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1、二次函数与平行四边形综合第十八讲二次函数与平行四边形综合 一、教学内容 1.二次函数的表示,二次函数图像与性质； 2.平行四边形的性质和判定； 3.函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题； 二、例题细看 3 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+6与x轴、y轴的交点分 别为A、B，4将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C. 直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； 若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； Q为线段BT上一点，直接写出QA-QO的取
2、值设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，范围. 二次函数综合题 y B H 1Cx OA1D T 点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为； 点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为； 由题意得：BC是ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6 AB=10，AH=4，设OC=x，则AC=8-x由勾股定理得：x=3 点C的坐标为将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得； 求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三函数即可求得； 1 如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH|当点Q与点B重合时，Q、H、
3、A三点共线， |QA-QO|取得最大值4；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，|QA-QO|取得最小值0 例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线y=x-2x-3与x轴交A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2 求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式； P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； 点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由 A 如图，点O是坐标原点，点A(n，0)是x轴上
4、一动点(n0).以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB=2OA矩形AOBC绕点A逆时针旋转90得矩形AGDE过点A的直线y=kx+m(k0)交y轴于点F，FB=FA抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HMx轴，垂足为点M 求k的值； 点A位置改变时，DAMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由 y CB GD FM OxAE H 由题意知OB=2OA=2n，在直角三角形AEO中，OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF的表达式，也就求出了FB的长，由于F的坐标为据此可求出m，n的关系式，可用n替换掉一次函数中m的
5、值，然后将A点的坐标代入即可求出k的值 思路同一样，先用n表示出E、F、G的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出a，b，c与n的函数关系式，然后用n表示出二次函数的解析式，进而可用n表示出H点的坐标，然后求出AMH的面积和矩形AOBC的面积进行比较即可 2 2 在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标，写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是(5，2)， ， ； y y y y B(c，d) C B(c，d) B(c，d) B(1，2) CC C O (A)图1 D(4，0)x O (A)图2 D(e，0)x A(a，b)D(e，b)D(e，f)O 图3 x A(a，
6、b)O 在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标，求出顶点C的坐标图； 归纳与发现 通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)时，则四个顶x 点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为 ；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为 运用与推广 1519c，c，Sc，c，2222H(2c，0)问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标 在同一直角坐标系中有抛物线y=x-(5c-3)x-c和
7、三个点G-2 3 如图1，RtDABC中，A=90，tanB=3，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、4AC上，且使得四边形APQR是矩形设AP的长为x，矩形APQR的面积为y，已知y是x的函36)的抛物线的一部分 数，其图象是过点(12，求AB的长； 当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 36)在图1中表示什么呢？ 张明：图2中的抛物线过点(12，36)李明：因为抛物线上的点(x,y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么(12，表示当AP=12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系. 赵明
8、：对，我知道纵坐标36是什么意思了！ 孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了. 请根据上述对话，帮他们解答这个问题. C本题结合三角形、矩形的相y关知识考查了二次函数的应用，用数形结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键 (12,36) QRO BAP 由于y是x的函数且过点，即AP=12时，矩形的面积为36，可求出PQ的长，进而在直角三角形BPQ中得出BP的值，根据AB=AP+BP即可求出AB的长 与类似，可先用AP表示出BP的长，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y，x的函数关系式然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对
9、应的x的值 4 x，0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为C(3，4)，抛物线l2与如图，已知与x轴交于点A(1l1关于x轴对称，顶点为C 求抛物线l2的函数关系式； 已知原点O，定点D(0，4)，l2上的点P与l1上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P为顶点的四边形是平行四边形？ 在l2上是否存在点M，使ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 y5 4 3 2 1 El2O-1-1-2-3-4-5A1 2 3 4 5 x BCl1 如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，、0)C(0，2)，D为O
10、A的中点设点P是AOC平分线上的一个动点 试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等； 当点P运动到与点B的距离最小时，试确 定过O、P、D三点的抛物线的解析式； 设点E是中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，DPDE的周长最小？求出此时点P的坐标和DPDE的周长； 设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使CPN=90？若存在，请直接写出点P的坐标 y 。 5 C(0,2)PODBA(4,0)x本题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数，及线段最短和探索性的问题 通过POCPOD而证得PC=PD 首先要确定P点的位置，再求出P、F两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式； 此问
11、首先利用对称性确定出P点位置是EC与AOC的平分线的交点，再利用抛物线与直线CE的解析式求出交点P的坐标进而求的PED的周长； 要使CPN=90，则P点是以CN的中点为圆心以CN为直径的圆与角平分线的交点，由此就易于写出P点的坐标 如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D 求l2的解析式； 求证：点D一定在l2上； 平行四边形ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积；如果不能为矩形，请说明理由 yl1：y=x2-4AOCxl2根据
12、l1的解析式可求l1与x轴的交点为A，C，顶点坐标是，l2与l1关于x轴对称，实际上是l2与l1的顶点关于x轴对称，即l2的顶点为，设顶点式，可求抛物线l2的解析式； 平行四边形是中心对称图形，A、C关于原点对称，则B、D也关于原点对称，设点B，则点D，由于B点是y=x2-4上任意一点，则n=m2-4，-n=-=-m2+4=-2+4，可知点D在l2y=-x2+4的图象上； 构造ABC=90是关键，连接OB，只要证明OB=OC即可，为求OB长，过点B作BHx轴于H，用B的坐标为，可求OB，用OB=OC求x0，再计算面积 6 0)，B(-2，0)，E(0，8) 如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依
13、次是A(-4，求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式； 设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围； 当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值； 在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，说明理由 y8E7654321NA-6-5-4
14、-3-2-1O-1M-2BDCH12345x三、课堂一试 121)，点A的坐标为(0，x在第一象限内的图象上的任一点，4-1)且与x轴平行，直线l过B(0，过P作y轴的平行线分别交x轴、直线l于C、Q，连结AQ交x轴于H，1.如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=直线PH交y轴于R 求证：H点为线段AQ的中点； 求证：四边形APQR为菱形； 除P点外，直线PH与抛物线y=有，请说明理由 yPAOBRHQCl12x有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没4x7 2.如图，在平面直角坐标系内，以y轴为对称轴的抛物线经过直线y=-3x+2与y轴的交点A和点33 M-，02求这条抛物线所对
15、应的二次函数的关系式； 将中所求抛物线沿x轴平移 在题目所给的图中画出沿x轴平移后经过原点的抛物线大致图象； 设沿x轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB相交于C点判断以O为圆心，OC为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由； P点是沿x轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。求P点的坐标，使得以O、A、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形 y A B M O x 3.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为
16、点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D 判断点E是否在y轴上，并说明理由； 求抛物线的函数表达式； 在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由 y E A B F C D O x 8 4.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： x -3 -2 1 2 y - 52-4
17、- 520 (1) 求A、B、C三点的坐标； (2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围； (3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=kDF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围. 图10 5.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为，点N的坐标为 画出直角梯形OMNH绕点O旋转180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标； 求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； 截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m
18、的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； 在的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由 9 6. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合 (1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值； (2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、
19、E的抛物线的函数关系式； (3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标 yCEOFBDP图1 AxCyDBEFOP图2 Ax四、课后有练 1.如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH，当点E与C重时停止移动平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q设S表示矩形PCMH的面积，S表示矩形NFQC的面积 S与S相等吗？请说明理由 设AEx，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少
20、？ 如图11，连结BE，当AE为何值时，DABE是等腰三角形 DADA Px HEPE CBM BNCNHMFQGFQG图图10 2.如图12， 四边形OABC为直角梯形，A，B，C 点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ 点 能到达终点； 求AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大； 是否存在点M，使得AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由 yCNBQOMPAx图12 3.已知抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长是方程x210x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2 求A、B、C三点的坐标； 求此抛物线的表达式； 连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点，过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； 在的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由 11
