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1、位值原理望子成龙学校 All things in their being are good for something! 奥数专题二：数论综合 同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。 我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数
2、时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等。 用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9100+210+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：其中a可以是19中的数码，但不能是0，b和c是09中的数码。 下面，我们可以利用位值原则解决一些整数问题。 例1 证明：当ac时，abc-cba必是9的倍数。 结论：在例1中，因为abc与cba的数字顺序恰好相反，所以称cba为abc的反序数，当然 用同样的方法可以证明，互为反序数的两个数之差必然能被9整除。 abc也是cba的反序数。例如，必是
3、9的倍数。 练习：证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除。 1 望子成龙学校 All things in their being are good for something! 变式：将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802求原来的四位数 变式：ab与ba的差被9除，商等于_与_的差。 ab与ba的和被11除，商等于_与_的和。 例2 有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。 例3 a，b，c是19中的三个不同的数码，用它们组成的
4、六个没有重复数字的三位数之和是的多少倍？ 例4 用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？ 例5 一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。 2 望子成龙学校 All things in their being are good for something! 练习： 如果，那么=? 例6 将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。 例7 写出所有满足条件的下面条件的6位数:这个六位数的个位是6，如果将这个六位数增加6，他的数字和就减少为原来的数字和的1/6。 例8 如果一个自然
5、数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为99(99)99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。 例9 有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。 例10 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大7992，那么所有符合这样条件的四位数中，原数最大是。 3 望子成龙学校 All things in their being are good for something! 作 业 1. 某三位数是其各位数字之和的23倍，求这个三位数(答案：207) 2. 证明：如果三位数能被7整除，则也能被7整除。 3. 有A，B两个整数，A的各位数字之和为35，B的各位数字之和为26，两数相加时进位3次，那么的各位数字之和是多少？ 4. 有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970。求原来的两位数。 5 .一个两位数，各位数字的和的6倍比原数小9，求这个两位数。 4
