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1、习题集02 数字信号处理习题答案第一章 离散时间信号系统与Z变换 Z变换 Z变换的定义及收敛域 1. 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问X(z)可能有多少不同的收敛域。 1-1-2 X(z)=4z (1+1254z-)(1+4z-1+38z-2)有限长序列的收敛域为 ： 0z , n1nn2 特殊情况有 ： 0z , n10 0z , n20 右边序列的收敛域为 ： Rx-z , nn1 因果序列的收敛域为 ： Rx-z , nn10 左边序列的收敛域为 ： 0zRx+ , nn2 特殊情况有 ： zRx+ , nn20 双边序列的收敛域为 ： Rx-zRx+有三种收敛域 ： 圆内 、
2、圆外 、 环状第一章 离散时间信号系统与Z变换 解：对X(Z)的分子和分母进行因式分解得 (1-X(Z)=(1+14Z-212Z-1)(1+12Z1212-112Z-1)34Z-1)(1+)(1+-1)1-=(1+12jZ-1Z-1)(1-jZ)(1+34Z-1)X(Z)的零点为：1/2，极点为：j/2，-j/2，-3/4 X(Z)的收敛域为： (1) 1/2 | Z | 3/4，为双边序列，见图一 (2) | Z | 3/4，为右边序列，见图三 图一 图二 图三 2 第一章 离散时间信号系统与Z变换 Z反变换 2. 有一右边序列 x(n)，其 z 变换为X(z)=(1-112z-1-1)(1
3、-z)(a) 将上式作部分分式展开(用 z-1表示)，由展开式求 x(n) 。 (b) 将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 x(n) ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。 不管哪种表示法最后求出 x(n) 应该是相同的。 解：(a) 因为X(z)=1-112z-1+21-z-1且x(n)是右边序列 1所以 x(n)=(2-)u(n) 2n(b) X(z)=(z-z122)(z-1)3z-1212 =1+2(z-1)(z-1) =1+z-2+21z-12n1则 x(n)=d(n)-u(n-1)+2u(n-1)21 =(2-)u(n)2n 3 第一章 离散时间信号
4、系统与Z变换 Z变换的基本性质和定理 3. 对因果序列，初值定理是x(0)=limX(z)，如果序列为 n0时x(n)=0，问相应的定理是什么？z讨论一个序列 x(n)，其z变换为： X(z)=7121-52z1924-1z-1+z-2X(z) 的收敛域包括单位圆，试求其 x(0) 值。 这道题讨论如何由双边序列Z变换X(z)来求序列初值x(0)，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，它们各自由X(z)求x(0)表达式是不同的，将它们各自的x(0)相加即得所求。 解：当序列满足0n0,x(n)=0时,有:X(z)=n=-x(n)z-n-2 =x(0)+x(-1)z+x(-2)z所以此时有：li
5、mX(z)=x(0)z0+若序列x(n)的Z变换为： 7X(z)=121- =52z-z1924-1z-17=12z2-1924z12)(z)+z-2(z-2)(z-z+43122X(z) 的极点为 z1=2,z2=由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆 则其收敛域应该为：12za，利用 z 变换性质求 y(n) 的 z 变换 Y(z) 。 (1) 注意移位定理 ：-1 x(n)X(z) x(-n)X(z x(n+m)zm)-mX(z) x(-n+m)zX(z-1) y(n)=x1(n)*x2(n) 则 Y(z)=X1(z)X2(z) 。解：根据题目所给条件可得： Z x1(n)11-12z-
6、1Z x2(n)11-13z-1 x1(n+3)1-Zz312 zz-112-1 x2(-n)X2(z)=Z11-13z z-113 x2(-n+1)Zz1-113 z3 z而 y(n)=x1(n+3) * x2(-n+1) 所以 Y(z)=Zx1(n+3)Zx2(-n+1) z1-3=12z-1z1-113z=-3z3(z-3)(z-12) 5 第一章 离散时间信号系统与Z变换 Z变换与傅里叶变换的关系 5. 求以下序列x(n)的频谱X(ejw)。 (1) d(n-n0) (2) e-anu(n) (3) e-(a+jw0)nu(n) (4) e-anu(n)cos(w0n) 可以先求序列的
7、Z变换X(z)再求频率 X(e即X(ejwjw) X(ejw)=X(z)z=ejw )为单位圆上的Z变换，或者直接求序列的 jw-jwn傅里叶变换X(e解： )=n=-x(n)e对题中所给的x(n)先进行z变换 再求频谱得： (1) X(z)=Zx(n)-n0 =Zd(n-n0) =zX(ejw)=X(z)|z=ejw-jn0w =e(2)X(z)=Ze-anu(n)-1 =jw11-e-azX(e)=X(z)|z=ejw11-e-a =(3)e-jwX(z)=Ze-(a+jw0)nu(n)-1 =11-e-(a+jw0)zX(ejw)=X(z)|z=ejw11-e-a =-j(w+w0)e
8、6 第一章 离散时间信号系统与Z变换 (4)X(z)=Ze-anu(n)cos(w0n)-1=1-z1-2z-1e-acosw0-2e-acosw0+ze-2aX(ejw)=X(z)|z=ejw 1-e1-2e-jw-jw=e-acosw0-2jwe-acosw0+ee-2a6. 若x1(n),x2(n)是因果稳定序列，求证： 12pp-pX1(ejw)X2(ejw)dw=12pp-pX1(ejw)dw12pp-pX2(ejw)dw 利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 x1(n)*x2(n)=而 x1(n)*x2(n)12pp-pX1(ejw)X2(ejw)ejwndw n=0=x1(0)x
9、2(0)12p =p-pX1(ejw)X2(ejw)dw ，再利用x1(n)、x2(n)的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。 证明: 设 y(n)=x1(n)*x2(n) 则 Y(z)=X1(z)X2(z) Y(e 12pjwjwjw)=X1(e1(ejw)X2(ejw)dwpX-p)X2(e)ejwn=12pp-pY(ejw)ejwndw =y(n)=x1(n)*x2(n) 12ppX-p1(ejw)X2(ejw)dw =x1(n)*x2(n)|n=0n =x1(k)x2(n-k)k=0n=0 =x1(0)x2(0) 7 第一章 离散时间信号系统与Z变换 x1(n)=12ppX-p
10、1(ejw)ejwndwp x12(n)=2pX(ejw)ejwndpw-2x1Xjw1(0)=2pp-p1(e)dw x2(0)=12ppXjw2(e)dw -p1p2p-pX1(ejw)X2(ejw)dw=12pp)dw1p-pX1(ejw2p-pXw2(ej)dw 8 第一章 离散时间信号系统与Z变换 序列的傅里叶变换 7. 求x(n)=R5(n)的傅里叶变换。 这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。 解：根据傅里叶变换的概念可得： N-1X(e jw)=DTFTRN(n) =-jw N-jw-jN211en=0-jw n =1-e1-e=eeweejN2w
11、-e-e-jN2w-jw21jw21-jw2N-1-jw2esinNwsinw,22 = w 2kp,k为整数N, w =2kp()() 当w2kp时， X(ejw)= sinNwjw(2)sinw(2) )argX(e)N-1=-w+argsinNw22(sinw(2)N-12p=-w+np , N2当N=5 时， 即可得到所需的 argX(ejwnw 1.62是其收敛区域。 零极点图如下图所示。 14 第一章 离散时间信号系统与Z变换 因为 H(z)=z(z-a1)(z-a2)=1a1-a2zz- z-az-a1211=-a1-a21-a1z-11-a2z-11n-nn-n=az-a2z1
12、a1-a2n=0n=01所以 h(n)=1a1-a2(an1-a2n)u(n)式中 a1=1.62 , a2=-0.62由于H(z)的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。 若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆，因此选H(z)的收敛区域为 a2za1， 即0.62z1.62，则 zzH(z)=- a1-a2z-a1z-a21中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。 所以 H(z)=-a1-a21-1n=-a1zn-n-n=0a2zn-n 则有h(n)=1a2-a1(an1u(-n-1)+a2u(n)nn)n=-0.447(1.62)u(-n-1)+(-0.62)u(n)从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。 15
