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1、例谈等面积法在初数学解题中的应用例谈等面积法在初中数学解题中的应用 贵州省榕江县三江中学 潘光联 等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。在解题中，灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简捷。下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用： 一求三角形的高 例1.如图1所示，在ABC中，AB=10,BC=6,AC=8,求AB边上的高CD的长. 解：在ABC中， QBC2+AC2=62+82=100,AB2=102=100. B
2、C2+AC2=AB2. ABC是直角三角形. 利用三角形面积计算公式得, 11ACBC=ABCD. 22ACBC86=4.8 即QCD=AB10二求图形的面积 例2. 如图2所示，O的半径为3，OA=6,AB切O于B，弦BCOA，连接AC，则图中阴影部分的面积是多少？ 分析：连接OB、OC，将图中不规则的阴影部分的面积转化为扇形0BC的面积是解决此问题的切入点和关键. 解:连接OB、OC， 由BCOA知，OCB与ACB的边CB上的高相等. 故由等积性质可知,SDACB=SD0CB 1 易知，BOC=60. 所以S阴影=S扇形0CBo60p323=p. 3602o三.求三角形内切圆半径 例3.如
3、图3所示,已知O是ABC的内切圆，C=90，AC=4，BC=3. 求 O的半径. 解:设O的半径为r，连接0A、0B、OC、OE、OF、OG. O是ABC的内切圆， OGAB，OEBC，OFAC，且 OE=OF=OG=r. 在RtABC中，由勾股定理，得 AB=BC2+AC2=32+42=5. 于是由SDABC=SDABO+SDBCO+SDACO，得 1111ABr+BCr+ACr=BCAC. 2222即 (AB+BC+AC)r=BCAC. BCAC34=1. AB+BC+AC5+3+4四求函数的解析式 例4如图4所示，线段AB=8，直线m与o相切于点 D,且mAB，P是直线m上的一点,PB交
4、以AB为直径的圆于C,连结AC.设PB=x,AC=y,求y与x的函数关系式. 分析：因为AB是O的直径，所以ACBP，又因为把直线m与o相切于点 D,且mAB，所以DOAB,BP和AC看成三角形的底和高，于是很自然地连接AP、OD，利用同一个三角形的面积相等的性质，就可以得到x与y的关系. 解:连结AP， AB是O的直径， ACBP. 又直线m与o相切于点 D,且mAB， DOAB r= 2 即ABP的AB边上的高是4, 11BPAC=AB4,即xy=84. 2232y= (x4). x五.在探究规律题中的应用 例5.如图-5所示，将一个边长为1的正方形平均分成两个面积是形，又将一个面积为1矩
5、211矩形平均分成两个面积是的矩形，再将一个面积2411为的矩形平局分成两个面积是的矩形，如此进行分割下去，如果分割48n次后，按图中揭示的规律计算： 111111 +2+3+4+5+L+n 222222分析：分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积根,得 11111111124-1+=+=1-4=. 248162222324224于是利用这个规律就可以把问题解决. 12n-1111111. 解：+2+3+4+5+L+n=1-n=n22222222总之，等面积法是一种重要的数学解题思想方法。利用此法解决相关数学问题时，不但思路清晰、过程简捷，而且更能体现出知识间的相互联系，更有利于培养学生的数学思维能力，发展学生的数学能力。在数学解题教学中值得借鉴。 3
