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1、信号与系统 刘树棠 第二 中文答案 第2章Chapter 3 3.1 有一实值连续时间周期信号x(t)，其基波周期T=8,x(t)的非零傅立叶级数系数是 *a1=a-1=2,a3=a-3=4j 试将x(t)表示成如下形式 x(t)=Akcos(wk+fk) k=0解x(t)=：2ejpt4+2e-jpt4+4jepj34t-4jep-j34tpppp3pt=2cos(t)+jsin(t)+2cos(t)-jsin(t)+4jcos+jsin444443pt3pt-4jcos-jsin443pt3pt=4cos-8sin443pt3ptp=4cos+8cos(+)4423.3 对下面连续时间周期
2、信号 x(t)=2+cos(2pt5pt)+4sin 33w0和傅立叶级数系数ak，以表示成求基波频率x(t)=k=-aejkw0t 解：pptptpt1jp4j53pt1j231-j23ptt-jpt-j53tj53-j5333x(t)=2+e+e+e-e=2+e+e-2je+2je22j22w0=p3,a0=2,a2=a-2=1,a5=a*-5=-2j 23.15 考虑一连续时间理想低通滤波器S，其频率响应是 H(jw)=ww1,|1000,|100当该滤波器的输入是基波周期T=p x(t) 6和傅立叶级数系数ak的信号x(t)时，发现有 s y(t)=x(t) 试问对于什么样的k值，才保
3、证ak0？ 解：y(t)=x(t),所以在信号的频率都落在滤波器的频带范围内。因为T/6，所以012。其各次谐波频率|k0|100/12时ak=0,因为取整数所以为|k|8 3.19 有图所示的RL电路实现的因果LTI系统，电流源输出电流为输入x(t)，系统的输出是是流经电感线圈的电流y(t). (a) 求关联x(t)和y(t)的微分方程。 求系统对输入为x(t)=e(c) 若x(t)=cos(t),求输出y(t). jwt的系统频率响应。 x(t) y(t) 1H 1WL解：y(t)=x(t)-dy(t)dt=x(t)-y(t) R1=1+jw由上式可得:Y(jw)=X(jw)-jwY(jw
4、)(b) H(jw)=Y(jw)X(jw)(c) 代入得：y(t)=x(t)-y(t)=cos(t)-sin(t)=cos(t)+sin(t)=3.22 求下面信号的傅立叶级数表示： figure (d) 12cos(t-p4) 解：x(t)=k=-d(t-2k)-2d(t-2k+1) k=-ak=21111-jkpt-jkpt-jkpk d(t)edt-d(t-1)edt=-e=-(-1)-10222(b) x(t)的周期为2，且为 x(t)=e-t,-1t1 解:T=2,w0=p,则 11-t-jkpt1(-1)k1(1+jkp)-(1+jkp)ak=eedt=e-e=(e-) 2-12(
5、1+jkp)2(1+jkp)e(-1)k(e2-1)jkptx(t)=e 2e(1+jkp)k=-3.33 考虑一个因果的连续时间LTI系统，其输入x(t)和输出y(t)由下面微分方程所关联： dy(t)+4y(t)=x(t) dt在下面两种输入下，求输出y(t)的傅立叶级数表示： (a) x(t)=cos(2pt), (b) x(t)=sin4pt+cos(6pt+p/4) 解：由微分方程可得： H(jw)=14+jwx(t)=cos(2pt)= 1j2pt1(e+e-j2pt) w0=2p,a1=a-1=其余ak=0 2211其余bk=0 b1=b*-1=a1H(j2p)=24+j2py(
6、t)=11ej2p+e-j2p 8+j4p8-j4p (b)x(t)=sin4pt+cos(6pt+p/4)=1j4pt1(e-e-j4pt)+ej(6pt+p/4)+e-j(6pt+p/4) 2j211jp/4*,a3=a-=e其余ak=0 32j2*取w0=2p,则有a2=a-2=y(t)=a2H(j4p)ej4pt+a-2H(-j4p)+a3H(j6p)ej6pt+a-3H(-j6p)e-j6pt =11111111ej4pt+(-)e-j4pt+ejp/4ej6pt+e-jp/4e-j6pt2j4+j4p2j4-j4p24+j6pt24-j6pt=1111ej4pt-e-j4pt+ej
7、(6pt+p/4)+e-j(6pt+p/4) 8j-8p8j+8p8+12jpt8-12jpt3.36 考虑一因果离散时间LTI系统，其输入xn和输出yn由下面差分方程所关联： yn-1yn-1=xn 4在下面两种输入下，求输出yn得傅立叶级数表示： (a) xn=sin(3pn) 4(b) xn=cos(n)+2cos(n) pp42解：由差分方程可得系统函数 H(jw)=14 =1-jw4-e-jw1-e4p3p1j34pn-j34n(a) xn=sin(n)=(e-e) 42j取w0=p4*,则a3=a-3=1142*b3=b-= 3-j3p/4-j3p/42j2j4-e4j-je24j-jej3p/4e-j3p/4 yn=24j-je-3jp/4ej3p/4-(b) xn=cos(n)+2cos(n)=pp421jnp/4(e+e-jnp/4)+(ejnp/2+e-jnp/2) 2w0=p4*,a1=a-1=1*,a2=a-2=1 2yn=a1H(e-jp/4)ejp/4+a-1H(ejp/4)e-jp/4+a2H(e-jp/2)ejp/2+a-2H(ejp/2)e-jp/2=24-e-jp4ejp4+24-ejp4e-jp4+44j- 4+j4-j
