人教九年级数学知识点总结.docx

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1、人教九年级数学知识点总结第二十一章 二次根式 1.二次根式：式子 (a0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； 被开方数的因数是整数，因式是整式； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ， ， .都不是最简二次根式，而 ， ，5 ， 都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如 与 ，a+

2、与a- ， - 与 + ，互为有理化因式。 , , 就是同类二次根式，因为 =2 ， =3 ，它们与 的被开方数均为 二次根式的性质： 1. (a0)是一个非负数, 即 0; )2=a(a0)； 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|= = 。 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即= 。 。 说明：法则中、可以是单项式，也可以是多项式，

3、要注意它们的取值范围，、都是非负数； 可以推广为。 ； 等式也可以倒过来使用，即。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即因此0； 1 。 说明：法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，0，在分母中，可以推广为； 等式也可以倒过来使用，即。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式 被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； 被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式 注：判断几个二次根式是否为

4、同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同。 合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变。 2. 二次根式的加减 二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。 二次根式的加减法与多项式的加减法类似，首先是化简，在化简的基础上去括号再合并同类二次根式，同类二次根式相当于同类项。 一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行： i）将每一个二次根式都化简成最简二次根式 ii）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组 iii）合并同类二次根式 3. 二次根

5、式的混合运算 二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点： 观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。 观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算性质，在实数和整式中的运算律和运算性质，在二次根式的运算中都可以应用。 4. 分母有理化 我们在前面的学习中研究了分母形如 综合起来，常见的有理化因式有： 的有理化因式为 分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母

6、的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。 第二十二章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。 22.2 降次解一元二次方程 2 形式的分式的分母有理化 ， ， 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 的有理化因式为 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法： 用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程，其解为x= m. 2、配方法 1.转化： 2.系数

7、化 3.移项： 4.配方： 5.变形： 6.开方： 3、公式法 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b2-4ac的值，当b2-4ac0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac0)就可得到方程的根。 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 22.3 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展 从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程

8、解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等 第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 1. 图形的旋转 定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。 生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基

9、本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。 图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。 会找对应点，对应线段和对应角。 2. 旋转的基本特征： 图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等； 图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。 3. 几点说明： 旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。 23.

10、2 中心对称 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180，假如它能够与另一个图形重合，那么这个图形关于这个点对称或中心对称。 中心对称的性质：关于中心对称的刘遇图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。关于中心对称的刘遇图形是全等形。 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 对称点的坐标规律：关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数， 关于y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变， 关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。 第二十四章 圆第三章 圆 3 1、定义：圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合

11、。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径， 圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。 对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面； 圆由两个条件唯一确定：一是圆心，二是半径。 2、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： 点在圆上d=r；点在圆内dr；点在圆外dr。 证明若干个点共圆，就是证明这几个点与一个定点的距离相等。 3、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 4、与圆相关的概念： 弦和直径。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫

12、做直径。 圆弧、半圆、优弧、劣弧。 圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示， 半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。 同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 5、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平

13、分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 6、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 7、1的弧的概念：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的角都是1的圆心角，相应的整个圆也被等分成360份，每一份同样的弧叫1弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 8、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与

14、圆相交的角，叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径； 9、确定圆的条件： 理解确定一个圆必须的具备两个条件：圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。经过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段的垂直平分线上。 经过三点作圆要分两种情况：(1)经过同一直线上的三点不能作圆。(2)经过不在同一直线上的三点，能且仅能作一个圆。定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 10、 (1)三

15、角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。 (2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。(3)三角形的外心的性质：三角形外心到三顶点的距离相等。 11、直线和圆的位置关系： (1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。 4 (2)相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点做切点。 (3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 (4)直线与圆的位置关系的数量特征：设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则 dr直线L和O相交。 d=r

16、直线L和O相切。 dr直线L和O相离。 12、切线的总判定定理：经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个。 垂直于切线；过切点；过圆心。 13、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 三角形内心的性质：(1)三角形的内心到三边的距离相等。(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角。由此性质引出一条重要的辅助线：

17、连接内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这个内角。 14、两圆的位置关系： (1)外离： 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。 (2)外切： 两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时， 叫做这两个圆外切。这个惟一的公共点叫做切点。 (3)相交： 两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交。 (4)内切： 两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个惟一的公共点叫做切点。 (5)内含： 两个圆没有公共点， 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。两圆

18、同心是两圆内的一个特例。 (6)两圆位置关系的性质与判定：(1)两圆外离dR+r；(2)两圆外切d=R+r；(3)两圆相交R-rdR+r(Rr)；(4)两圆内切d=R-r(Rr)；(5)两圆内含dr)。 (7)相切两圆的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 15、圆周长公式：圆周长C=2R(R表示圆的半径)。圆的面积公式：S=R 2(R表示圆的半径)。 弧长公式：2nR/360(R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度数)。 扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 2扇形的面积公式：扇形的面积=nR/360(R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度数)。

19、弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高。 16、圆锥：可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面。 圆锥的侧面展开图与侧面积计算：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点。如果设圆锥底面半径为r，侧面母线长(扇形半径)是l，底面圆周长(扇形弧长)为c，那么它的侧面积是：S=cl/2=2rl/3=rl。 总面积=侧面积+底面积。 17、若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆

20、叫做这个四边形的外接圆。圆内接四边形的特征： 圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角。 18、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 19、和圆有关的比例线段： 5 (8)相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦。 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等； 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 20、切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交

21、点的两条线段长的积相等。 21、两圆连心线的性质： 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。 如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。在弧长公式中，n表示1的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R10，计算20的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360的扇形面积等于圆面积角为n的扇形面积的计算公式是又因为扇形的弧长。 6 ，所以圆心角为1的扇形面积是

22、，由此得圆心。 ，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：，扇形面积知识点3、弓形的面积 弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。 弓形的周长弦长弧长 弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 注意：圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长 弧长 圆面积 扇形面积 公 式 扇形与弓形的联系与区别 扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面

23、积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积 说明：圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积知识小结： 7 ，圆锥的全面积 ，圆柱的全面积圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱 图形 图形的形成过程 图形的组成 侧面展开图的特征 面积计算方法 第二十五章 概率

24、初步 由一个直角三角形旋转得到的，如RtSOA绕直线SO旋转一周。 一个底面和一个侧面 扇形 由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。 两个底面和一个侧面 矩形 25.1 随机事件与概率 1随机试验与样本空间 具有下列三个特性的试验称为随机试验： (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； (3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现 第二十六章 二次函数 1、定义：一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。 2、二次函数y=ax的性质：

25、抛物线y=ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴； 函数y=ax的图像与a的符号关系： 当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当a0时，开口向上；当a00,与y轴交于正半轴；c0,与y轴交于负半轴。 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 10、几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 y=ax y=ax22ba0时 开口向上 当a0时 开口向下 y=ax2+bx+c 4ac-b(-，2a4ab) 11、用待定系数法求二次函数的解析式 2 一般式：y=ax+bx+c。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。 顶点式：y=a(x-h)+k.已

26、知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 2 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。 261 的比等于相似比。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方 273 位似 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 性质 1、位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 2、位似多边形的对应边平行或共线。 3、位似可以将一个图形放大或缩小。 位似图形的中心可以在任意的一点，不过

27、位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 注意 1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； 2、两个位似图形的位似中心只有一个； 3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、位似比就是相似比利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； 5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。 第二十八章 锐角三角函数 281 锐角三角函数 锐角角A的正弦,余弦和正切,余切以及正割，

28、都叫做角A的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边， 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边； 余切等于邻边比对边 正切与余切互为倒数，互余角的三角函数间的关系。 sin(90-)=cos, cos(90-)=sin, 10 tan(90-)=cot, cot(90-)=tan. 同角三角函数间的关系 平方关系： tan=sin/cos，sin2+cos2=1 积的关系： 倒数关系： tancot=1 ；sincsc=1； cossec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 三角函数值 特殊角三角函数值

29、090的任意角的三角函数值，查三角函数表。 tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 锐角三角函数值都是正值 当角度在090间变化时， 正弦值随着角度的增大而增大 余弦值随着角度的增大而减小 正切值随着角度的增大而增大 余切值随着角度的增大而减小 当角度在090间变化时， 0sin1, 1cos0, 当角度在00, cot0. 特殊的三角函数值 282 解直角三角形 勾股定理，只适用于直角三角形 a2+b2=c2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。 常

30、见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；等等. 直角三角形的特征 直角三角形两个锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半； 勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即： 在RtABC中，若C90，则a2+b2=c2； 勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在ABC中，若a2+b2=c2，则C90； 射影定理：AC2=ADgAB,BC2=BDgAB,CD2=DAgDB 锐角三角函数的定义： 如图，在RtABC中，C90， A，B，C所对的边分别为a,b,c, A D

31、C B A b c aba则sinA= ,cosA= ,tanA= , ccb解直角三角形 11 C a B 三边之间的关系：a2+b2=c2 两锐角之间的关系：AB90 边角之间的关系：sinA=A 的对边斜边ac,cosA=A 的邻边斜边bc tanA=A 的对边A 的邻边ab,cotA=A 的邻边A 的对边ba 解直角三角形中常见类型： 已知一边一锐角已知两边解直角三角形的应用 第二十九章 投影与视图 291 投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影形成的投影叫做中心投影后空；先大后小；先画轮廓，后画细节。画每个 形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。 12