac对a对b=； cosA=； 斜c斜c邻b对a=. tanA=； cotA=对a邻bCbA2余角三角函数关系 - “正余互化公式” 如A+B=90, 那么： sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB； cotA=tanB. 3. 同角三角函数关系： sin2A+cos2A =1； tanAcotA =1. tanA=sinAcosA cotA= cosAsinA4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而

7、减小. 5特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数 值，要熟练记忆它们. 4 A sinA cosA tanA cotA 0 0 1 0 不存在 6. 函数值的取值范围： 在0 90时. 正弦函数值范围：0 1； 余弦函数值范围: 1 0； 正切函数值范围：0 无穷大； 余切函数值范围：无穷大 0. 7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边. 8. 关于直角三角形的两个公式： RtABC中: 若C=90, r= 30 45 2 260 90 A 60 1 2323 1 21 23 KC

8、A 2K30 2 2 0 不存在 3KB3 33 1 1 3 0 3 KC2K 45 KBa+b-cc；R=mc.r:内切圆半径，R:外接圆半径，mc:斜边上中线. 229坡度： i = 1:m = h/l = tan； 坡角: . 10. 方位角： 11仰角与俯角： 12解斜三角形：已知“SAS” “SSS” “ASA” “AAS” 条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角. 北偏西30北hi=1:mal东南偏东70铅垂线仰角俯角水平线 5 13解符合“SSA”条件的三角形：若三角形存在且符合“SSA”条件，则可分三种情况：A90，图形唯一可解； A90，A的对边大于或等于它的已

9、知邻边，图形唯一可解；A90，A的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解. 14解三角形的基本思路： “斜化直，一般化特殊” - 加辅助线的依据； 合理设“辅助元k”，并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法-转化思想； 三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程是解决数学问题的常用方法-方程思想. 函数及其图象 一 函数基本概念 1.函数定义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y, 如对x的每一个值, y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量. 2.相同函数三个条件：自变量范围相同；函数值范围相同；相同的自变量值所对应的函数值也相同. 3

10、. 函数的确定：对于 y=kx2 (k0), 如x是自变量，这个函数是二次函数；如x2是自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数. 4.平面直角坐标系： 平面上点的坐标是一对有序实数，表示为: M，x叫横坐标，y叫纵坐标； yx- + +一点，两轴，四象限，象限中点的坐标符号规律如右图： _ _o+ - x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0; 即“x轴上的点纵为0，y轴上的点横为0”；反之也成立； 象限角平分线上点M(x,y) 的坐标特征: x=y M在一三象限角平分线上； MoQyPNx 6 x=-y M在二四象限角平分线上. 对称两点M(x1,y1), N(x2,y2) 的坐标特征：

11、 关于y轴对称的两点 横相反，纵相同； 关于x轴对称的两点 纵相反，横相同； 关于原点对称的两点 横、纵都相反. 5.坐标系中常用的距离几个公式 -“点求距” 如图，轴上两点M、N之间的距离：MN=|x1-x2|=x大-x小 , PQ=|y1-y2|=y大-y小 . 如图， 象限上的点M: 到y轴距离：dy=|x|； 到x轴距离: dx=|y|； yxro到原点的距离：r=x+y. 如图，轴上的点M、N到原点的距离： MO=|y|； NO=|x|. 22M(x,y)yM(0,y)N(x,0)ox如图，平面上任意两点M、N之间的距离： M(x,y)yxoCN(x,y) d=(x1-x2)2+(y

12、1-y2)2. 6. 几个直线方程 : y轴 直线 x=0 ； x 轴 直线 y=0 ； 与y轴平行，距离为a的直线 直线 x=a； 与x轴平行，距离为b的直线 直线 y=b. 7. 函数的图象： x=aayboy=bx(1) 把自变量x的一个值作为点的横坐标，把与它对应的函数值y作为点的纵坐标，组成一对有序实数对，在平面坐标系中找出点的位置，这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象； (2) 图象上的点都适合函数解析式，适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可得“图象上的点就能代入”-重要代入！ 7 (3) 坐标平面上，横轴叫自变量轴，纵轴叫函数轴；利用已知的图象，可由自变量值查出函数值，也

13、可由函数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围，也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围； (4) 函数的图象由左至右如果是上坡，那么y随x增大而增大；函数的图象由左至右如果是下坡，那么y随x增大而减小. 8. 自变量取值范围与函数取值范围： 解析式 例 y=2x-1 例y=1x-2整式类 x取值范围 取一切实数 Y取值范围 取一切实数 y0 非负数 正数 分式类x2x2 x2 t0 二次根式类 例y=x-2综合类 例y=1x-2 应用问题类 例 s=vt (t是自变量) 非负数 二次函数 1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a0) 2. 关于二次函数的几个概

14、念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过点. 3. y=ax2 (a0)的特性：当y=ax2+bx+c (a0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2 (a0);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性： 图象关于y轴对称；顶点；y=ax2 (a0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0). 4. 二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象及几个重要点的公

15、式： 8 5. 二次函数y=ax2+bx+c (a0)中，a、b、c与的符号与图象的关系： (1) a0 抛物线开口向上； a0 抛物线开口向下； (2) c0 抛物线从原点上方通过； c=0 抛物线从原点通过； c0 抛物线从原点下方通过； (3) a, b异号 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 对称轴在y轴的左侧； b=0 对称轴是y轴； (4) 0 抛物线与x轴有两个交点； =0 抛物线与x轴有一个交点； 0 抛物线与x轴无交点. 6求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的

16、值, 从而求出解析式-待定系数法. 8二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标，对称轴方程 x=h 和函数的最值 y最值= k. 9求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -x0)2+ y0，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式. 9 10. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下： k值增大 图象向上平移； k值减小 图象向下平移； 值增大 图象向左平移； (x-

17、h)值减小 图象向右平移. 11. 二次函数的双根式：(即交点式) y=a(x-x1)(x-x2) (a0)；由双根式直接可得二次函数图象与x轴的交点,. 12. 求二次函数的解析式：已知二次函数图象与x轴的交点坐标，和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y= a(x-x1)(x-x2)，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式. 13二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上. 函数综合题 1数学思想在函数问题中的应用：数学思想经常在函数问题中得到体现，例如：分析函数习题常常需要先估画符合题意的图象,利用数形结合降低难度；

18、而点求式、式求点、点求距、距求点等基本操作则是转化思想在函数中应用；当函数问题与几何问题相结合时，方程思想则成为解决问题的基本思路；函数习题中，当图象与图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时，往往造成函数问题的分类. 2数学方法在函数问题中的应用：建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、挖掘隐含条件、分类讨论、相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经常得到应用，了解这些数学方法是十分必要的. 3函数与方程的关系：正比例函数y=kx (k0)、一次函数y=kx+b (k0)都可以看作二元一次方 10 程，而二次函数y=ax2+bx+c (a

19、0)可以看作二元二次方程，反比例函数y=-k(k0)可以看x作分式方程，这些函数图象之间的交点，就是把它们联立为方程组时的公共解. 4二次函数与一元二次方程的关系： 如二次函数y=ax2+bx+c (a0)中的0时，图象与x轴相交，函数值y=0，此时, 二次函数转化为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)，这个方程的两个根x1 、x2是二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交两点的横坐标，交点坐标为； 当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时，应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程，此时，一元二次方程的求根公式，值，根系关系等都可用于这个二次函数. 如二次函数y=ax2+bx+c (a

20、0)中的0时，图象与x轴相交于两点A,B有重要关系式: OA=|x1|, OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断；同样,图象与y轴交点 C(0,c),也有关系式: OC=|c|. 5二元二次方程组解的判断：一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的值将决定原方程组解的情况，即： 0 方程组有两个解； =0 方程组有一个解；0 方程组无实解. 初三数学应知应会的知识点 ( 圆 ) 几何A级概念： 1.垂径定理及推论: 几何表达式举例： 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧

21、径定理”“中垂定理”. C平分优弧 CD过圆心 CDAB OE过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧 AE=BEAC=BCAD=BD2.平行线夹弧定理： ADB几何表达式举例： 11 圆的两条平行弦所夹的弧相等. ABOCD ABCD AC=BD3.“角、弦、弧、距”定理： “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； ABEO几何表达式举例： (1) AOB=COD AB = CD (2) AB = CD “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； C“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. 4圆周角定理及推论: FDAOB=COD 几何表达式举例： ACB=圆周角的度数等于

22、它所对的弧的度数的一半； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) “等弧对等角”“等角对等弧”； “直径对直角”“直角对直径”；(如图) 如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图) 5圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个 外角都等于它的内对角. COBAC1AOB 2 AB是直径 ACB=90 CD=AD=BD CAD ABC是Rt AOBCBB几何表达式举例： ABCD是圆内接四边形 DEA CDE =ABC 12 6切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理. 经过半径的外端并且垂直于这

23、条 半径的直线是圆的切线； 圆的切线垂直于经过切点的半径； 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 7切线长定理: AC+A =180 几何表达式举例： OBCA是半径垂直是切线 OC是半径 OCAB AB是切线 OC是半径 AB是切线 OCAB 几何表达式举例： 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角. PBO PA、PB是切线 PA=PB PO过圆心 APO =BPO 8弦切角定理及其推论: 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； 弦切角的度数等于它所夹的弧

24、的度数的一半. DAC几何表达式举例： BD是切线，BC是弦 CBD =CAB EF=AB ED，BC是切线 FA BE CBA =DEF DBC 13 9相交弦定理及其推论: 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. 10切割线定理及其推论: 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 11关于两圆的性质定理: PACB几何表达式举例： PAPB=PCPD AB是直径 CABDAPCBPCAB P

25、C2=PAPB OP几何表达式举例： PC是切线， PB是割线 PC2=PAPB PB、PD是割线 BAPAPB=PCPD PCD几何表达式举例： 14 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. 12正多边形的有关计算: 中心角an ，半径RN ， 边心距rn ， 边长D O1，O2是圆心 O1O2垂直平分AB 1 、2相切 AAO1BO2O1O2O1 、A、O2三点一线 O公式举例： an ERnArnanCBbn an ，内角bn ， 边数n； 360； na180(2) n= 2n(1) an =有关计算在RtAOC中进行. 几何B级概念： 一 基本

26、概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理： 1不在一直线上的三个点确定一个圆. 2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形. AOB三 公式： 15 1.有关的计算：圆的周长C=2R；弧长L=npR；圆的面积S

27、=R2. 180npR21=LR；扇形面积S扇形 =弓形面积S弓形 =扇形面积SAOBAOB的面积. 36022.圆柱与圆锥的侧面展开图： 圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2rh； (r:底面半径；h:圆柱高) 1圆锥的侧面积：S圆锥侧 =LR. 2四 常识： 1 圆是轴对称和中心对称图形. 2 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心. 4 直线与圆的位置关系： 直线与圆相交 dr ； 直线与圆相切 d=r ； 直线与圆相离 dr. 5 圆与圆的位置关系： 两圆外离 dR+r； 两圆外切 d

28、=R+r； 两圆相交 R-rdR+r； 两圆内切 d=R-r； 两圆内含 dR-r. 6证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线. 7关于圆的常见辅助线： OAOBCCABOOACBAB已知弦构造Rt. 已知直径构造直角. 已知切线连半径，出垂直. 已知弦构造弦心距. 16 DOABDAPOBAOCPACPBOBCDPCD相似形. 构造圆外角转化为圆周角. MAO201圆内角转化为圆周角. 构造垂径定理. MABNMD02O1MBA02AO2C01DNO1CEE两圆内切，构造外公切线与垂直. ACEDBOO1NN两圆内切，构造外公切线与平行.

29、两圆外切，构造内公切线与垂直. 两圆外切，构造内公切线与平行. ACBAA02BPCOEODB两圆相交构造公共弦，C两圆同心，作弦心距，连结圆心构造中垂线. 可证得AC=DB. BAO相交弦出相似. PA、PB是切线，构造双垂图形和全等. AADEAECODBOPCPBPC两割出相似,并且构造圆周角. 双垂出相似,并且构造直角. BFC一切一割出相似, 并且构造弦切角. 规则图形折叠出一对全等，一对相似. 17 DFOABECHADEAAGOBDOCFDOEB圆的外切四边形对边和相等. BCCRtABC的内切圆半径：r=若AD BC都是切线，连结OA、OB可证等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆a+b-c. 2AOB=180，即A、O、心 和切点,并构造相似B三点一线. 形. ABACOC补全半圆. o1o2o1o2B2AB=O1O22 -(R+r). 2AB=O1O22-(R-r). ADCGACODBPPAOBMFBDNECPC过圆心，PA是切线，构造 双垂、Rt. 作ANBC，可证出: O是圆心，等弧出平行和相似. GFAM. =BCAN 18