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1、习题12解答第十二章 常微分方程 1试说出下列微分方程的阶数，并指出哪一个方程是线性微分方程： x(y)-2yy+x=0; (y)+5(y)-y6+x7=0; xy+2y+x2y=0; xy+exy-x2y=sinx; (x2-y2)dx+(x2+y2)dy=0 解答： 一阶非线性微分方程； 三阶非线性微分方程；(原参考答案为二阶) 三阶线性微分方程； 二阶线性微分方程； 一阶非线性微分方程； 所属章节：第十二章第一节 难度：一级 2验证下列各题所给出的函数是否微分方程的解： c2-x2 xy=2y,y=5x; (x+y)dx+xdy=0,y=; 2x22341 y=x2+y2,y=; y+y
2、=0,y=3sinx+2cosx; xx(y)-1=0,y2-4x=0; 解答： (1) 将y=5x2代入,可得xy=10x2=2y;等式成立.是解. c2-x2dy(2) 将y=代入(x+y)+x=0, 2xdxc2-x2-2x2x-(c2-x2)2c2+x2-c2-x2(x+)+x=+=0,等式成立.是解. 22x4x2x2x2(3) 将y=111代入,可得y=(-2)=2x-3x2+2;不是解 xxx(4) 将y=3sinx+2cosx代入,可得 (-3sinx-2cosx)+(3sinx+2cosx)=0;等式成立.是解 24x-1=0;等式成立.是解 (5) 将y2-4x=0代入,可
3、得x-1=y4x2所属章节：第十二章第一节 难度：一级 83 3求解下列微分方程： 3x2+5x-5y=0; xy-ylny=0; xydx+(x2+1)dy=0; (y+3)dx+cotxdy=0; y=x; ydx=(1-y-y2)(xdy+ydx); y1-x2解答：(1) 3x2+5x-5y=0; dydx=35x2+xdy=(35x2+x)dx y=(35x2+x)dx=15x3+12x2+C (2) xy-ylny=0; dydxylny=xdydxylny=xln|lny|=ln|x|+C |lny|=eln|x|+C=C1|x|lny=C1xy=eC2x(3) xydx+(x2
4、+1)dy=0; xdx1+x2=-dyydyy=-xdx1+x2ln|y|=-12ln(1+x2)+Cy=e-12ln(1+x2)+C=C111+x2.(C1=eC)y1+x2=C1 84 (y+3)dx+cotxdy=0; dxdy+=0cotxy+3dydxy+3=-cotxln|y+3|=ln|cosx|+Cy+3=eln|cosx|+C=C1cosx,C1=eC y=C1cosx-3y=xy1-x2; ydy=x1-x2dxy2=-1-x2+C2y2=-21-x2+C1.C1=2Cydx=(1-y-y2)(xdy+ydx); 1-y-y2dx=y3+y2x|1+y|1ln-=ln|x
5、|+Cy2y|1+y|1ln=+C2|x|yy1+y=C1exy21y所属章节：第十二章第二节 难度：一级 4求下列微分方程满足初始条件的特解： y-2x=2x,yyx=1=0; ; 4 sinycosxdy=cosysinxdx,yx=0=参考答案：y-ln(1+y)=x2-1； 2cosy-cosx=0. 解答：85 y-2x=2x,yyx=1=0; dy=2xdx11+ydy1=2xdx1+yy-ln|1+y|=x2+C Qyx=1=0,C=-1y-ln|1+y|=x2-1sinycosxdy=cosysinxdx,ysinysinxdy=dxcosycosxsinysinxdy=cos
6、ycosxdx-ln|cosy|=-ln|cosx|+C cosy=eln|cosx|-C=C1cosxQyx=0=x=0=; 42,C1=;422cosy=cosx所属章节：第十二章第二节 难度：一级 5求通过点(-1,1)的曲线，且曲线上任一点处的切线截Ox轴所得的线段的长等于切点的横坐标的平方。 解答： 设切点为(x0,y0),切线方程为: y-y0=x=-y0dydxx=x02 +x0,而|x|=x0dydxx=x0(x-x0)得Ox上的截距为 从而有, 当x=- y0+x00时,求解微分方程: -y+x=x2, dydx (3)xy=y+xe; (4)dyx+2y+1=; dx2x-
7、3参考答案： yxdyy-x+1=; dxy+x+5 (5) yyearctanx=Cx+y; Cx=e-yx22sinx； lnCx+e=0; 11y+332=C; ln(y+3)+(x+2)+arctan22x+2(x+2)+(y+3)=C1e22-arctany+3x+254=1lnx-3+C.； 322x-2解答： y+ (1)(x+y)dx+(y-x)dy=0; dyx+y=dxx-ydyduy=ux,=u+x dxdxdu1+uu+x=dx1-u 84 1-udxdu=1+u2x1arctanu-ln(1+u2)=lnx+C2y2y1arctan-ln(1+2)=lnx+C x2x
8、arctany=lnx2x+y2+CarctanCy1ex=x2+y2(2)y=yx+secyx; y=ux,y=u+xuxdudx=secudusecu=dxx sinu=ln|x|+Cyx=C1esinxy(3)xy=y+xex; dy=yy+exdxxy=ux,dydudx=u+xdx u+xdu=u+eudxe-udu=dxx-e-u=ln|x|+Cye-x+ln|x|+C=0 e-yx+ln|x|+C=0 (4) dyydx=-x+1y+x+5; 84 Y=y+3,X=x+2dYY-XdX=Y+XY=uX,dYdX=u+XdudXu+Xduu-1dX=1+u1+udX1+u2du=-
9、Xarctanu+ln1+u2=-ln|X|+C1+u2X=C-arctanu1eYX2+Y2=C-arctan1eX(x+2)2+(y+3)2=C-arctany+31ex+2 (5) dydx=x+2y+12x-3; X=x-352,Y=y+4dYdX=X+2Y2X,Y=uX, dYdX=u+XdudXu+Xdu1dX=u+2 du=12XdXu=12ln|X|+C y+54=1ln|x-3|+Cx-3222所属章节：第十二章第二节 难度：二级 7求下列线性微分方程的通解： y-y=ex; cos2xdydx-y=tanx; dx+(x+y2)dy=0; 2）y+2xy=xex2; 4）x
10、cosxdydx+(xsinx+cosx)y=1;6）(x2-1)y+2xy=cosx; 85 ycosx=ysinx+sin2x,- x2dy+(3-2xy)dx=0; x; 22参考答案：y=ex(x+C)； 221212y=ex+e-x；y=ex+Ce-x 441 y=Cetanx-tanx-1； y=cosx(tanx+C)； x1x=Ce-y-y2+2y-2 y=2(sinx+C)； x-1y=x-cosx+Csecx；y=-cosx+C1secx 1y=Cx2+. x解答： y-y=ex; P(x)=-1,Q(x)=ex P(x)dx=-xy=e(eedx+C)=e(x+C)xx-
11、xxdyxsinx+cosx1+y=dxxcosxxcosxxsinx+cosx1P(x)=,Q(x)=xcosxxcosxxsinx+cosxxP(x)dx=dx=lnxcosxcosxy=e-lnxcosxxln1cosxedx+Cxcosxy+2xy=xex; P(x)=2x,Q(x)=xeS2P(x)dx=xx22222212y=e-x(xexexdx+C)=e-x(e2x+C)4212 y=ex+Ce-x 4dx+(x+y2)dy=0; dycos2x-y=tanx; dxP(y)=1,Q(y)=-y2P(x)=-sec2x,Q(x)=tanxsec2xP(y)dy=y P(x)dx
12、=-tanx-y2yx=e-yedy+Ctanx2-tanxy=e(tanxsecedx+C) 2-yx=-y+2y-2+Ce-x2y=e(-tanxe-tanx-e-tanx+C) (x2-1)y+2xy=cosx; -tanxy=-tanx-1+Cedy xcosx+(xsinx+cosx)y=1; dxcosx(tanx+C)xcosxy=(tanx+C)xy=() 84 2xcosx,Q(x)=x2-1x2-1 2P(x)dx=ln|x-1|P(x)=23P(y)=-,Q(y)=-2xxP(y)dy=-2ln|x|3y=e2ln|x|-2e-2ln|x|dx+C x3y=x2-4dx+
13、Cx1y=+Cx2xy=e=-ln|x2-1|1(sinx+C)x2-1cosxln|x2-1|edx+C2x-1 ycosx=ysinx+sin2x,-x; 22sinxsin2xP(x)=-,Q(x)=2sinx,cosxcosx-ln|cosx|ln|cosx|P(x)dx=ln|cosx|+Cy=e(2sinxey=+C)1(sin2x+C)cosxy=secx-cosx+Csecxy=-cosx+C1secxx2dy+(3-2xy)dx=0; 所属章节：第十二章第节 难度：二级 8求下列微分方程的通解： (y2-3x2)dx+2xydy=0; (3x2+6xy2)dx+(6x2y+4
14、y3)dy=0; 3x2eydx+(x3ey-1)dy=0; (xey+ex)dy+(ey+yex)dy=0;(xey+ex)dy+(ey+yex)dx=0; 解答：(y2-3x2)dx+2xydy=0; y2dx+2xydy-3x2dx=0;dxy2-dx3=0;d(xy-x)=0xy2-x3=C84 23xdx+ydyx2+y2=ydx-xdy; 2x(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0; (xedy+edx)+(edy+yedx)=0;yyxx(6x2ydy+6xydx)+(3xdx+4ydy)=0;223d(xey)+d(yex)=0d(xey+yex)=0xey+y
15、ex=Cd(3x2y2)+d(x3+y4)=0;d(3x2y2+x3+y4)=03x2y2+x3+y4=Cxdx+ydyx2+y2=ydx-xdy; 2x3x2eydx+(x3ey-1)dy=0; 3xedx+xedy-dy=0;dx3ey-dy=0;d(xe-y)=0x3ey-y=C3y2y3yyx2+y2=d-;xydx2+y2+=0 xyx2+y2+=Cxd()(xey+ex)dy+(ey+yex)dx=0; 所属章节：第十二章第二节 难度：二级 9求解下列微分方程： (x+y)(dx-dy)=dx+dy; (2x2y-x)dy+ydx=0; xdy-ydx=(1+y2)dy; y(2x
16、y+ex)dx-exdy=0; ydx-xdy+xy2dx=0; (3x2-y)dx+(3x2+x)dy=0. 参考答案：x-y=ln(x+y)+C； y2-y=C； x y-1x1+=C； x2+ex=C； yyyxx2y=C； 3(x+y)+=C； +y2x解答： (x+y)(dx-dy)=dx+dy; 84 (x+y)d(x-y)=d(x+y);d(x-y)=d(x+y)(x+y)exdx+dy2=0 x-y=lnx+y+C(2x2y-x)dy+ydx=0; 2x2ydy+ydx-xdy=0ydx-xdy2ydy+=02xydy2+d-=0 xydy2-=0xyy2-=Cx2exdx+=
17、0y xex2+=Cy ydx-xdy+xy2dx=0; ydx-xdy+xdx=0y2dx2x+d=0y22 xdy-ydx=(1+y2)dy; xdy-ydx1+y2=2dy2yyd-x1=dy-yyx=0yx=Cyxxd+=0y2xx2+=Cy2 (3x2-y)dx+(3x2+x)dy=0. 1dy-+y1y-+y(3xdx+3xdy)+(xdy-ydx)=022 y(2xy+ex)dx-exdy=0; y(2xy+ex)y2xexdx-2dy=0yxxdy-ydx=02xy3d(x+y)+d=0xydx+y+=0xyx+y+=Cx(3dx+3dy)+2xdx+yeedx-dy=0y2y
18、2所属章节：第十二章第二节 难度：二级 10镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与镭所现存的量Q称正比。由经验材料断定，镭经过XX年后，只剩余原始量Q0的一半。求镭的量Q与时间t的函数关系。 84 解答：建立如下数学模型: dQ=-kQdt 1Q|=Q,Q|=Qt=00t=160021ln2解得通解为Q=ce-kt.由Q|t=0=Q0,得c=Q0,再由Q|t=1600=Q.得k=. 21600故Q=Q0eln2-t1600. 所属章节：第十二章第二节 难度：二级 11一容器盛有盐水100L,其中含盐量为20kg。现将每升含盐0.1kg的低浓度盐水以每分钟5L的速度注入该容器内，同时开启容器底部闸门
19、，以同样速度将此混合盐水从容器中排出。现在欲使容器中含盐量减少5kg，试问应注入低浓度盐水多少升？ 参考答案：时刻t的含盐量为y=10(e-0.05t+1)，注入：69L. Q=2+18e-0.05t,32.55升 解答：建立模型: dQ=0.15dt-Q5dt 100dQQdQ1=0.5-,=-dtdt20Q-220ln|Q-2|=-0.05t+C,Q=2+C1e-0.05t t=0,Q=20,C1=18Q=2+18e-0.05t 当Q=15时, t= 6.5084,应注入盐水6.515=32.55升 所属章节：第十二章第二节 难度：二级 12一曲线通过点，且它在两坐标轴之间的任一切线段被切
20、点所平分，求该曲线方程。 解答： 设曲线上任意一点为P(x,y),则过该点的切线在x轴, y轴上的截距为2x,2y;则 dyy=-, dxx设初始条件为y|x=2=3.由方程得通解为xy=c, 6再由y|x=2=3.得c=6,故曲线为y=. x所属章节：第十二章第二节 难度：二级 84 13将质量为m的物体在空气中以速度v0垂直上抛，空气阻力为R2v2，试求在物体上升过程中速度v与时间t的函数关系。 参考答案：v=mgkv0gtan(arctan-kt)，g为重力加速度。 kmkmgmgRv0tRtanarctan- Rmgmmgv=解答： 取向上为高度正方向的坐标系, 则有方程及条件: dv
21、=-mg-R2v2m dtv(0)=v0Rv0mgRvtmgarctan=-+C由v(0)=v0,解得C=arctan RmRmgmg v=mgRv0tRtanarctan- Rmmgmg所属章节：第十二章第二节 难度：二级 14一粒子弹以速度v0=200m/s打进一块厚度为10cm的厚木板，然后穿过木板且以速度v1=80m/s离开该板。若木板对于子弹运动的阻力与运动速度平方成正比。问子弹穿透木板的运动经历了多长时间？. d2xdx2解答： 建立模型: f=ma=kv,m2=k dtdt2m=1dx1=-,(1)dtkt+C1x=-lnkt|+C+|C1(2)kx(0)=0v,(=0)x2t0
22、0=,(v)t=0.1,80代入(1), (2)解得k=-9.1629,t=0.00082. 所属章节：第十二章第二节 难度：三级 15一件热物体，它的温度下降与自身温度和外界温度的差值成正比；一件冷物体，它的温85 度上升速度与自身温度和外界温度的差值成正比。这就是牛顿加热和冷却定律。应用这一定律来分析和解决下列问题：在一次谋杀后，被害者尸体的温度从原来的37开始变冷。假定尸体周围的空气温度一直保持为20不变，且尸体温度从37降为35需要2小时。 求尸体温度T与时间t的关系； 若尸体被发现时尸体温度为32，时间为下午4时整，问谋杀发生的时间是多少？ 解答： 设物体在空气中时刻t的温度为T=T
23、(t),则依冷却定律知 dT=-k(T-20) dt 解得通解为T=20+ce-kt.由于T(0)=37,解得c=17,又因为T(2)=35, 15ln代入解得k=-17=0.0626 2 当T(t)=32时,32=20+17e-0.0626t,解得t=5.5640 所以谋杀时间可能为上午10时26分. 所属章节：第十二章第二节 难度：三级 16求下列微分方程的解： y=x+sinx; y=1;2 1+xy; 4y+y=4xy; xy=ylnx2yy-y=yy; y=y;() 2 y=(y)+y; y-(y)=0,y yy+1=0,y22x=03=0,yx=1x=0=-1; 3x=1=1,y3
24、=0, x=1 yy=(y)-(y),y xy+x(y)-y=0,y解答:y=2x=2x=1=1,yx=2=-1; =2,y=1. x2x3x+sinx; y=-cosx+C1,y=-sinx+C1x+C2 62 86 1;y=arctanx+C1,y=(arctanx+C1)dx, y=21+x1y=xarctanx-ln(1+x2)+C1x+C2; 2dp4y+y=4xy; 令y=p,y=, dx4p+dxdpdpdp，p=(4x-1)C1 =4x，dxdx4p4x-1dy=(4x-1)C1，dy=(4x-1)C1dx dxy=(2x2-x)C1+C2 xy=ylnydp ;令y=px,y
25、=p+xxdxdpdpxp+x=pxlnp，x=plnp dxdxdpdxdpdx，=，lnp=elnx+C,p=eC1x， plnpxplnpx1C1x1Cx1Cxy=edx=xdey=xe-e+C，2； C1C1C1C1x11y=y; y=p,dpdp=p,=dx dxpdpxxxp=Ce,y=Ce,y=Ce，=dx,lnp=x+C2221dx py=C2ex+C3+C4； 2yy-(y)=yy; 2y=p,y=pdpdp,yp=p2+y2p， dydydpp+y2dpp当p0时，=,-=y， dyydyy1P(y)=-,Q(y)=y,P(y)dy=-lny， y 84 p=elny(ye
26、ln-ydyC1C2eC1xdy+C)=y(y+C1)，=y(y+C1),y=, C1xdx1-C2e当p=0时,有解y=C； dpdpy=(y)+y; y=p,y=p,p=p3+p 3dydydp=dy,p=tan(y+C1) 2p+1dytany+C1=dx,ln(sin(y+C1)=x+C2 y=arcsin(C3ex)-C1y-(y)=0,yy=p,y=p2x=0=0,yx=0=-1; dpdp,p=p2， dydyln|p|=y+C1,p=ey+C1=C2ey， y(0)=0,C2=-1,dy=-ey， dxe-y-x+C2=0,y(0)=0,C2=-1，y=-ln(x+1)； yy
27、+1=0,yy=p,y=py3pdpdy3x=1=1,yx=1=0, dp+1=0dy 1pdp=-y3dy12y-2p=+C22(y)2=y-2+C1,yx=1=0,C1=-11-y2y=y2y2dy=dx 1-y285 -1-y2=x+C2,yC2=-1y=2x-x22x=1=13yy=(y)-(y),yy=p,y=px=1=1,yx=1=-1; dpdp,yp=p2-p3dydydpdy11dy=,-dp=-yp-p2yp-1pp=y=y,yy-Cx=1=-1,C=2x=1y=y,y-2lny=x+C1,yy-2y2=ey-x=1,C1=0 xy+x(y)-y=0,yy=p,y=2x=2
28、=2,yx=2=1. dpdp,x+xp2-p=0,xdp-pdx-p=0dxdxx2xxdp-pdx+xdx=0,d=-d2pp2xx2-=C1,yx=2=2,yx=2=1p22C1=0,y=xy=2lnx+C2,yx=2=2,y=lnx2+2-2ln2所属章节：第十二章第四节 难度：二级 17已知下列齐次微分方程的一个特解，求它的通解： x2y+xy-y=0,y1=x; x2y-2xy+(x2+2)y=0,y1=xsinx; y+4xy+4(x2+2)y=0,y1=e-x; 21xy+2y-xy=0,y1=ex; xsinxxy+2y-xy=0,y1= 原题有误，应为xy+2y+xy=0
29、x86 参考答案：y=C1x+C2C；或y=C2x-1; x2xy=C1xsinx+C2xcosx； 或y=C2xsinx-C1xcosx. -xesinC(3+x y=C1e-x+C2xe-x； y=C2222C4 );11C1ex+C2e-x)；或y=(C3ex-2C2e-x); (xx1 y=(C1sinx+C2cosx). x解答： y=x2y+xy-y=0,y1=x; dudud2u 令y=ux,y=u+x,y=2+x2 dxdxdxx2y+xy-y=0,dud2udux2+x2+xu+x-ux=0, dxdxdx22du3du3x+x=02dxdx2dud2udp=p,2=dxdx
30、dx dp3p+x=0dxCduC1x-2,=,u=-C1+C2x3dxx32x-2y=ux=-C1+C2x 2Cy=C2x-1;2xp= x2y-2xy+(x2+2)y=0,y1=xsinx; du+(sinx+xcosx)udx 2duduy=xsinx2+2(sinx+xcosx)+(2cosx-xsinx)udxdxy=uxsinx,y=xsinxd2uduxy-2xy+(x+2)y=0,sinx2+2cosx=0， dxdx22 87 dud2udpdp=p,2=,sinx+2pcosx=0dxdxdxdxdpdx=-2ptanxdu=C1csc2x, p=C1csc2x,dxu=C
31、2-C1cotxy=(C2-C1cotx)xsinx,y=C2xsinx-C1xcosx.y+4xy+4(x2+2)y=0,y1=e-x; 2y=ue-x2y=-2xe-xu+e-xy=(-2e-x222dudx)u+(-4xe-x2+4xe2-x2du-x2d2u)+edxdx2y+4xy+4(x2+2)y=0,(-2e-x2-x2+4xe2-x2)u+(-4xe-x2du-x2d2u-x2-x2du2-x2)+e+4x-2xeu+e+4(x+2)ue=02dxdxdxd2u-x2e+6ue=02dxdud2udpdp=p,2=pdxdxdxdudpp+6u=0dup2=-6u2+C1du=
32、-6u2+C1dxu=C2sin(C3x+C4)p=-6u2+C1,2y=ue-xy=C2e-xsin(C3x+C4);21xy+2y-xy=0,y1=ex; x 88 dudxxy+2y=exu+2exu+exuxy=uex,xy+y=uex+exxy+2y-xy=exu+2exu=0,u=p,u=dpdxp=C2e-2x,u=C3-2C2e-2xexy=uxy=(C3-2C2e-2xex)x;xy+2y+xy=0,y1=sinx xxy=usinx,xy+y=usinx+ucosxxy+2y=usinx+2ucosx-usinxxy+2y+xy=usinx+2ucosx=0u=C1+C2c
33、otx y=(C1+C2cotx)sinxx1y=(C1sinx+C2cosx);x所属章节：第十二章第四节 难度：二级 18试用观察法求得下列方程的一个特解，然后求方程的通解： x2(lnx-1)y-xy+y=0; (x-1)y-(x+1)y+2y=0; (3x+2x2)y-6(1+x)y+6y=0; (sinx-cosx)y-2(sinx)y+(sinx+cosx)y=0. (sinx-cosx)y-2(sinx)y+(sinx+cosx)y=0. 参考答案：y=C1x+C2lnx； y=C1x2-lnx+C2x y=C1ex+C2(x2+1)；y=C1(3-x2)+C2ex y=C1(x
34、+1)+C2x3； 89 y=C1ex+C2sinx. 解答： x2(lnx-1)y-xy+y=0; 设特解为 y1=x y=ux,y=u+xuxy=ux+x2uy=2u+xux2(lnx-1)y=x2(lnx-1)(2u+xu)x2(lnx-1)y-xy+y=0;(lnx-1)xu+2(lnx-3)u=0dpdxdpx(lnx-1)+2(lnx-3)p=0dxlnx-1 p=+Cx2lnx-1u=+Cx21u=C1x-lnx+C2xu=p,u=1y=ux=C1x-lnx+C2xx y=C1x2-lnx+C2x (x-1)y-(x+1)y+2y=0; 设特解为 y1=ex y=uex,y=ue
35、x+uexy=uex+2uex+uex(x-1)(uex+2uex+uex)-(x+1)(uex+uex)+2uex=0(x-1)exu+(x-3)exu=0u=C1e(x-1)y=uexy=C1(3-x2)+C2ex90 -x2u=C1e-x(3-x2)+C2 (3x+2x2)y-6(1+x)y+6y=0; 设特解为 y1=x+1, y=u(x+1)， (3x+2x2)y-6(1+x)y+6y=0 2(x+1+) (3x+2x)(u-)u2(6+()1xu(x+1u)+)u6x+( =1)02(x2+3x+3)2(x2+3x+3)x3 u= u，lnu=2dx， u=C1+C2x(x+1)(
36、x2+3)x(x+1)(2x+3)x+1x3x1)= y=C(+1+C2x+1C+(1+x)132C x (sinx-cosx)y-2(sinx)y+(sinx+cosx)y=0. 设特解为 y1=ex, y=uex， (sinx-cosx)y-2(sinx)y+(sinx+cosx)y=0 (sinx-cosx)(uex+2uex+uex)-2(sinx)(uex+uex)+(sinx+cosx)uex=0 2cosxdx2cosxduu=u,=Cesinx-cosxsinx-cosxdxu=C2esinx-cosxdx2cosxdx+C1=C1+C2e-xsinxy=ue-x=(C1+C2
37、e-xsinx)e-x=C1e-x+C2sinx所属章节：第十二章第四节 难度：三级 19已知下列线性非齐次方程相对应齐次方程的一个基本解组y1、y2，求它们的通解： xy-y+4x3y=16x3ex,y1=ex,y2=e-x x2y-2xy+2y=x3sinx,y1=x,y2=x2; y+y+e-2xy=e-3x,y1=cose-x,y2=sine-x. 解答： xy-y+4x3y=16x3ex,y1=ex,y2=e-x 222222 91 y=y1v1+y2v2yW=1y1y2ex=y22xex22e-x2-2xex2=-4x22y2fe-x16x3exv1=C1+-dx=C1+-dx=C
38、1+2x2W-4x v2=C2+22y1fe16xedx=C2+dx=C2-e2xW-4x2x23x2y=ex(C1+2x2)+e-xC2-e2xy=C1ex+C2e-x+(2x2-1)ex222(2) x2y-2xy+2y=x3sinx,y1=x,y2=x2; y=y1v1+y2v2yW=1y1y2xx2=x212xy2y2fx2x3sinxv1=C1+-dx=C1+-dx=C1+(xcosx-sinx)2 Wxy1fxx3sinxv2=C2+dx=C2+dx=C2-cosxWx2y=x(C1+(xcosx-sinx)+x2(C2-cosx)y=C1x+C2x2-xsinx y+y+e-2xy=e-3x,y1=cose-x,y2=sine-x. y=y1v1+y2v2yW=1y1y2cose-x=-xesine-xy2sine-x-e-
