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1、信号与系统练习题第一章 1.判断下列系统的线性、时不变性、因果性和记忆性。 dy(t)+10y(t)=f(t)dtdy(t)2+ty(t)=f(t)dt dy(t)+y(t)=f(t+10)dt y(t)=f(t+10)+f2(t)2.判断下列系统的线性、时不变性和因果性。 y(t)=y(t0)sint+at2f(t) y(t)=f(t)f(t-b) 3.某系统，当输入为由。 d(t-t)时，输出为h(t)=u(t-t)-u(t-3t)，问该系统是否为因果系统？是否为时不变系统？说明理4.下列信号属于功率信号的是 costu(t) e5. 画出函数波形图：6.已知-tu(t) te-tu(t)
2、 e-tf(t)=u(t2-1) f(t)=tu(t)-2u(t-1)+(2-t)u(t-2),画出f(t)波形。 f(-3+2t)的波形，画出f(t)波形。7.根据1.10图中8.已知1 f(t)波形波形如例1.11图所示，试画出f(-t-2)的波形。2 f(5-2t)的波形如图例1.12图所示，求f(t)波形。9.已知10.求下列函数值 0(t+6t+5t+2)d(t-1)dt ed(t)dt d(t2-9)dt -432t-3t+11.求信号x(n) =ej0.2np+e-j0.3np的周期。12.设x(t)是复指数信号：x(t)=ejW0t，其角频率为W0，基本周期为T0=2pW0。如
3、果离散时间序列是通过对x(t)以取样间隔Ts进行均匀取样的结果，即x(n)13.完成下列运算 =x(nTs)=ejW0nTs=ejw0n。试求出使x(n)为周期信号的条件。td-d(t-t)f(t-1)dt 0-(t-2)d(3)dt dtu(t)u(t-1) +t14.题1.26图示信号可以表示为 y(n)=Acos(2pFn+q)，求表达式中的常数。15.判断下列信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期N。 nnpnpj0.3pnx(n)=sin x(n)=2e-2cos+3ej0.4pn x(n)=(j)2 424 第二章 1.已知 f(1-2t)的波形图如图所示，求f(t)的波形图。
4、2.求u(t-1)*u(t-2)-u(t-3) 33.设系统方程为(p+1)4.设系统方程为5.若 (p+2)y(t)=(4p3+16p2+23p+13)f(t)，求其冲激响应。 y(t)-ly(t)=f(t)，输入信号f(t)=eetu(t),el,y(0-)=a，求系统的全响应。 y(t)=f(t)*h(t)，则f(2t)*h(2t)= 。6. 4-4 t2d(t-1)dt= 。某线性时不变系统的冲激响应如图所示，且 时间上的波形即可。 y(t)=f(t)*h(t)，若欲确定y(0)之值，则只需要知道f(t)在 1t+a2f(t)dt,g(t)的波形如图所示，求f(t)。7.已知g(t)=
5、 at-a28.已知： f1(t)*tu(t)f2(t)*et=(t-et-1)u(t) u(t)=(1-e-t)u(t)-(1-e-(t-1)u(t-1) 求f1(t)和f2(t)。 9.已知某系统y1(t)10.电路如图所示，t=f(t)*h(t)=e-t (t0) 求响应y2(t)=f(2t)*h(2t)。=0前开关位于1，且系统处于稳态，当t=0时开关从1到2，试写出i(t)及其一阶导数在0-,0+ 时刻的取值， i(0-)= ；i(0+)= ； i(0-)= ；i(0+)= 。11.已知某因果LTI系统：Y(s)= 当tF1(s)H1(s)+F2(s)H2(s) 0时有：f1(t)=
6、0 当输出f2(t)=(e-t+2e-2t)u(t)时，输出响应为(e-t+5e-2t)u(t)； 当输出f2(t)=(2e-t+e-2t)u(t)时，输出响应为(5e-t+e-2t)u(t)； =(e-t+e-2t)u(t)时，输出响应为(e-t+e-2t)u(t)； 当输出f2(t)当t0时，求当输出f2(t)=(e-t-e-2t)u(t)时，系统输入响应。 12.设一个线性时不变系统，当输入f1(t)时，输出为y1(t)，如图所示，已知现在输出为f2(t)，试求 f1(t)表示f2(t)？ 求出f2(t)引起的响应13.电路如图，已知激励信号电压v1(t)波形，求0y2(t) 求出该系统
7、的冲激响应和阶跃响应。 t1时电容两端电压v2(t)的全响应。 14.一电路系统如图所示，K1,K2均合上，其中L1=1H,L2=2H,R1=2W,R2=1W,is=3A 先断开K1，求i2(t)? 当达到稳态时，再断开K2，求i2(t)? 15.RC系统及其激励波形如图所示，在t析P32） 16.电路如图所示，t17.信号=1秒时测得电容上的电压为0V，如以电阻上电压为输入，求零状态响应和零输入响应。 f(t)=4cos20pt+2cos30pt的平均功率为 。18.已知一个LTI系统，当其输入出其波形。 19.某电路如图所示，其中Cf(t)=sintu(t)时，系统的零状态响应y(t)如图
8、所示，求此系统的单位冲激响应h(t)，并画1=2F,L=H,R=1W,电流源i(t)=d(t)，已知电容上的初始电压uc(0)=1V，电感上的初2始电流iL(0) =0A。试求电阻R两端电压的全响应。20.已知系统的输入x(t)和输出为常数。 y(t)之间的关系为dy(t)说明此系统是否为线性时不变记忆因果系统。+ay2(t)=bx(t)，a和bdt21.判断系统的因果性、动态性、线性和时不变性。22.系统的输入为x(t)，输出为y(t)-ty(t)=x(t) y(t)，考虑两个系统y(t)=x(at)和y(t)=x(t+a)。 a值。 求使得两个系统都成为因果性系统的a值。 求使得两个系统都
9、成为时不变系统的a值。 求使得两个系统都成为线性系统的23.已知某一LTI系统对激励e(t)的零状态响应rzs(t) 第三章 1.一信号处理过程：每当收到一个数据，就将此数据与前一步的处理结果平均。求这一信号处理过程的输入输出关系。 2.下列信号中那些不是周期的： A.cos(n =et-te(t-1)dt，求该系统的单位冲激响应。t-2p/2)cos(np/4) B.cos(n/8-p) C.sin(6p/7+1) D.cos(n2p/8) 3. 具有单位样值响应h(n)的LTI系统稳定的充要条件 。 x(k)的序列图。n4.已知x(n)如图所示，画出k=-5.计算卷积x1(n)=2nu(-
10、n),x2(n)=u(n)，求x1(n)*x2(n) 6.求序列q(n)，使得对于任何x(n)都有 q(n)*x(n)1=x(n)+x(n-1)+x(n-2) 3=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+L+x(1)+x(0) q(n)*x(n)dy(t)d2y(t)dy(t)=3，抽样间隔或步长7.已知二阶微分方程为，初始条件y(0)=0，+3+2y(t)=2x(t)2dtt=0dtdtT=0.1，试导出其差分方程。 8.已知 求：y(n)-y(n-1)-2y(n-2)=u(n)，y(0)=0，y(1)=1 y(n)的零输入响应yx(n)和零状态响应yf(n) 10.系统1是y(n)=0.5y
11、(n-1)+x(n)描述的低通滤波器，系统2由h2(n)=d(n)-0.5d(n-1)描述。 求串联系统对于输入x(n)求串联系统对于输入x(n)=2(0.5)nu(n)的输出。 =d(n)的输出。 =d(n)-d(n-1)，求描述y(n)和x(n)的差分方程。这两个系统有何关系？ 11.例2.51图中所示滤波器的冲激响应为h(n) 第四章 1.设图4.2.1所示的周期矩形脉冲信号中，E=1,T=112ps,t=s,求频带0, 2.求单位冲激信号 d(t)的频谱密度函数，并写出它的频域分解形式。3.求单位阶跃信号u(t)的频谱。 4.求信号f(t)=1的频谱。 2t f(t)频谱。5.求图4.
12、5.7所示信号的6.求F( w)=jpsgn(t)对应的时域信号f(t)。7.已知信号1，求f(t)。 f(t)的频谱F(w)=2(jw+1)(jw+2)1，w0为一实数，求f(t)。 f(t)的频谱为F(w)=pd(w-w0)+j(w-w0)8.已知信号9.已知y(t)*d y(t)=(1-t)e-tu(t),求y(t)。dt10.证明图4.9.2所示的示波器输入衰减器是无失真传输系统，其中RC1111.已知=R2C2 f(t)的波形如图所示，试求其傅里叶级数表达式 12.试求信号e-at，使得在w以下所有频率分量的能量贡献为信号总能量的95%。 u(t)的能量，并确定频率w1,w100p1
13、3.已连续时间理想低通滤波器S，其频率响应是H(jw)=，当基波周期T=，其傅里叶级数系数为an的信60,w100号 f(t)输入到滤波器时，滤波器的输出为y(t)，并且y(t)=f(t)。问：对于什么样的n值，才能保证an=0。14. 试求下列函数的傅里叶变换表达式 f(t)sinwf(t)=2 0tt-f2(t-1)dt 15.设信号1，求其傅里叶变换F(jw) 22a+t f(t)的傅里叶变换为F(jw)，并有lnF(jw)=-w,又已知f(t)为实奇函数，求f(t)。16.某连续时间函数17.已知频谱F(jw)如下，求信号f(t)：F(jw)=n=-Gww-n(w2cc+1) 18.求
14、下列图示函数的傅里叶反变换。图C 19.图为一“信号采样及恢复”的原理线路，f(t)、y(t)为模拟信号，F1、F2为滤波器，K为理想冲激采样器。采样时间间隔为1毫秒。今要在下面提供的5种滤波器中选两只，分别作为F，使输出尽量恢复原信号。该如何选择？申1及F2述理由。 高通滤波器fc低通滤波器fc=2kHz；低通滤波器fc=2kHz；低通滤波器fc=1kHz(t)；低通滤波器fc=0.5kHz =0.2kHz，这里fc为截止频率。20.已知信号f1(t)和f2(t)都存在傅里叶变换，若将这两信号分别通过宽带D21.若有实信号n为整数时，有f1(2npnp)=f2，而其他时间内，f1(t)f2(
15、t)，20002000w=2000弧度/秒的理想低通滤波器，问此二信号失真否，为什么？ 1f(t)=sin(npt),现用一个周期冲激串dT(t)对f(t)进行采样，采样周期n=022f(t)可用表达式表示为T=0.5秒，试问： 采样结果会发生混叠？说明理由。 若采样信号通过一个截止频率为pT，通带增益为T的理想低通滤波器，求输出信号 y(t)的表达式。22.已知连续信号图所示。 f(t)的频谱为F(jw)。若f(t)被宽度为t的矩形脉冲序列p(t)以间隔Ts平顶抽样，抽样后信号fs(t)波形如试求fs(t)的频谱 为了从fs(t)无失真的恢复出f(t)，问需要满足哪些条件？ 23.沃尔什函数
16、集的头5个函数0(t),1(t),2(t),3(t),4(t)如例3.1图所示。在区间0ffffft1上fi(t)是归一化正交的。若设(t)=aifi(t)从而使误差函数最小。 x(t)=sinpt，求x(t)得近似值xi=0424.求 fp(t)=3+cos4pt-2sin20pt的三角函数形式的傅里叶级数的系数。 f(t)的双边频谱如例3.3图所示，写出其傅里叶级数，并计算其总功率及均方根植。25.已知信号26.假设一个连续时间LTI系统的输入信号x(t)是周期的，其傅里叶级数表达式为x(t)=n=-anejnt4p式中a是一个0到1之必须1wW间的实数，且系统的频率响应为H(w)=，为使
17、系统的输出在x(t)的每个周期内至少90%的平均功率，W0wW多大？ 27.已知 f(t)的傅里叶变换为F(w)，若y(t)=(t-3)f(6-3t)dt，求y(t)的傅里叶变换Y(w)。-t28.若f(t)的傅里叶变换为F(w)，f(t)=df(t),f(t)F(w)，试证明 dtF(w)=F(w) +f()+f(-)pd(w) ，其中f(),f(-)为有限值。jw f(t)的傅里叶变换F(w)。29.求例3.15图所示信号30.求下列频谱的傅里叶逆变换。 F(w)=1w2 信号f(t)的幅频特性和相频特性见例3.17图 431.已知LTI系统的频率响应为H(w)=，且输入e(t)=3sin
18、2t，求稳态响应rss(t)。 2+jwsin(2pt)32.已知信号x(t)的频谱Xn，将其通过例3.22图所示系统，h(t)=pt号 y(t)。2，请画出g(t)波形图及其频谱图，并求输出信33. 例3.23图所示系统，已知输入1w3，求该系统f(t)的频谱函数如例3.22图所示，滤波器的频率响应H(w)=0w0的输出 y(t)。34.例3.24图所示为一个幅度调制系统，该系统由以下两部分组成：先把调制信号与载波之和平方，然后通过带通滤波器获得已调信号，若g(t)是带限信号，即和试确定带通滤波器的参量A,w1,wh,使得f(t)=g(t)coswct,，并给出wcwwm时，G(w)=0。
19、wm的约束。 f(t)为一有限频宽信号，频带宽度为BHz，试求f(2t)和f(t/2)的奈奎斯特抽样频率和抽样间隔。35.设第六章 1.求 f(t)=t2u(t)的拉氏变换。2.求F(s)=1-st0 (1-e)的拉氏变换。3s1s+a223.求F(s)的拉氏变换。 4.电路如图6.5.6所示，uc(t)和响应，是确定系统的初始状态i(0求系统的单位冲激响应；为使系统的零输入响应等于单位冲激f(t)分别为输出和输入电压。- )和uc(0-)。s2-s+15.F，恢复一个正边时间函数。 1(s)=2(s+1)6.已知系统微分方程为-t起始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号f(t)=eu(t
20、),试求系y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)，统的全响应，并指出其中的零输入响应，零状态响应，自由响应和受迫响应。 7.已知一因果线性时不变系统的冲激响应h(t)满足微分方程h2t(t)+2h(t)=e-4tu(t)+bu(t)，b为未知数，当该系统的输入f(t)=e时，输出1。 y(t)=e2t,试求该系统的系统函数H(s)6 f(t)=2e-2tu(t)。8.电路如下图示，试用复频域分析法，求电容电压uc(t)，并指明自由响应和强迫响应，已知9.一电路系统如图所示，K1、K2均合上，其中L1。 =1H,L2=2H,R1=2W,R2=1W,is=3A先断开K1，求i2(t)； 当达稳态
21、后，再断开K2，求i2(t)。 10.电路如下图示，f1(t) =u(t),f2(t)=d(t),u1(0-)=u1(0-)=0。求u1(),u2(),i1(),i2(0+)。11.求下列函数的单边拉氏变换 f(t)=(t+1)u(t+1) f(t)=Asinptu(t)-u(t-1) 0t1tf(t)=2-t1t2 0其他12.用多种方法求例4.4图所示三角脉冲函数f(t)的拉氏变换。13.已知信号的拉氏变换如下，求原始信号的初值与终值 1s2+2s+1s3+s2+2s+1F(s)= F(s)= F(s)= s(s+1)(s-1)(s+2)(s+3)(s+1)(s+2)(s+3)14.求下列
22、函数的拉氏逆变换 s-15s+13s3+5s2+9s+7F(s)= F(s)=ln X(s)= 22ss(s+4s+13)s+3s+215.例4.14图所示电路，当t0时的i(t)。 16.设线性时不变系统在零状态下，当输入为x(t)时，输出为 17.一y(t)，如例4.21图所示。试确定该系统的阶跃响应g(t)，并画出波形图。LTI连续系统，当输入为f1(t)时零状态响应为yZS1(t)。f1(t)和yZS1(t)的图形如例4.22图所示。若输入1 f2(t)=u(t)+u(t-1)时，求系统零状态响应yZS2(t)。2d2y(t)dy(t)18.设一个连续时间LTI系统的微分方程为-2y(
23、t)=x(t) 2dtdt求H(s)，并画出H(s)的零极点图 确定下列三种情况相应的h(t)： i系统是稳定的 ii系统是因果的 iii系统既不是稳定的，也不是因果的。 19.一个冲激响应为h(t)的因果LTI系统具有下列特性： 12t-ta的Z变换。 2.求序列y(n)=k=- x(k)的Z变换。n3.有两序列分别为：x1(n) 求x(n)=anu(n),x2(n)=bnu(n),且a1,b1, =(apnkb)u(n)的Z变换机器收敛域； k=0n11求值：。 -p(1-aejw)(1-bejw)dw=?z3+7z2+z+24.某线性时不变系统的系统函数为H(z)=，试指出H(z)所有可
24、能的收敛域，分别求出此系统在不同收敛域时32z-2.5z+z的单位取样响应，并一一判别出系统的稳定性。 5.已知一线性时不变系统，用差分方程描述y(n+1)+3y(n)-y(n-1)=f(n) 2若系统是稳定的，求系统对f(n)=u(n)的响应。 若系统的转移函数H(z)的收敛域包含析P160） 6.输入z=，系统的输入信号f(n)如图所示，求n=2时刻，输出响应y(n)n=2=? a 若对于所有n，f(n)=1，试确定y(n)。ii若对于所有试确定常数7.序列f(n)通过一个单位脉冲响应为g(n)的LTI，产生的输出为v(n)，将v(n)反转成v(-n)，让v(-n)再通过一个同样的y(n)
25、=w(-n)。其处理过程如图所示，现在欲构造一个系统h(n)，使系统，产生输出w(n)，再将w(n)发反转即成最终的输出之能一次完成上述三个处理过程。 如何确定h(n)，使得y(n)=f(n)*h(n)，求出相应的系统函数H(z)，使Y(z)=F(z)H(z)； 如果g(n)代表一个稳定因果的滤波器，那么h(n)所代表的系统是否稳定？是否因果？ 8.某一线性时不变系统输入为s(n)，输出为x(n)，该差分方程为x(n)求系统函数H1(z)=s(n)-e-8as(n-8),0a1 =X(z)/S(z) =Y(z)/X(z)，使得y(n)=s(n)，对H2(z)求我们要用一个线性时不变系统从x(n
26、)中恢复s(n)，求系统函数H2(z)出所有可能的收敛域；并对每个收敛域说出该系统是否因果与稳定。 对冲激响应h2(n)，求出可能的选择，使9. 已知一离散系统框图如下. y(n)=h2(n)*x(n)=s(n) 系统函数H(z) 使系统稳定的K值范围 临界稳定时的单位样值响应h(n) 10.已知一系统框图如右图，其中3 m为一个常数。如果m=1，对于所有n，f(n)=2，求出y(n)。211.有一系统如下图示，其中，h1(n)或H1(W)已知。 求整个系统的频率响应H(W)，系统函数H(z)和单位脉冲响应h(n)。 若H1(W)为图，请画出频率响应H(W) 12.如果H(z)是一个数字低通滤
27、波器的传输函数，那么H(-z)代表一个什么类型的滤波器？H(z器？请绘出它们的频率特性示意图。 13.利用Z变换性质求下列序列的Z变换。 x(n)2)又代表一个什么类型的滤波=(-n-2)u(-n) x(n)=n-2u(n) y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)，且14.描述某离散系统的差分方程为y(0)=0y,(1)=。设激励 x(n)=2nu(n)，求响应序列y(n)，并指出零输入响应予零状态响应。15.已知离散时间系统的框图如例5.16图所示，求该系统的系统函数，并画出系统频率响应的特征曲线。 16.已知系统函数H(z)z=z-k写出对应的差分方程 画出该系统的结构图 求系
28、统的频率响应，并画出k =0,0.5,1,-0.5四种情况下系统的幅度响应和相位响应。17.假定一个带限信号xc(t)以大于奈奎斯特速率进行抽样，抽样周期为T。然后将样本转换成序列x(n)，见例5.19图。确定信号的能量Ed，原始信号的能量Ec和抽样间隔T关系。 第九章 1.给出电路如图9.3.1所示，建立它的状态方程。 2. 给出电路如图9.3.2所示，建立它的状态方程。 &+2&-3y&3.给出系统的微分方程&yy&+8&+10f+6y=3&ff&-3f，将其转化为状态方程。 &1+y&2=f1y4.两输入两输出系统由下面微分方程描述，将其转化成状态方程。&2+y&1+y&2+y1=f2y
29、&5.给出级联形式的信号流图9.3.4所示，试求它的状态方程。 6.某连续LTI系统是因果、稳定的。其系统函数的零、极点分布如图所示。已知当输入信号x(t)=cost时，系统输出的直流分量为5p。 确定该系统的系统函数H(s) 当输入信号x(t) =1时，求系统的输出y(t)。(s-1)27.如果H(s)=，试求一极点在s左半平面的三阶系统函数H1(s)和H2(s)，使它们满足： 2(s+1)(s+2)+1和H( jw)幅频特性相同，但相频特性不同 和H(jw)相频特性相同，但幅频特性不同。8.系统得信号流图如图所示，求系统函数。 9.已知级联形式的信号流图如图所示，求系统函数H(s)=Y(s
30、)，并画出其并联形式直联形式的信号流图。 F(s)10.图示电路，其中N0为线性无源网络，R为可变电阻，激励u(t)为单位阶跃电压。已知当R=1W时，i(t)的阶跃响应i0(t)=(e-t-2e-2t+e-4t)u(t)，且当R=R1时，i(t)的阶跃响应i1(t)中含有固有频率-2响应i1(t)。 11.已知图所示是系统。 求h(t)与H(s)；求H(激励的分量。试求R=R1时的阶跃jw)，H(jw)，j(w)，并画出幅频与相频特性曲线； f(t)=u(t)-u(t-T)，求零状态响应y(t)，并画出其波形； fs(t)=f(nT)d(t-nT)，f(t)的波形如图中虚线所示，其中T为奈奎斯
31、特抽样间隔，f(nT)为t=nT点n=0+若激励为上 f(t)的样值，求响应y(t)。12.一个有差分方程表征的因果LTI系统的零极点如图所示。已知它对试求系统对(cosnp的响应为cosnp 12 )u(n)的响应 写出状态方程和输出方程。213.已知某系统的微分方程为y(t)+2y(t)+y(t)+2y(t)=f(t)+3f(t) 画出该系统的信号流图 试建立该系统的状态方程与输出方程 试说明系统是否为稳定系统？说明理由。 14.已知某系统的状态方程与输出方程为： x2(n+1)1-2x1(n)1x1(n)x(n+1)=abx(n)+0f(n) y(n)=11x(n) 222 f(n)=0
32、，及y(n)=8(-1)n-5(-2)n，求常数a,b。当n0时010At15.已知A=001，试计算矩阵指数e。 01016.已知离散系统的系统矩阵A，求f(k)=Ak。 0-10010.500-0.30 A= A=A=0.50.53200.4017.某连续系统的状态方程为： &1(t)=-4x1(t)+x2(t)+f(t)x 输出方程为y(t)=x1(t) &2(t)=-3x1(t)+f(t)x根据状态方程求系统的微分方程。 系统在11-t5-3tf(t)=u(t)作用下，输出响应为y(t)=(+e-e)u(t)，求系统的起始状态x(0-) 32618.图示模拟系统，取积分器输出为状态变量
33、，并分别设为x1(t)和x2(t)。 求系统状态方程和输出方程 系统在起始状态不为零(x1(0-)0,x2(0-)0)的情况下，系统对单位阶跃输出信号f(t)=u(t)的完全响应为：x1(t)4e-t-2e-t-1 u(t)，求图中各参数a,b,c及系统的冲激响应h(t)。x(t)=-t-t28e-2e-419.某连续系统的框图如例2.10图所示，写出该系统的微分方程。 20. 求例6.1图信号流图所示系统的转移函数。 21. 已知例6.8图所示系统。 列出系统状态方程和输出方程 求系统的微分方程 已知e(t)115=u(t)时的全响应r(t)=+e-t-e-3tt0，求系统的零输入响应rzi(t)与起始状态l(0-)。 326
