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1、二项式定理与数列求和www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！ 二项式定理与数列求和 陕西 刘大鸣 1对一道高考题的探究 题目已知数列an是首项为a1，公比为q的等比数列. 求 a1C20-a2C21+a3C22，a1C30-a2C31+a3C32-a4C33; 由 的结果归纳慨括出关于正整数的n的一个结论，并加以证明. 简析： 注意二项式定理展开式的特征“除二项式系数外是关于b为公比的等比数列的和”.用等比数列a=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2的通项公式，逆用定理解决. a1C20-a2C21+a3C22，3a1C30-a2C31+a3C32-a4C33=a1-3a1q+
2、3a1q2-a1q3=a1(1-q); 由的结果归纳慨括出关于正整数的n的一个结论：数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，则a1Cn0-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+L+(-1)nan+1Cnn=a1(1-q)n将通项公式代入逆用二项式定理证明：a1Cn-a2Cn+a3Cn-a4Cn+L+(-1)an+1Cn=a1Cn-a1qCn+a1q2Cn-a1q3Cn+L+(-1)a1qn0123nn0123n=aCn-qCn+q2Cn-q3Cn+L+(-1)qnCn=a1(1-q).0123nnn2类比推广探究方法和结论： 重新认识二项式定理，其展开式，实质为二项式系数构成的一个数列与一个等
3、比数对应项的积构成的数列的和，于是，沟通了二项式定理和数列的求和的关系.凡与二项式系数有关的恒等式问题，常常借助二项式定理和数列求和的解决. 问题：如何求 定理求和； 若an是某等比数列的和，则求和公式代入分解组合，整体逆用二项式定理求和；若则“反序整体思维求和”. 3应用 aiCni=0ni？ 探究的结论及方法： 若an是等比数列，则通项公式代入，逆用二项式an是等差数列，例1.an=1+q+q2+L+qn-1q1,nN*,An=Cna1+Cna2+L+Cnan,若-3qr)=？ rrr简析：可用组合数性质推论“连锁反应”求证.若注意到二项式定理和组合数及数列求和之间的关系，受教材第二册下(A) 146页7题求解的启示，构造等比数列和的恒等式，对照某项的系数获解.依题设可构建 rn-r+1(=1(1+x)n+1-(1+x)r,对照两边的xr+1系数可得,1+x)1-(1+x)(1+x)+(1+x)+L+(1+x)=1-(1+x)xrr+1nrrrrrCr+Cr+1+Cr+2+L+Cn-1(nr)=Cn+1. 学数学 用专页 第 2 页 共 2 页 教数学 用华软
