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1、值域的求法典型习题及解析值域的求法习题 一解答题 1已知函数 2已知函数f=x2bx+3，且f=f 求函数y=f的零点，写出满足条件f0的x的集合； 求函数y=f在区间y=3x2x+2； 5求下列函数的值域 6求函数的值域：y=|x1|+|x+4| 7求下列函数的值域 y=x2+x+2； y=32x，x2，9；y=x22x3，xy= 8已知函数f=22x+2x+1+3，求f的值域 9已知f的值域为 10设 1 的值域为1，4，求a、b的值 ，求y=的值域 ； ； x0，3且x1； ； ； ； ； 的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求AB和 参考答案与试题解析 一解答题 1已知函数的定义域为
2、集合A，函数的值域为集合B，求AB和 考点： 函数的值域；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法。1457182 专题： 计算题。 分析： 由解答： 可求A，由可求B可求 解：由题意可得 A=2，+）， B=，CRA=，CRB=AB=2，+） = 点评： 本题主要考查了函数的定义域及指数函数的值域的求解，集合的交集、补集的基本运算，属于基础试题 2已知函数f=x2bx+3，且f=f 求函数y=f的零点，写出满足条件f0的x的集合； 求函数y=f在区间从f=f可得函数图象关于直线x=2对称，用公式可以求出b=4，代入函数表达式，解一元二次不等式即可求出满足条件f0的x的集合； 在的基础上，
3、利用函数的单调性可以得出函数在区间因为f=f，所以图象的对称轴为x=2， b=4，函数表达式为f=x24x+3， 解f=0，得x1=1，x2=3，因此函数的零点为：1和3 满足条件f0的x的集合为 f=21，在区间上为增函数，在区间上为减函数 所以函数在x=2时，有最小值为1，最大值小于f=3 因而函数在区间 点评： 本题主要考查二次函数解析式中系数与对称轴的关系、二次函数的单调性与值域问题，属于中档题只要掌握了对称轴公式，利用函数的图象即可得出正确答案 3求函数的值域：考点： 函数的值域。1457182 专题： 计算题；转化思想；判别式法。 分析： 由于对任意一个实数y，它在函数f的值域内的
4、充要条件是关于x的方程x2+x+y2=0有实数解，因此“求f的值域”这一问题可转化为“已知关于x的方程x2+x+y2=0有实数解，求y的取值范围” 解答： 解：判别式法：x2+x+10恒成立，函数的定义域为R 2 由得：x2+x+y2=0 当y2=0即y=2时，即3x+0=0，x=0R 当y20即y2时， xR时方程x2+x+y2=0恒有实根， =2420，1y5且y2， 原函数的值域为1，5 点评： 判别式法：把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式，令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论： 当二次项系数为0时，将对应的y值代入方程中进行检验以判断y的这个
5、取值是否符合x有实数解的要求 当二次项系数不为0时，利用“xR，0”求解，此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形 4求下列函数的值域： y=3x2x+2； ； 考点： 函数的值域。1457182 专题： 常规题型。 分析： y=3x2x+2=32+，再配方法求得的范围，可得，再利用反比例函数求解 的范围 看作是复合函数先设=x26x5，则原函数可化为y=可用分离变量法：将函数变形，y=用换元法设t=3+0，则x=1t2，原函数可化为y=1t2+4t，再用配方法求解 由1x201x1，可用三角换元法：设x=cos，0，将函数转化为y=cos+sin=数
6、求解 由x2+x+10恒成立， sin用三角函即函数的定义域为R，用判别式法，将函数转化为二次方程x2+x+y2=0有根求解 解答： 解：y=3x2x+2=32+求复合函数的值域： 设=x26x5，则原函数可化为y=又=x26x5=2+44， 04，故y=分离变量法：y=0，2， 的值域为0，2 =3+，0，3+3， ，y=3x2x+2的值域为，+） 3 函数y=的值域为yR|y3 0，则x=1t2， 换元法：设t=原函数可化为y=1t2+4t=2+5，y5， 原函数值域为三角换元法： 1x201x1， 设x=cos，0， 则y=cos+sin=sin 型值域， 或y=ax2+b+0，+， ，
7、sin，1，sin1， 原函数的值域为1，函数的定义域为R 由y=判别式法：x2+x+10恒成立， 得：x2+x+y2=0 当y2=0即y=2时，即3x+0=0， x=0R 当y20即y2时， xR时方程x2+x+y2=0恒有实根， =2420， 1y5且y2， 原函数的值域为1，5 点评： 本题主要考查求函数值域的一些常用的方法配方法，分离变量法，三角换元法，代数换元法，判别式法 5求下列函数的值域 ； ； x0，3且x1； 考点： 函数的值域。1457182 分析： 把函数转化成关于tanx的函数，进而求值域 令因为1x20，即1x1，故可x=sinx，把函数转化成三角函数，利用三角函数的
8、性质求函数的最值 4 把原式变成2+，设t=，通过幂函数t的图象即可求出t的值域，进而求出函数y=的值域 令t=x4，即x=t+4代入原函数得出y关于t的函数，进而求出答案 解答： 解：= =1+=5+函数 +4tanx+4 +4tan2x2+59 的值域为9，+） 令x=sin， sin =sincos= y=令t=，1 sin1， 的值域为=2+ ，则其函数图象如下 如图可知函数在区间0，1）单调减，在区间 y 即函数y=的值域为 设t=x4，x=4+t 则=|+2|0 2| t=x40 5 y=y0，4 即函数的值域为0，4 点评： 本题主要考查求函数的值域问题此类题常用换元、配方、数形
9、结合等方法 6求函数的值域：y=|x1|+|x+4| 考点： 函数的值域。1457182 专题： 计算题；分类讨论。 分析： 由函数表达式知，y0，无最大值，去掉绝对值，把函数写成分段函数的形式，在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域 解答： 解：数形结合法：y=|x1|+|x+4|=y5， 函数值域为5，+） 点评： 本题体现数形结合和分类讨论的数学思想方法 7求下列函数的值域 y=x2+x+2； y=32x，x2，9； y=x22x3，xy= 考点： 函数的值域。1457182 专题： 计算题。 分析： 求二次函数y=x2+x+2的值域可先求最值，由最值结合图象，写出值域
10、求一次函数y=32x在闭区间上的值域，要先求最值，由最值写出值域 求二次函数y=x22x3在某一区间上的值域，要结合图象，求出最值，再写出值域 6 求分段函数y的值域，要在每一段上求出值域，再取其并集，得出分段函数的值域 解答： 解：二次函数y=x2+x+2； 其图象开口向下，对称轴x=，当x=时y有最大值； 故函数y的值域为：； 一次函数y=32x，x2，9；单调递减， 在x=2时，y有最大值7；在x=9时， y有最小值15； 故函数y的值域为：15，7； 二次函数y=x22x3，x； 分段函数y=； 当x6时，y=x104； 当2x6时，y=82x， 4y12； 所以函数y的值域为：4，+
11、） 点评： 本组4个题目求函数的值域，都是在其定义域上先求其最值，根据最值，直接写出其值域；它们都是基础题 8已知函数f=22x+2x+1+3，求f的值域 考点： 函数的值域。1457182 分析： 注意利用22x=2这个式子，很容易把这个看似不识的函数转化为我们再熟悉不过的二次函数 解答： 解：令t=2x，则t0，f=2+22x+3=t2+2t+3， 令g=t2+2t+3， 则g在1，+）上单调递增， 故f=gg=3， 故f的值域为 点评： 二次函数求最值是我们再熟悉不过的函数了，问题的关键是能否把我们不熟悉的函数转化为我们熟悉的二次函数而且采用换元法转化函数的时候，一定要注意换元后变量的范
12、围 9已知f的值域为 考点： 函数的值域。1457182 专题： 计算题。 分析： 根据f的值域，应用不等式的性质先求出被开方数的取值范围，进而求得y的值域 解答： 解；f， 2f， ，求y=的值域 7 12f y y的值域为：， 点评： 本题考查不等式的性质 10设 考点： 函数的值域。1457182 分析： 由题意f的定义域为R，可利用判别式法求值域的技巧求参数的值 解答： 解：令y=即yx2ax+2yb=0， 的值域为1，4，求a、b的值 当y=0时，有x=R，此时，a，b是任意的 当y0时，有，方程有根，可得=a24y0即8y24bya20，又函数的值域是y1，4， 所以1和4是方程8y24bya2=0的两根，由韦达定理得a=4综上得a=4，b=6即所求 点评： 本题考查函数的值域问题，属基本题 ，b=6 8
