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1、人教九年级上册数学课本知识点归人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1二次根式：把形如a(a0)的式子叫做二次根式， “示二次根号。 2最简二次根式：若二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3化简：化二次根式为最简二次根式如果被开方数是分数或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二
2、次根式。 5代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6二次根式的性质 2(a)=a(a0) ” 表 a(a0) a2=a=-a(a0) 1 ab=ab(a0,b0)(乘法) aa=(a0,b0)bb(除法) 二、二次根式混合运算 1二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 22ax
3、+bx+c=0(a0)，2、一元二次方程的一般形式其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 二、降次-解一元二次方程 1降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做2(x+a)=b的一元直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x=b或22 二次方程。根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b0时，x+a=b，x=-ab，当b0时，方程有两个实数根。 2当b-4ac=0时，方程有两个相等实数根。 2当b-4ac0时，方
4、程没有实数根。 5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 三、一元二次方程根的判别式 2ax+bx+c=0(a0)中，b2-4ac叫做根的判别式：一元二次方程2ax+bx+c=0(a0)的根的判别式，一元二次方程通常用“D”来表示，2即D=b-4ac 3 四、一元二次方程根与系数的关系 2ax+bx+c=0(a0)的两个实数根是x1，x2，由求根公式 如果方程x=-bb2-4ac2cbx1x2=x1+x2=-(b-4ac0)a。 a，2a可算出第二十
5、三章 旋转 一、旋转 1、定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2、性质 对应点到旋转中心的距离相等。 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 旋转前后的图形全等。 二、中心对称 1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2、性质 关于中心对称的两个图形是全等形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行且相等。 4 3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点
6、，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 5、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P关于原点的对称点为P 6、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P关于x轴的对称点为P。 7、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P关于y轴的对称点为P。 第二十四章 圆 一、圆的相关概念 1、圆的定义：在一个个平面内，线段
7、OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O” 二、弦、弧等与圆有关的定义 5 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 直径等于半径的2倍。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧 三、垂径定理及其推论 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并
8、且平分弦所对的弧。 推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆的对称性 1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 6 1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的
9、弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 六、圆周角定理及其推论 1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 七、点和圆的位置关系 设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： dr点
10、P在O外。 八、过三点的圆 1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补。 九、反证法 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 十、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： 相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； 相切：直线和圆有唯一公共点时
11、，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与O相交dr； 十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 十二、切线长定理 1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内
12、切圆。 2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 十四、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 9 2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离dR+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rdR+r 两圆内切d=R-r 两圆内含d0时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当a0时
13、，开口向上；当a0时，对称轴2aab在y轴左侧；0,与y轴交于正半轴；c0,与y轴交于负15 半轴。 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b0时 开口向上 当a0时 开口向下 x=0 x=h x=h bx=- 2ay=ax+bx+c 2b4ac-b2，(-) 2a4a11、用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：y=ax2+bx+c。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。 顶点式：y=a(x-h)+k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 2 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。 261
14、的比等于相似比。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方 273 位似 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 性质 1、位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 2、位似多边形的对应边平行或共线。 3、位似可以将一个图形放大或缩小。 位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中
15、心对称。 注意 1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； 2、两个位似图形的位似中心只有一个； 3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、位似比就是相似比利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； 5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。 第二十八章 锐角三角函数 281 锐角三角函数 锐角角A的正弦,余弦和正切,余切以及正割，都叫做角A的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边， 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边； 余切等于邻边比对边 正切与余切互为倒数，互余角的三角函
16、数间的关系。 sin(90-)=cos, cos(90-)=sin, tan(90-)=cot, cot(90-)=tan. 同角三角函数间的关系 平方关系： tan=sin/cos，sin2+cos2=1 积的关系： 倒数关系： tancot=1 ；sincsc=1； cossec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 三角函数值 特殊角三角函数值 090的任意角的三角函数值，查三角函数表。 17 tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 锐角三角函数值都是正值 当角
17、度在090间变化时， 正弦值随着角度的增大而增大 余弦值随着角度的增大而减小 正切值随着角度的增大而增大 余切值随着角度的增大而减小 当角度在090间变化时， 0sin1, 1cos0, 当角度在00, cot0. 特殊的三角函数值 282 解直角三角形 勾股定理，只适用于直角三角形 a2+b2=c2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。 常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；等等. 直角三角形的特征 直角三角形两个锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形中
18、30所对的直角边等于斜边的一半； 勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即： 222在RtABC中，若C90，则a+b=c； 勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三222角形是直角三角形，即：在ABC中，若a+b=c，则C90； 222射影定理：AC=ADAB,BC=BDAB,CD=DADB A 锐角三角函数的定义： A D 如图，在RtABC中，C90， A，B，C所对的边分别为a,b,c, aba则sinA= ,cosA= ,tanA= , ccb解直角三角形 222三边之间的关系：a+b=c 两锐角之间的关系：AB90 边角之间的关系
19、：sinA=C B b c C a B A 的对边aA 的邻边b,cosA= 斜边c斜边cA 的对边aA 的邻边b,cotA= A 的邻边bA 的对边a tanA=解直角三角形中常见类型： 18 已知一边一锐角已知两边解直角三角形的应用 第二十九章 投影与视图 291 投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影形成的投影叫做中心投影后空；先大后小；先画轮廓，后画细节。画每个 形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。 19
