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1、二次函数定义教学设计第二十二章 二次函数 22.1.1二次函数教学设计 一、教材分析： 二次函数是义务教育课程标准试验教科书数学九年级上册第二十二章，这章是在学生学习了正比例函数与一次函数，对于函数已经有所认识，从一次函数和反比例函数的学习大家已经知道学习函数大致包括以下内容：1通过具体的事例认识这种函数；2探索这种函数的图像和性质；3利用这种函数解决实际问题；4探索这种函数与相应方程等的关系。本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开。首先让学生认识二次函数，掌握二次函数的图像和性质，然后让学生探索二次函数与一元二次方程的关系，从而得出用二次函数的图像求一元二次方程的方法。最后让学生运用二
2、次函数的图像和性质解决一些实际问题。 二、学情分析： 学生对函数的相关知识已经很陌生，第一课时应对上学段学的一次函数和正比例函数的知识做一个回顾，让学生重温学习函数应该从以下四个内容入手：认识函数；研究图像及其性质；利用函数解决实际问题；函数与相应方程的关系。再通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题。 三、教学目标： 知识技能： 1探索并归纳二次函数的定义；2能够表示简单变量之间的二次函数关系。 过程方法： 1感悟新旧知识间的关系，让学生更
3、深刻地体会数学中的类比思想方法； 2经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系； 3能够利用尝试求值的方法解决实际问题，进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。 情感态度： 1把数学问题和实际问题相联系，从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲； 2使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用； 3通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思1 维的过程，培养大家的合作意识。 四、教学重点、难点： 教学重点： 1经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定
4、义。 2能够表示简单变量之间的二次函数关系。 教学难点： 经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。 五、教学方法：教师引导自主探究合作交流。 六、教具、学具：教学课件 七、教学媒体：计算机、实物投影。 八、教学过程： 教师引导及问题设计 活动1：温故知新，引出课题。 教师投影出问题： 对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗? 那些函数的定义是什么，大家还记得吗? 能把学过的函数定义及一般形式回忆一下吗? 学习这些函数的时候，大家还记得我们从哪几个方面探究的吗? 小结：很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式那么二次函数的一般形式
5、究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱 师生行为：教师提出问题，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。 教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，对于一些概括性较强的问题，教师要进行适当引导。 活动2：合作学习，探索新知： 出示思考问题形成初步感悟： 1正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 学生学习活动 设计意图 小组探究整理结果： 由复习回顾旧知学过正比例函数，一识入手，通过回次函数。 顾已经学过的函在某个变化过程中，数的相关知识，有两个变量x和y，如对要探究的新的果给定一个x值，相应函数有个明确的地就确定了一个y值，
6、方向，让学生由那么我们称y是x的函旧知识中寻找新数，其中x是自变量，知识的生长点，y是因变量。 符合认识新事物一次函数y=kx+b 的规律，由浅入，当b=0时， 逐渐深化。 正比例函数ykx 定义、函数的一般形式、函数的图像和性质、函数在实际问题中的应用、函数与方程与不等式的关系等。 学生思考问题，列出关系式。 正方体的六个面是全等的 形，每个面2 由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，通过问题关于x 的关系式是什么？ 2有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 3某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加
7、x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 4问题、中有哪些变量?其中哪些是自变量? 大家根据刚才的分析，判断一下式子中的m是否是n的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗？问题呢？ 5观察上面的三个函数，从解析式看有什么共同点？ 师生行为：教师在大屏幕上逐一提出问题。 教师引导开展合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 y =6x2 111 m=n(n-1)=n2-n 22222 y = 20 (1+x) = 20x+40x+20 上述三个函数解
8、析式具有哪些共同特征？ 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax+bx+c (a,b,c是常数, a0)的形式。 板书：我们把形如y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数，且a0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ，其中x是自变量，称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项。 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项。 注意：切不可忽视a0。 的面积是 ，则y 的解决，为得出关于x 的关系式二次函数的定义是 。 做好铺垫，并让每个队要与其他 学生感受到身边 个球队各比赛一场，甲的数学，激发学队对乙队的比赛与乙生学习数学的好队对甲队的比赛
9、是 奇心和求知欲。 比赛，所以比赛的场次学生通过分析、数m= 。 交流，探求二次这种产品的原产量函数的概念，加是20t，一年后产量是 深 对概念的理t，再经过一年后的产解，为解决问题量则是 t，即两年打下基础。 后的产量为y= 。 问题1、2、3让学生 独立思考完成师生共 同订正，问题4、5小 组讨论完成，教师做适 当的引导，点拨，得出 问题结论。 学生小组合作交流。 通过归纳、分析， 使学生明白二次 函数的特征，理 解其解析式的特 点。 经历探索具体问学生发表自己的见解，题中数量关系和总结归纳二次函数的变化规律的过定义。 程，体会二次函 数是刻画现实世 界的一个有效的 数学模型。 使学生深刻
10、理 解：看一个函数 是不是二次函数 的关键是看二次 项的系数是否为0；还要看最高次数是不是2。 3 活动3：应用迁移，巩固提高： 做一做： 1、下列函数中，哪些是二次函数？ 学生独立完成练习，集学生在独立完成体点评，提出并归纳注练习的过程中加深对概念的理 y=x2 y=x+1 意的细则： x整式与分式区别对解。 2 y=2xx1 y=x(1x) 待； y=(x+3)x y=3(x-1)+1 要先展开合并再判 s=3-2t v=10r 断； 2、分别说出下列二次函数的二次项系系数要带符号。 数、一次项系数和常数项： y=x2+1 y=3x2+7x-12 y=2x(1-x) 23、若函数y=(m2
11、-1)xm-m为二次函数，则m的值为 。 实际问题中的二次函数： 1、如图，一张正方形纸板的边长为学生独立思考，自主解这是三条二次函2cm，将它剪去4个全等的直角三角决，然后交流成果。三数的实际应用问形。设条练习的设计，由浅入题，通过解答，AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形深，层层递进，在复习提高学生分析问EFGH的面积为y(cm2)，求： 旧知的同时获得解决题、解决问题的(1)y关于x 的函数解析式和自变量x新问题的经验，进一步能力。 的取值范围。 内化新知、突破难点。 整个探究过程都(2)当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75问题学生独立思考是让学生自己去时，对应的四边形E
12、FGH的面积，并后写出答案，师生共同探索，在探索中列表表示。 评价；问题学生独立发现新知，在交思考后同桌交流，指名流中归纳新知，D G 口答结果，教师强调正把学习的主动权C 确解题思路。 交给学生，增强H 教师重点关注：学生能学生创造的信否准确用二次函数表心，体验到成功F 示变量之间关系；学生的快乐。 解题时候暴露的共性A B 问题作针对性的点评，E 注重培养学生正确的2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃，思路和方法，积累解题设连墙的一边为x，矩形的面积为y，经验。 求： (1)写出y关于x的函数关系式。 (2)当x=3时，矩形的面积为多少？ 3、书本P29的练习共两题。 4 活动4：总结反思，
13、拓展升华： 1、反思本节课的收获。 2、反思二次函数与一次函数有哪些异同？与正比例函数又有哪些异同？ 3、课外作业： A组： 依题意写出相应的函数关系式，再化成一般形式并指出其中a、b、c的值。 一个矩形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积s关于宽x的函数解析式； 某种商品的价格是2元，准备进行再次降价。如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y随每次降价的百分率x的变化而变化，写出y与x之间的函数关系式。 B组： 如果函数y=xk2是y关于x的二次函数，求k的值是多少？ 九、板书设计： 22.1.1 二次函数 1、概念： 我们把形如y=ax+bx+c(其中a,b,C是常数，a0)的函数
14、叫做二次函数。其中称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项。 2、列函数关系式的依据 图形面积，规律问题， 增长率，销售利润， 学科相关等。 十、教学反思： 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。二次函数第一课时，教材中安排的内容不多，但学生对函数的知识已经生疏，接受起来不会很顺利。由此，我的设计是从温故知新开始，通过温故知新，引出课题、创设情境、探究新知、例题学习、内化新知、练习反馈、巩固新知等几个数学活动，引导学生用类比的思想，用已有的知识经验归纳总结出新知、内化新知、巩固应用新知的。活动中也注意了学生的知识与实际问题的联系，使学生充分体会数学源于生活又服务于生活。 5 学生稍加思考后充分发表自己的见解。学生谈本节课的收获和学习体会，并进行质疑，师生交流归纳，解惑。 要求全部同学都完成A组作业，B组作业提供给学有余力和敢于挑战自己的同学作为研讨和探索。 加深学生对知识的理解，促进学生对所学知识的反思。 把作业分为必做题和选做题两种。必做题较基础，可以发现和弥补课堂学习的遗漏和不足；备选题则仅供学有余力的学生选用。 引入例子相应关系式 y =6x2 a= ,b= ,c= . 111 m=n(n-1)=n2-n 222a= ,b= ,c= . y = 20 (1+x)2 即y = 20x2+40x+20 a= ,b= ,c= . 投 影 幕
