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1、云飞专升本 级数部分答案第五讲 向量代数、级数、微分方程试题分析 空间向量和空间解析几何 重点关注题目 1、解：与y轴平行的平面方程可设为Ax+Cz+D=0. 2A+3C+D=0A=-2D又过两点P，解得. 1和P2，故有代入可得等式A+C+D=0C=D所以所求的平面方程为2x-z-1=0. xyz=的直线方程。 3-2-2r解：由题意易知，所求直线的方向向量为s=3,-2,-2，又过点P，所以直线方程为 2、求过点P(-1,-2,3)并且平行于直线r3、解：由题意易知，所求平面的法向量就是已知直线的方向向量，即n=1,-2,0，又过点P，所以所求平面的方程为(x-3)-2(y+1)=0即x-
2、2y-5=0. x+1y+2z-3=. 3-2-2r4、解：已知平面的法向量为n=2,-3,1，所以过点P，并且与已知平面垂直的直线方程可写为x-3y+2z-2=. 2-31x=1x-3y+2z-2=则该直线与平面的交点为：2-31，解得y=1. z=12x-3y+z=0故P点在平面上投影点的坐标为(1,1,1). rr5、解：平面的法向量为n=2,-1,1，直线的方向向量为s=1,1,2， rr1pns31所以cosq=rr=，sinj=cosq=，j=. 26662nsp. 6rrijr6、解：直线的方向向量s=3212故直线和平面的夹角为对直线方程rkrrr1=4i-8j+4k. 33x
3、+2y+z=03x+2y=0x=-2，令z=0，可得，解得， x+2y+3z-4=0x+2y-4=0y=3故直线过点(-2,3,0). x=-2+4tx+2y-3z=，相应的参数方程为y=3+8t. 从而可得直线的对称式方程为4-84z=4t2x+y+z=37、解：平面p与直线L的交点即解方程组：x+2y+z=1， x+y+2z=4x=1可解得y=-1.故直线与平面的交点为(1,-1,2). z=2x2+2y2-z=0228、解：曲线2在xOy面上的投影曲线方程需要消去z，可有x-y=0. 22x+y-z=0x2-y2=0所以投影曲线方程为. z=0无穷级数 重点关注题目 1、解：Qr=lim
4、nan+1n(n+1)=lim=1， nan(n+1)(n+2)1所以收敛半径R=r=1. 11当x=1时，级数化为，该级数与2同敛态，故是收敛的； n=0n(n+1)n=0n(-1)n当x=-1时，级数化为，是交错级数，满足莱布尼茨定理，故是收敛的。 n(n+1)n=0所以所求级数的收敛区间为-1,1. 2、解：Qr=limnan+1n=lim=1， nann+11所以收敛半径R=r=1. (-1)n当x=1时，级数化为，是交错级数，满足莱布尼茨定理，故收敛； nn=0当x=-1时，级数化为n=011，是p=时的p级数，故是发散的。 2n所以所求级数的收敛区间为(-1,1. tn3、解：令2
5、x+1=t，则级数可化为标准形式. n=0nQr=limnan+1n=lim=1， nn+1an1所以收敛半径R=r=1. 1(-1)n当t=1时，级数化为，显然是发散的；当t=-1时，级数化为，是交错nn=0nn=0tn级数，满足莱布尼茨定理，故是收敛的。所以级数的收敛区间为-1,1)，从而有 n=0n-12x+11，即-1x0. 故原级数的收敛区间为-1,0). tn4、解：令x+3=t，则级数可化为标准形式2. n=0nan+1n2Qr=lim=lim=1， nan(n+1)2n所以收敛半径R=1r=1. 1(-1)n当t=1时，级数化为2，显然是收敛的；当t=-1时，级数化为交错级2n
6、=0nn=0ntn数，是收敛的。所以级数2的收敛区间为-1,1.从而有-1x+31，即-4x-2. nn=0故原级数的收敛区间为-4,-2. 5、解：该幂级数是缺项的幂级数。 un+12n+32n+2n!x2Qr=lim=limx=lim=0， 2nnun(n+1)!n(2n+1)xn+1n所以收敛半径R=1r=.故该级数的收敛半径为(-,+). 6、解：这是缺项的非标准形式的幂级数。 t3n令x-2=t，则级数可化为标准形式n. n=0n4un+1t3n+3n4nt3Qr=lim=lim=， nun(n+1)4n+1t3n4nt3当r=1即-34t1即t34或t-34时，级数是发散的； 4t
7、3113当r=1即t=4时，级数转化为和-，显然都是发散的。 4n=0nn=0nt3n故级数n的收敛区间为-34,34.从而-34x-234，即2-34x2+34，n=0n4()故原级数的收敛域为2-34,2+34. 7、解：Qr=limn()an+1n=lim=1， nann+11所以收敛半径R=r=1. 1(-1)n当x=1时，级数化为，显然是发散的；当x=-1时，级数化为交错级nnn=0n=0数，满足莱布尼茨定理，故是收敛的。所以该级数的收敛区间为-1,1). xn根据幂级数的标准展开式可知：=-ln(1-x)，即其和函数为-ln(1-x). nn=011123111123333又. +
8、L=+L=-ln(1-)=-ln=ln23132333123332xx11x1118、解：f(x)=2=(-)=- xx-2x-34x-3x+1431-x+13x1xn1xn+1111nnnn+1=-n-(-1)x=-n+1-(-1)x=-n+1+(-1)nxn+1， 43n=03n=04n=034n=04n=03x(-1,1) 9、解：f(x)=ln(1+x)=2(-1)n=0nx2n，x-1,1. nx-3n(x-3)10、解：f(x)=lnx=ln(x-3)+3=ln3+ln(1+，)=ln3+(-1)n33n=0x(0,6. nn11111n(x+1)n(x+1)=(-1)=(-1)1
9、1、解：f(x)=， nn+1x+1x+5(x+1)+441+4n=044n=04x(-5,3). 12、解：令x-1=t，则x=t+1，所以 f(x)=111111111 =-(-)=-22tx-x-2t+t-23t+2t-16+131-t21(-1)ntn1n1(-1)nn1(-1)nn， =-t=-+1t=-+1(x-1)nn+1n+16n=023n=03n=023n=02x(0,2). 13、解：令x-1=t，则x=t+1，所以 11111(-3)ntn(-3)n28nf(x)=(x-1)，x-,. nn+132+3x3t+551+t5n=0533n=055114、解：Qf(x)=(-
10、1)nx2n， 21+xn=0(-1)nx2n+1，x(-1,1). f(x)=(-1)tdt=02n+1n=0n=0xn2n15、解：f(x)=lnx=lnx-ln(x+1)=ln1+(x-1)-ln2+(x-1) x+1(-1)n(x-1)nx-1nn =-ln2+ln1+(x-1)-ln1+=-ln2+(-1)(x-1)-n22n=0n=0=-ln2+(-1)n(1+n=01)(x-1)n，x(0,2. n211+(-1)n-11(-1)n-1(-1)n-116、解：，因为2是收敛的，是绝对=2+2222nn=02nn=0n=02nn=02nn=02n1+(-1)n-1收敛，也是收敛的，
11、所以原级数是收敛的。 22nn=02n22nQr=limn=lim=1，由比值判别法，可知该级数是3nan(n+2)2nn发散的。 1-cos19、解：Qlimnpp22n2p2n=1，又级数是收敛的，根据比较判别法的极限形式，可2n=02n知级数(1-cos)是收敛的。 nn=0psinna11sinna20、解：Q，又正项级数是收敛的，所以级数是绝对收敛的。 2222nnnn=0nn=021、解：Q(-1)n-1n=0sin2psin2p，又Qlim=2nn2nn=0sin2p1n2=2p，且正项级数是21nn=02nsin2pn-1sin2p收敛的，所以级数也是收敛的，故有级数是绝对收敛
12、的。 (-1)22nnn=0n=0122、解：Q(-1)n=0n-112n+3n3=n=012n+3n3，又limn2n3+3n=2，又正项级12n3数n=01n3是收敛的，所以级数n=012n+3n3也是收敛的，从而n-1(-1)n=012n+3n3是绝对收敛的。 1n11n-11lnn23、解：Q(-1)，又lim=lim=limn=，因为级数=n1nlnnnlnnn=0lnnn=0n=0nn是发散的，根据比较判别法的极限形式，可知级数1是发散的。 n=0lnn 而对交错级数(-1)n-1n=01来说，满足莱布尼茨公式，故是收敛的。综上可知，级数lnn(-1)n-1n=01是条件收敛。 l
13、nn常微分方程 重点关注题目 dyey-1=1、解：原方程可变为标准形式，这是可分离变量的方程， dxxdydxeydx=)dy=方程可化为y，即(-1+y， e-1xe-1xyy-yy两边同时积分有-y+lne+1=lnCx，即e(e-1)=Cx，也就是1-e=Cx. 原方程的解为1-e=Cx. ydye2x-y=x+y，这是可分离变量的方程， 2、解：原方程可变为标准形式dxe12ye=ex+C1即e2y=2ex+C是原方程的解。 2dy12x+y=3、解：原方程可变为标准形式，这是一阶非齐次线性微分方程，对应dxxlnxlnxdy1C=-y，该其次方程对应的通解为y=的齐次方程为. dx
14、xlnxlnxC(x)C(x)2x= 令y=是对应的非齐次的解，代入有，所以有C(x)=2x，即lnxlnxlnx方程可化为edy=edx，两边同时积分有2yxx2+C. C(x)=x+C，所以原方程的通解为y=lnx24、解：原方程可变形为dy1-y=xe-x. dxxdy1dy1-y=0，即=dx，两边同时积分可得通解为y=Cx. dxxyx该方程对应的齐次方程为令y=C(x)x为非齐次的通解，代入原方程有C(x)x=xe-x，所以C(x)=e-x，C(x)=-e-x+C.故原方程的通解为y=(-e-x+C)x=-xe-x+Cx. 将x=1,y=0代入可得C=1x-x，所以满足初始条件的特
15、解为y=-xe+. ee5、解：原方程可变形为dy-y=x. dxdydy-y=0，即=dx，两边同时积分可得通解为y=Ce-x. dxy该方程对应的齐次方程为令y=C(x)e-x是原方程的通解，代入可得C(x)e-x=x，即C(x)=xex，所以C(x)=xex-ex+C，故原方程的通解为y=(xex-ex+C)e-x=Ce-x+x-1. 6、解：原方程可变形为dxx-=1. dyydxxdxdy-=0，即=，两边同时求积分可得通解为x=Cy. dyyxy1，所以y该方程对应的齐次方程为令x=C(y)y是原方程的通解，代入可得C(y)y=1，即C(y)=C(y)=lny+C.故原方程的通解为
16、x=(lny+C)y=ylny+Cy. 7、解：由题意可知：y=4x-2ydyy+=4x2. ，变形为xdxx该方程对应的齐次方程为dyyCdydx+=0，即=-，两边同时积分有y=. dxxxyx令y=4C(x)C(x)3=4x2，即C(x)=4x是原方程的通解，代入可得，所以xxx4+CC=x3+. C(x)=x+C.故原方程的通解为y=xx3曲线过点(1,1)，代入通解可得C=0，所以曲线的方程为y=x. 8、解：由题意可知：y=x-y，变为标准形式是该方程对应的齐次方程为dy-y=x. dxdydy-y=0，即=dx，两边同时积分可得通解y=Cex. dxy令y=C(x)ex是原方程的
17、通解，代入可有C(x)ex=x，即C(x)=xe-x，所以C(x)=-xe-x-e-x+C.故原方程的通解为y=(-xe-x-e-x+C)ex=Cex-x-1. 9、解：该二阶常系数线性微分方程对应的特征方程为r-4r+3=0，解得r1=3，r2=1. 故该方程对应的通解为y=C1e3x+C2ex. 又y(0)=4，y(0)=8，代入通解可有：2C1+C2=4，解得C1=C2=2，故对应3C1+C2=8的特解为y=2e3x+2ex. 10、解：该方程对应的齐次方程为y+3y+2y=0，特征方程为r+3r+2=0，解得2r1=-2，r2=-1，故对应的通解为y=C1e-2x+C2e-x. 非齐次
18、方程的特解可设为Ax+B，代入原方程，可得A=35，B=-.即特解为423535x-.故方程的通解为y=C1e-2x+C2e-x+x-. 242411、解：该方程对应的齐次方程为y-5y+6y=0，特征方程为r-5r+6=0，解得2r1=2，r2=3，故对应的通解为y=C1e2x+C2e3x. 非齐次方程的特解可设为x(Ax+B)e，代入原方程，可得A=-2x1，B=-1，即特2解为x(-11x-1)e2x.故方程的通解为y=C1e2x+C2e3x-x(x+1)e2x. 22212、解：该方程对应的齐次方程为y+y=0，特征方程为r+1=0，解得r=i，故对应的通解为y=C1cosx+C2si
19、nx. 非齐次方程的特解可设为Acos2x+Bsin2x，代入原方程可得A=-1，B=0，即3特解为-cos2x.故方程的通解为y=C1cosx+C2sinx-cos2x. 13、解：该方程对应的齐次方程为y+4y=0，特征方程为r+4=0，解得r=2i，故21313对应的通解为y=C1cos2x+C2sin2x. 11，B=0，C=-即84121121特解为x-.故方程的通解为 y=C1cos2x+C2sin2x+x-. 4848非齐次方程的特解可设为Ax+Bx+C,代入原方程可得A=2=ex,y1=ex，代入方程有(1-x)ex+xex-ex=0显然成立，故y1是原方程的14、解：y1解。同理可验证y2是原方程的解。 又因为y1和y2是两个线性无关的，所以该微分方程的通解可写为y=C1ex+C2x.
