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1、二次函数知识点 分节 配套习题 理解记忆，记忆中理解，没有学不好滴数学！ 二次函数知识点详解 知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标
2、在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ab时，和是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限x0,y0 点P(x,y)在第二象限x0 点P(x,y)在第三象限x0,y0,y0 0 x 三象限，y随x的增大 而增大。 k0 y 图像经过一、三、b0 四象限，y随x的增大 0 x 而减小 K0 y 图像经过二、三、b0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0时，y随x的增大而增大 当k0 k0时，函数图像的两个分支分别 当k0 (0，0) a0时，y随x的增大而增大；x0时，y
3、随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0 (0，c) 随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c x0时，y随x的增大而减小；x0时，ya0 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 (h，0) (h，0) X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0 ah时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；x0 向上 (h，k) x的增大而减小；x=h时，y有最小值k xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0)平移|k|个单位22y=ax2y=ax2+k向右(h0)平移|k|个单位向右(h0)平移 |k|个单位向上(k0)平移|k|个单位向
4、上(k0)平移|k|个单位向右(h0)平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” ： 1、抛物线y=1(x+2)24的开口向，顶点坐标，对称轴，x时，y随x的增29 用心背后就知好 二次函数疑难问题一扫光 简洁实用 直指中考 理解记忆，记忆中理解，没有学不好滴数学！ 大而增大，x时，y随x的增大而减小。 2、抛物线y=2(x+1)2-3的顶点坐标是 A B C D 3、二次函数y=ax2的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为 Ay=a(x-2)2
5、3 By=a(x-2)23 Cy=a(x+2)23 Dy=a(x+2)23 4、对抛物线y=2(x-2)23与y=2(x-2)24的说法不正确的是 A抛物线的形状相同 B抛物线的顶点相同 C抛物线对称轴相同 D抛物线的开口方向相反 5、函数y=ax2c与y=axc(a0)在同一坐标系内的图像是图中的 6、抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标是 A B C D 7、化y=x2+4x+3为y=x2+4x+3为y=a(x-h)2+k的形式是，图像的开口向，顶点是，对称轴是。 8、抛物线y=x2+4x1的顶点是，对称轴是。 9、函数y=-12x2x5的图像的对称轴是 210 A直线x=2 B直线a=2
6、C直线y=2 D直线x=4 用心背后就知好 二次函数疑难问题一扫光 简洁实用 直指中考 理解记忆，记忆中理解，没有学不好滴数学！ 10、二次函数y=-x2-2x+1图像的顶点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 11、如果抛物线y=x2+6x+c的顶点在x轴上，那么c的值为 A0 B6 C3 D9 12、抛物线y=x2-2mx+m+2的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是 Am1或m2 Bm0或m1 C1m0 Dm1 二次函数： y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0) 1、二次函数的图像是一条关于x=-b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a2、抛物线的主要特征： 有开口方
7、向；有对称轴；有顶点。 3、抛物线中的特殊点：定点，与y轴的交点(0,c)，与x轴的交点(x1,0)( x2,0). 4、二次函数图像的画法五点法： 先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点： 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再
8、描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 、二次函数的解析式 (3种) 一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0) 两根式：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。如果没有交点，则不能这样表示。 顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a0) 用心背后就知好 二次函数疑难问题一扫光 简洁实用 直指中考 11 理解记忆，记忆中理解，没有学不好滴数学！
9、 ： 1抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。 2抛物线y=2x212x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 3试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x2，且与y轴的交点坐标为的抛物线的解析式 。 4通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： 12122y= x2x+1 ； y=3x+8x2； y= x+x4 245把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x23x+5，试求b、c的值。 6把抛物线y=2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。 8.
10、通过配方变形，说出函数y=-2x2+8x-8的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 9.根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式。已知抛物线的顶点是，且过点。 25已知一个二次函数的图像过点，它的顶点坐标是，求这个二次函数的关系式。 12 用心背后就知好 二次函数疑难问题一扫光 简洁实用 直指中考 理解记忆，记忆中理解，没有学不好滴数学！ 20已知二次函数y=ax2+bx+c，如果a0,b0,c0，那么这个函数图像的顶点必在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 21如图所示，满足a0,b0的函数y=ax2+bx的图像是 22画出y= 用心背
11、后就知好 二次函数疑难问题一扫光 简洁实用 直指中考 13 12x-4x+10的图像，由图像你能发现这个函数具有什么性质 2 理解记忆，记忆中理解，没有学不好滴数学！ 知识点八、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值，即当4ac-b2b。 x=-时，y最值=4a2a如果自变量的取值范围是x1xx2，那么，首先要看-b是否在自变量取值范围2a4ac-b2bx1xx2内，若在此范围内，则当x=-时，y最值=；若不在此范围内，则需要4a2a考虑函数在x1xx2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，2y最大=ax2+bx2+c，当x=x
12、1时，y最小=ax12+bx1+c；如果在此范围内，y随x的增大而减2+bx2+c。 小，则当x=x1时，y最大=ax12+bx1+c，当x=x2时，y最小=ax2知识点九、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 a0 图 像 y 二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0) a0 y 14 用心背后就知好 二次函数疑难问题一扫光 简洁实用 直指中考 理解记忆，记忆中理解，没有学不好滴数学！ 0 x 0 x 抛物线开口向上，并向上无限延伸； 抛物线开口向下，并向下无限延伸； bbb对称轴是x=-，顶点坐标是对称轴是x=-，顶点坐标是2a2a2a4ac-b2）； 4a4ac-b2b
13、； 4a2abb时，y在对称轴的左侧，即当x-时，y随x的增大而增大，侧，即当x-时，y随x的增大2a2a简记左减右增； 而减小，简记左增右减； bb抛物线有最低点，当x=-时，y有抛物线有最高点，当x=-时，y2a2a在对称轴的左侧，即当x0时，抛物线开口向上 a0时，图像与x轴有两个交点； 当D=0时，图像与x轴有一个交点； 当D0)平移|k|个单位y=ax2+k向右(h0)平移|k|个单位向右(h0)平移 |k|个单位向上(k0)平移|k|个单位向右(h0)平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k0)平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移
14、；k值正上移，负下移” 函数平移图像大致位置规律 特别记忆-同左上加 异右下减 (必须理解记忆) 说明 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右 向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减 用心背后就知好 二次函数疑难问题一扫光 简洁实用 直指中考 16 理解记忆，记忆中理解，没有学不好滴数学！ 3、直线斜率：y2-y1 b为直线在y轴上的截距4、直线方程： k=tana=x2-x14、两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: y-y1=kx+b=(tana)x+b=y2-y1x(x-x1) 此公式有多种变形 牢记 x2-x1 点斜 y-
15、y1=kx(x-x1) 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0) 截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy+=1 ab牢记 口诀 -两点斜截距-两点 点斜 斜截 截距 5、设两条直线分别为，l1：y=k1x+b1 l2：y=k2x+b2 若l1/l2，则有l1/l2k1=k2且b1b2。 若l1l2k1k2=-1 6、点P到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: d= 7、抛物线y=ax2+bx+c中， a b c,的作用 a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样. b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+
16、bx+c的对称轴是直线 bb，故：b=0时，对称轴为y轴；0时，对称轴在y轴a2ab左侧；0,与y轴交于正半轴； 用心背后就知好 二次函数疑难问题一扫光 简洁实用 直指中考 17 理解记忆，记忆中理解，没有学不好滴数学！ c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 十一，中考点击 考点分析： 内容 1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系 3、一次函数的概念和图像 4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图 5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用 6、
17、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 要求 b0. a命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，36分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中要求：能通过
18、对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题会求一元二次方程的近似值 分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计XX年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用 十二，初中数学助记口诀(函数部分) 特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；X轴上y
19、为0,x为0在Y轴。 用心背后就知好 二次函数疑难问题一扫光 简洁实用 直指中考 18 理解记忆，记忆中理解，没有学不好滴数学！ 对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。 自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。 函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k+b、二次函数的解析式写成y=a2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍, 同左上加 异右下减 一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远。 二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。 反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的
