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1、二项分布的方差证明服从二项分布的随机变量x的方差公式的推导 在独立重复实验中，某结果发生的概率均为p，那么在n次实验中该结果发生的次数x的概率分布为 x P 0 0nCnq 1 2 3 L L n-1 n-1n-1Cnpq n nnCnp 122n-233n-3Cnpqn-1 Cnpq Cnpq 服从二项分布的随机变量x的期望Ex=np.证明从略. 预备公式1. Dx=(xi-Ex)2pi i=1n=xi2-2xiEx+(Ex)2pii=1nn=xipi-2Exxipi+(Ex)pi 22i=1i=1i=1nn=Ex2-2(Ex)2+(Ex)2=Ex2-(Ex)2Dx=Ex2-(Ex)2 预备
2、公式2. kk-1k2Cn=knCn-1 k-1=n(k-1)+1Cn-1k-1k-1=nCn-1+n(k-1)Cn-1 k-1k-2=nCn-1+n(n-1)Cn-2kk-1k-2k2Cn=nCn+n(n-1)C-1n-2 求证：Dx=npq 2证明：QEx=iC2i=01nninpiqn-i +nCi=2nni-1n-1=Cpq=npqn-1pqin-ii-2in-i+n(n-1)Cn-2pqi=20n-1n-12nn-1+npCi=1i-1n-1pqi-1n-i-npCq+n(n-1)pCi=2ni-2n-2pi-2qn-i=npqn-1+np(p+q)n-1-npqn-1+n(n-1)p2(p+q)n-2=npqn-1+np-npqn-1+n(n-1)p2=np+n2p2-np2=np(1-p)+n2p2=npq+n2p2Dx=Ex2-(Ex)2 =npq+n2p2-(np)2=npq
