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1、信号采样及零阶保持器82 信号的采样和复现的数学描述 一、 采样过程 所谓理想采样，就是把一个连续信号e(t)，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得 到一串脉冲序列信号e*(t)。可见在采样瞬时，e*(t)的脉冲强度等于相应瞬时e(t)的幅值，即e(0T),e(1T),e(2T),e(nT)，如图88所示。因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，如图89所示。采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列dT(t)作为幅值调制器的载波信号，dT(t)的数学表达式为 dT(t)=其中n=0,1,2, e(t)调幅后得到的信号，即采样信号e(t)为 *d(t-nT)n=- (81) e(t)=
2、e(t)dT(t)=e(t)*d(t-nT) n=- (82) 通常在控制系统中，假设当t0时，信号e(t)=0，因此 e(t)=e(0)d(t)+e(T)d(t-T)+e(2T)d(t-2T)+L *+e(nT)d(t-nT)+L (83) 或 e(t)=*e(nT)d(t-nT) n=0 (84) 式(84)为一无穷项和式，每一项中的d(t-nT)表示脉冲出现的时刻；而e(nT)代表这一时刻的脉冲强度。 式(82)或(84)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。然而，一个值得提出的问题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全部
3、信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。下面我们将从频率域着手研究这个问题。 假设连续信号e(t)的富氏变换式为E(jw)，采样后信号e*(t)的富氏变换式用E*(jw)表示，下面我二、 采样信号的频谱 们来看E*(jw)的具体表达式。 由于理想脉冲序列dT(t)是一个周期函数，其周期为T，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即 dT(t)=1Tn=-ejnwst其中ws=2pT为采样角频率。 *将式(85)的结果代入(82)式得 1Te(t)=e(t)dT(t)=e(t)en=-jnwst根据复位移定理；若Fe(t)=E(jw)，则 Fe(t)eat=E(jwma
4、) 因此，式(86)的富氏变换式为 Fe(t)=E(jw)=*1TE(jw-n=-jnws) (87) *假定连续信号e(t)的频谱如图810(a)所示，则根据式(87)可得采样(离散)信号e(t)的频谱如图810(b)所示。 由图810，可得到如下结论： (1)n=0的项为1TE(jw)，通常称为基本频谱。它正比于原连续信号e(t)的频谱。 (2) 同时派生出以ws为周期的，无限多个高频频谱分量1TE(jw-jnws)，其中n=1， 2,。h 以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。从富氏变换及其反变换的有关定理可知，在一定条件下，原函数e(t)与其富氏变换式E(jw)是一一对
5、应的，亦即由富氏变换式E(jw)可以唯一地还原成原函数e(t)。可以设想，如果让采样信号通过一个图811所示的理想滤波器，将所有派生出来的高频分量全部滤掉，而同时保留其基本频谱信号。那么经过这样处理后的信号，只要将其幅值放大T倍，就能完全重现原信号。 由图810不难看出，要想完全滤掉高频分量，筛选出基本频谱，从而根据采样信号e*(t)来复现采样前的连续信号e(t)，采样频率ws必须大于或等于连续信号e(t)频谱中最高频率wmax的两倍，即 ws2wmax (88) 这就是有名的香农(Shannon)采样定理。这一定理告诉我们，只要采样频率足够高，我们完全不必担心采样过程会损失任何信息。 由图8
6、10也可看出，若采样频率不够高，即ws2wmax时，则将会出现如图812所示的频谱重叠现象。很明显，这时，我们就无法再把基本频谱和派生高频频谱分开；从而，也就无法重现原信号，或者说，采样过程将损失信息。另外，需要指出的是，如图811所示的理想滤波器，实际上是不存在的。因此在工程上，通常采用性能与理想滤波器相近似的低通滤波器，其中最常用的低通滤波器就是零阶保持器。 零阶保持器的输入、输出关系如图813所示。因此，零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第三、 零阶保持器的数学模型 nT时刻的采样信号值一直保持到第(n+1)T时刻的前一瞬时，把第(n+1)T时刻的采样值一直保持到(n+2)T时刻，依
7、次类推，从而把一个脉冲序列e(t)变成一个连续的阶梯信号eh(t)。因为在每一个采*样区间内eh(t)的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器，可用“ZOH”来表示。 如果把阶梯信号eh(t)的中点连起来，则可以得到与e(t)形状一致而时间上迟后半个采样周期(T2) T2)，如图813中的虚线所示。由此也可初步估计到零阶保持器对于系统动态性能的影的响应曲线e(t-响。 为了求取零阶保持器(ZOH)的数字模型，可以从图813中任取一个采样周期来进行分析。零阶保持器的输入是脉冲函数，为了叙述方便，假设脉冲强度为1，即为单位脉冲函数，于是零阶保持器的输出就是单位脉冲过渡函数，该单位脉冲过渡
8、函数的拉氏变换式，即为零阶保持器的传递函数。 零阶保持器的单位脉冲过渡函数的图形是高度为1，宽度为T的矩形波，如图814(a)所示。为了求其拉氏变换式，可以把它分解成两个阶跃函数之和，如图814(b)所示。于是，脉冲过渡函数可表示为 y(t)=1(t)-1(t-T) 相应的拉氏变换式为 Y(s)=1s-1se-Ts=1-es-Ts这就是零阶保持器的传递函数，即 Gh(s)=1-es-Ts (89) 而零阶保持器的频率特性为 Gh(jw)=1-e-jwTjw=Tsin(wT2)wT2-wT2 其频率特性曲线如图815所示。与理想滤波器图811相比较，可见，两者都能起低通滤波作用。不过零阶保持器的频率特性不很理想。信号经过零阶保持器以后，其高频分量不能完全滤掉。此外，零阶保持器具有wT2的相角迟后。因此，零阶保持器的引入将会使系统的稳定性变差。 零阶保持器的一个优点是，可以近似地用无源网络来实现。如果将零阶保持器传递函数中的eTs项展开成幂级数，并取前两项，则有 Gh(s)=1-es-Ts=1111T 1-Ts1-=s1+TsTs+1es这是就图816所示RC网络的传递函数。
