九年级数学培优讲义与测试.docx

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1、九年级数学培优讲义与测试第一讲 一次函数和反比例函数 知识点、重点、难点 函数y=kx+b(k0)称为一次函数，其函数图像是一条直线。若b=0时，则称函数y=kx为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。 当k0时，函数y=kx+b是单调递增函数，即函数值y随x增大而增大；当k0且x0时，函数值y随x增大而减小；当k0且x0时，反比例函数y=分别在第一xk或第三象限内是单调递减函数；当k0时，函数y=分别在第二或第四象限内是单调递增x函数。 若y=k1x+b1(k10),y=k2x+b2(k20). 当k1=k2时，b1b2时，两面直线平行。 当k1=k2时，b1=b2时，两面直线重合。

2、 当k1k2时，两直线相交。 当k1k2=-1时，两直线互相垂直。 求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。 例题精讲 例1：在直角坐标平面上有点A(-1,-2)、B(4,2)、C(1,c)，求c为何值时AC+BC取最小值。 解 显然，当点C在线段AB内时，AC+BC最短。 设直线AB方程为y=kx+b，代入A(-1,-2)、B(4,2) 4k=-k+b=-25得解得 64k+b=2,b=-,546所以线段AB为y=x-(-1x4), 55462代入C(1,c)，得c=1-=-. 5552k-1k-10x-例2：求证：一次函数y=的

3、图像对一切有意义的k恒过一定点，并求这个定k+2k+2点。 解 由一次函数得(k+2)y=(2k-1)x-(k-10),整理得 (2x-y-1)k-x-2y+10=0。因为等式对一切有意义的k成立，所以得 第 1 / 97 页 12x=2x-y-1=012195解得当，时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图x=y=55x+2y-10=0,y=19,51219像过定点,. 55例3：已知m、n、c为常数，m2-n20，并且mf(x-1)+nf(1-x)=cx,求f(x)。 解 用1-x代换原方程中的x，得m 1用x+1代换原方程中的fx(-1)+nfxc=(1x-).x，得mf(x)+nf(-

4、x)=c(x+1). 2 m2-n1得m2f(x)-n2f(x)=mcx+ncx+mc-nc.因为m2-n20，所以c(m+n)x+m-n，所以f(x)=cx+c. f(x)=m2-n2m-nm+n1111例4:如图，设f(x)=mx+(1-x)=m-x+,因为当m1时，m-0,f(x)为递增函mmmm11数，f(x)在0,1上的最小值为f(1)=m-.1+m. mm所以 1f(0)=(m1). g(m)=mf(1)=m(0m1).1因此g(m)=在1,+上为递减函数；g(m)=m在(0,1)上为递增m函数，故g(m)的最大值为g(1)=1. x2-4例5：画函数y=的图像。 2-x 解 x=

5、0，x=0，x2-4=0，x=2,将整个数轴分为四段讨论并定义域为x2的一切实数。 x-2;x-2,2-x,-2x0;y= 2+x,0x2 例6：一次函数y=kx-k(k1)图像交x轴于A点，将此直线沿直线y=x翻折交y轴于B点，这两条直线相交于P点，且四边形OAP B的面积为3， 求k的值。 第 2 / 97 页 解 设点P坐标为(t,t),又DOAP与DOBP是翻折而成，所以SDOAP面积是四边形OAPB3的一半等于。设y=0代入y=kx-k,得x=1,点A为(1,0).由2113SDOAP=OAPC=1t=,222P在y=kx-k得因点t=3,即点p(3,3).上，代入得 A一、填空题

6、1.设y=(k+2)x2k-1是反比例函数，则k= ；其图像经过第 象限时；当x0时，y随x增大而 。 32.两个一次函数y=3x+12,y=3-x,的图像与y轴所围成的三角形面积是 。 23.等腰三角形一个底角的度数记作y，顶角的度数记作x，将y表示成x的函数是 ，其中x的取值范围是 。 a4.如果函数y=-1的图像与直线y=3x-2平行，则a= 。 25.已知四条直线y=mx-3、y=-1、y=3、则m= 。 x=1所围成的车边形的面积是12，6.一次函数y=kx+b的图像经过点p(1,2)且与x轴交于点A，与y轴交于点B。若5,则线段OB的长为 。 57.已知一次函数y=kx+b中，若x

7、的值每增加4，y的值也相应增加8，则k= 。 8.如果把函数y=2x的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是 的图像。 sinPAO=33=3k-k,k=. 2卷 9.已知一次函数y=(3n-1)(2n+1)x4n+3,则n的值为 。 10.若直线y=(m-1)x+m-5不经过第二象限，则m的取值范围是 。 二、解答题 11.求证：不论k为何值，一次函数(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0的图像恒过一定点。 12.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可以销售100件，现在他想采用提高售出价的办法来增加利润已知这种商品每提高价1元，日销售量就要减少10件

8、，那么他要使每天获利最大应把售出价定为多少元？ 2第 3 / 97 页 B卷 一、填空题 11.函数y=ax+(1-x)(a0,0x1)的最小值为 。 ak(k0)的x图像分别交于A点和C点。若直角三角形AOB和直角三角形COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系是 。 13.点A(-4,0)、B(2,0)是平面直角坐标系中的两定点，C是y=-x+2图像上的动点，则满2足上述条件的直角三角形ABC或画出 个。 4.直线ax+by+c=0(ab0,ac0)经过 象限。 5.一个三角形以A=(0,0)、B(1,1)及C(9,1)为三个顶点，一条与x轴相垂直的直线将该三角形划分成面积相等的

9、两部分，则此直线的解析式为 。 36.已知函数y=及y=-x+4,则以这两个函数图像的交点和坐标原点为顶点的三角形的面x积为 。 k7.双曲线y=与一次函数y=-kx+4,的图像有两个不同的交点，则k的取值范围是 。 xk18.已知反比例函数y=(k0)，当x0时y随x的增大而增大，则一次函数y=kx-4k的x2图像经过 象限。 9.已知实数x、y满足4x+3y-12=0,则a=x2+y2的取值范围是 。 2m+152m10.一次函数y=-x与y=-x+的图像在第四象限内交于一点，则整数4433m= 。 二、解答题 11.设直线y=2(x-1)与直线y=-2(x-5)相交于点A，它们与x轴的交

10、点为B,C，求DABC中BC边上的中线所在的直线方程。 12.已知函数f(x)=(m-2)x+2m-3，(1) 求证：无论m取何实数，此函数图像恒过某一定点；(2)当x在1x2内变化时，y在4y5内，求实数m的值。 13.若对于满足0x2的一切实数x，函数y=(2k)x-3k+7的值恒大于0，求实数k的取值范围。 14A、B两厂生产某商品的产量分别为60吨与100吨，供应三个商店。甲店需45吨，乙店需75吨，丙店需40吨。从A厂到三商店每吨运费分别为10元、5元、6元，从B厂到三商2.如图，正比例函数y=x和y=ax(a0)的图像与反比例函数y=第 4 / 97 页 店每吨运费分别为4元、8元

11、、15元，如何分配使总运费最省？ C卷 一、填空题 1函数y=3x-b与y=ax+2的图像关于直线y=b对称则a= ， b= 。 y=k3x+b3在同一2三个一次函数y=k1x+b1、y=k2x+b2、l3，直角坐标系中的图像如图所示，分别为直线l1、l2、则k1、k2、k3的大小关系是 。 3.已知函数y=(a-2)x-3a-1,当自变量x的取值范围为3x5时，有y既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围是 。 4已知abbc0，在一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0的两个实数根中，求较大的实数根。 nn13.证明：若-+k是方程mx2+nx+c=0的一

12、个根，则-k 2m2m也是它的一个根。 C卷 一、填空题 1. 已知n是正整数，且4n2+17n-15表示两个相邻正整数之和，则n 的值有 个。 2. 方程xx-1+4x-2=0的实根个数是 个。 3. 方程2x+1-x=4的解是 。 4. 已知m2=m+1,n2=n+1(mn)，则m5+n5= 。 5. 已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)无实根，甲因看错了二次项系数解的根为2、4；乙2b+3c因看错了某项的符号解的根为1、4，则的 值是 。 46.设p=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),q=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),则p-q的结果是 。 7. 方程x-7x+

13、6=0，各根的和是 。 2第 10 / 97 页 8. 已知a、b是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则a3+8b+6的值为 。 9. 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2-6x+a=0的两根，当这样的三解形只有一个时，a的范围是 。 10. 已知n是正整数，方程x2+n2x+(n-1)=0，当n=2时，两根为a2、 b2；当n=3时，两根为a3、b3；当n=100时，两根为a100、b100，则代数式111+的值等于 。 (a2-1)b(2-1)a3(-1b3)-(1)a10(-b1)-(1)0100 二、解答题 11. 若三个整数a、b、c 使得方程ax2+bx+c=0的两个根为a

14、、b，求a+b+c的值。 c、c、a、12.已知a、d是非零实数，d是方程x2+ax+b=0的两根；b、b是方程x2+cx+d=0的两根，求a+b+c+d的值。 13. 已知ab1，且5a2+787643150a+7=0; a7b2+787643150b+5=0,求的值。 b2a5-5a4+2a3-8a2214. 已知a是方程x-3x+1=0的根，求的值。 2a+1第 11 / 97 页 第三讲 一元二次方程根的判别式 知识点、重点、难点 例题精讲 例1：如a、b为实数，证明：方程(x-a)(x-b)=1有两相异实数根。 例2：如果x的一元二次方程(ac-bc)x+(bc-ab)x+(ab-a

15、c)=0有两个相等的实数根，证明：112+=. acb2111例3：设a、b、c为正数，证明：方程ax2+bx+c=0和x2+x+=0，至少有一个方程有abc实根。 第 12 / 97 页 例4：已知二次方程ax+bx+c=0(ac0)有两个异号的实数根m和n，且mAC，AD为角平分线，AD的垂直平分线交BC延长线于E，设CE=a，DE=b，BE=c. 求证：二次方程ax2-2bx+c=0有两个相等的实数根。 第 13 / 97 页 习题 A卷 一、填空题 1. 方程4x2-2(a-b)x-ab=0的判别式是 。 2. 关于x的方程mx2-2(3m-1)x+9m-1=0有两个实数根，那么m的取

16、值范围是 。 13. 当k不小于-时，方程(k-2)x2-(2k-1)x+k=0的根的情况是 。 44. 方程2x2+3(k-1)+k2-4k-7=0一定 实数根。 5. 已知a+4+b+1=0，当k ，方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根。 6. 方程(m-1)x2+2(m-7)x+2m+2=0有两个相等的实数根，则m= 。 7. 关于x的方程4x2+6x+m=0没有实数根，则m的最小值为 。 8. 关于x的方程(a-b)x2-2cx+(a+b)=0有两个不相等的实数根且a、b、c是DABC的三条边，则DABC是 三角形。 9. 方程2x2-(m-1)x=3-m的根的判别式的值是4，

17、则这个方程的根是 。 10. 已知a为实数且使关于x的二次方程x2-a2x+a=0有实根，则该方程根所能取得的最小值是 。 二、解答题 11. 证明：当m取任何值时，一元二次方程x2+2mx+m-4=0有两个不相等的实数根。 第 14 / 97 页 12. 已知a、b为整数，x2-ax+3-b=0有两个不相等的实数根； x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实数根；x2+(4-a)x+5-b=0没有实数根，求a、b的值。 B卷 一、填空题 1. 已知方程(a+1)x2+(a+2-a-10)x+a=5有两个不相等的实数根，则a可以是 。 2-2(m+2)x+m+5=没0有实数根，那么关于x的

18、方程2. 如果关于x的方程mx2(m-5)x-2(m2+2x)+m=的实数根的个数为0 。 3. m是 时，方程(m2-2)x2-(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根。 4. m是 时，方程x2-(m-2)x+1=0有两个相等的实数根。 5. 已知方程2x(kx-4)-x2+6=0无实数根，则k的取值范围是 。 6. m是有理数，当k= 时，方程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根为有理数。 7.关于x的一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0的两根相等，则 a、b、c的关系式是b+c 2a。 8. 已知方程x2+2(1+a)x+(3a2-6ab+9ab2+2)

19、=0有实数根，则方程的根为 。 9. 对于方程x2-2x+2=m，如果方程实根的个数恰为三个，则m= 。 10. 已知关于x的方程mx2-(m+2)x+m+1=0有两个实数根，且这两个根的平方和等于1，那么m的值为 。 二、解答题 11.判别方程(x-a)(x-a-b)=1的实根个数，这里a、b是实数。 第 15 / 97 页 12. 若正整数系数二次方程4x2+mx+n=0有两个不相等的有理根p、q，且pc0,且a-b0； 证明：3px1+x23px2+x12+3pp2 求u=的最小值。 +223px1+x2+3pp第 17 / 97 页 第四讲 一元二次方程根与系数的关系 知识点、重点、难

20、点 例题精讲 例1：二次方程x2+ax+b+1=0的根是正整数，证明：a2+b2是合数。 例2：设关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一根为另一根的a(a-1)倍，试求系数m、n间的关系。 例3：方程x2+4x+1=0的两根是a、b. 求ba+的值； ba 求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于a、b的倒数的立方。 第 18 / 97 页 例4：二次方程x+nx+p=0的两根为a、b；x+nx+q=0的两根为r、d，证明：(a-r)(a-d)(b-r)(b-d)=p(-q2 ).22例5：a、b、c均是实数，且a+b+c=0,abc=1. 3证明：a、b、c中必有一个数大于. 2例6：

21、p、q为正质数，方程x+px+q=0有整数根吗？ 223习题 A卷 一、填空题 1. 如果方程3x2-2x=x-1的两个根是x1、x2，则x1+x2= ，x1x2= 。 2. 若方程x2+bx+c=0有两个正的实数根，则其中系数b、c应满足的条件是 。 3. 关于x的一元二次方程x2-ax-3a=0的一个根是6，另一根是 。 4. 已知方程x2+ax-4=0的两根的绝对值相等，则这个方程的根是 。 第 19 / 97 页 5.已知x1、x2是关于x的方程x2+2x+m2=0的两个根，且(x1-x2)2=2，则m的值是 。 6. 关于x的方程x2+(2m-3)x+m2+6=0的两实数根之积是两实

22、数根之和的2倍，m= 。 -1+5-1-5、是关于x的二次方程ax2+bx+1=0的两个根，则b的值是 。 228. 设方程x2-101x+k-2=0的一个根的3倍少7为另一个根，则k= 。 9. 已知方程x2+px+q=0的一个根是另一个根的4倍，则p、q所满足的关系式是 。 10. 设方程2x2-(a-1)x+a+3=0的两根差为1，则a的值为 。 二、解答题 t4-1211. 已知：关于x的方程2x-2tx+t=0的两个实数根x1、x2满足(x1-1)(x2-1)=2，求的t-1值。 12. 设a、b是方程2x2+3x-1=0的两个根，利用韦达定理求下列各式的值： a-1b-1+. a2

23、+b2；a3+b3；a+1b+1B卷 一、填空题 111. 已知x1、x2是方程x2-3x+1=0的两个根，那么4+4= ， x1x2x2-5x1-5+= 。 x1x27. 已知2. 已知x1、x2是方程x2-(m+1)x+m=0的两个不相等的实数根，且有(x1-x2)2bc，且a+b+c=0，则d=x1-x2的取值范围是 。 a4+ma2+1=3，则m= 。 8. 已知a+4a+1=0,且322a+ma+2a9. 关于x的整系数一元二次方程x2+(k+3)x+2k+3=0，两根异号且正根的绝对值小于负根的绝对值，则k= 。 10. 设x、y是实数且x2+xy+y2=3，则x2+y2-xy的范

24、围是 。 二、解答题 11.关于x的一元二次方程x2+px+q=0一个根为另一根的平方，求证： p3=q(3p-1)-q2. 12. 已知方程m2x2-(2m-3)x+1=0的两个实数根的倒数之和为S，求S的取值范围。 13. 已知实数x、y、z满足x+y+z=0,xyz=1求证：x、y、z中有且只有一个不小于34. 2第 22 / 97 页 14. 已知方程x2+px+q=0的两根之比为3：4判别式为2-3，解此方程。 第五讲 一元二次方程的整数根 知识点、重点、难点 例题精讲 例1：当整数为k值时，关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+2k-1=0的两个根均为整数。 例2：已知关于x的方

25、程mx2+(m+1)x+m-1=0的根是整数，求实数m的值。 第 23 / 97 页 例3：已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个整数根，且10m50，求整数m的值，并求此两个整数根。 例4：求出所有这样的正整数a，使得关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-12=0至少有一个整数根。 例5：证明：不论n取什么整数，二次方程x2-16nx+75=0没有整数根。 第 24 / 97 页 例6：已知整数a、b是某直角三角形的两条直角边长，且满足二次方程x2-(k+2)x+4k=0,求k的值及此直角三角形的三边长。 习题 A卷 1. 8x2-2x-1=0 有理根。

26、2. 关于x的方程x2-mx+12=0至少有一个整数根，则整数m可取值的个数是 个。 3. 已知n为正整数，方程x2-(3+1)x+3n-6=0有一个整数根，则n= 。 4. 满足ab+a+b=1的整数对(a,b)共有 对。 5. 关于x的方程x2-(a+2)x+a2-1=0有两个整数根，则整数a的值是 。 6. 关于x的方程x2+(a-11)x+a-5=0有两个整数根，则实数a的值是 。 7. 若关于x的一元二次方程x2-5x+a+3=0有两个正整数根，则a的值是 ，方程的解是 。 8. 设p为质数，且方程x2-px-580p=0两个根都是整数，则p的值为 。 9. 方程2x2-3xy-2y

27、2=98的正整数解的组数是 。 10. 求使关于x的二次方程a2x2+ax+1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a的和是 。 二、解答题 11. 已知方程x2-3x+m+4=0有两个整数根，求证：两个根中，一个是奇数而另一个是偶数；m是负的偶数。 第 25 / 97 页 12. 若关于x的二次方程ax2+bx+c=0有实根，且a、b、c都是奇数，求证：此方程必有两个无理根。 B卷 一、填空题 1. 关于x的方程ax2+2(2a-1)x+4a-3=0至少有一个整数根，则整数a的值为 。 2. 要使方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数，k的值应等于 。 3. 关于x的方程(k2+

28、k-2)x2-(2k2+k+6)x+k2-4=0有两个不相等的整数根，则整数k的值为 。 4. 关于x的方程x2+(2m-3)x+m2-3m-10=0至少有一个正整数根，正整数m的值为 。 115. 若p、q都是正整数，方程px2-qx+1993=0的两根都为质数，则2p+q= 。 226. 设m为正整数，且4m40，若方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0的两根均为整数，则m= 。 7. 关于x的方程 3x2-mx-m-1=0, 4与 2x2-(m+6)x-m2+4=0, 若方程的两个实数根的平方和等于方程的一个整数根，则m= 。 1118. x、y是正整数，且满足-=，则y的最大值是 。 xy100a+b9. 如设27-102=a+b，其中a为正整数，b在0、1之间，则的值是 。 a-b10. 关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与方程x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数，则m的值为 。 二、解答题 11. 已知a、b为整数，求证：关于x的方程x2-2ax+8b-6=0无整数根。 12. 已知关于x的方程x2+ax+b+1=0的两个根都是正整数，求证：a