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1、余弦定理的多种证明方法余弦定理的多种证明方法 法一(平面几何)：在ABC中，已知AC=b,BC=a,及C，求c。 过A作ADBC于D，是ADACsinC=BCsinC， CD=ACcos=bcosc, B C A 在RtDABD中，AB2=AD2+BD2=(bsinc)2+(a-bcosc)2=a2+b2-2abcosc， 法二： ABAB=(AC+BC)(AC+BC)=AC2ACBC+BC=AC+2|AC|BC| cos(180-B)+BC=b2-2abcosB+a2，即：c2=a2+b2-2abcosc 2222法三：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于ABC的AC=b，CB=a
2、，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0) |AB|2=(acosCb)2+(asinC0)2 =a2cos2C2abcosC+b2+a2sin2C =a2+b22abcosC， 即c2=a2+b22abcosC 法四： 222先证明如下等式：sinA+sinB-sinC=2sinAsinBcosC 222证明：sinA+sinB-sinC 1-co2sA1-co2sB1-co2sC+-22211+co2sC=-(coo2sA+co2sB)+222()()=-cosA+BcosA-B+cosC =coCsco(sA-B)-co(sA+B)=2
3、sinAsinBcoCs=故式成立，再由正弦定理变形，得 Aa=2RsinB b=2Rsinc=2RsinC结合、(2)有 222a2+b2-c2=4R2sinA+sinB-sinC(2) ()=4R22sinAsinBcoCs=2abcoCs.222即 c=a+b-2abcosC. 222222同理可证 a=b+c-2bccosA；b=c+a-2cacosB. 法五: 如图，在三角形ABC中，A=，AB=a，BC=b，AC=c。现在以B为圆心，以长边AB为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆内。BC的延长线交圆B于点D和E 这样以来，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因为
4、AG=2acos，所以CG=2acos-c。根据相交弦定理有： DCCE=ACCG，带入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acos-c) 化简以后就得b2=a2+c2+2accos。也就是我们的余弦定理。 法六： 如图9，以ABC的三边为边长向外作三个正方形，说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证旋转而成)，进而可得；同理形面积等于两直角边上两正方形面积之和。 ，(最好是将交AB于K。据看作是，所以直角三角形斜边上的正方此处还有一个副产品：影定理。 等价于，无需用到相似，轻松可得射图9 图10 假若不是直角三角形呢？如图10，ABC的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，而且两两相等
5、，轻松可得余弦定理。 例1：证明余弦定理。 勾股定理只是对于直角三角形成立，很有必要将之推广到一般三角形的情形，这样在使用的时候才方便。在第一章中已经介绍了面积法证明余弦定理了，下面再介绍三种面积证法。 证明勾股定理主要用到平移，而证明余弦定理则可能需要用旋转。 余弦定理证明1：如图1，将ABC绕点B旋转一个较小角度；由面积关系得得到DBE，则 ，则，即， 即 ，化简得。 图1 图2 如果认为证法1较麻烦，也还有简单的证法。 余弦定理证明2：只要注意到马可得。 ，立余弦定理证明3：如图3，在ABC中，设三边长度为a，b，c，在AB边上取点E，使得在AB边上取点D，使得得 ；易得AECCDBACB， ；由；， 化简得。 图3
