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1、光学答案第二章第二章 光的衍射 1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第个带的半径。若极点到 观察点的距离 r0 为 1m，单色光波长为 450nm，求此时第一半波带的半径。 r= rk + r解： k 2 2 20 lrk = r + k 0 2 而 k lr2 + r2 - r = k 0 0 2 klr - r = k 0 2 将上式两边平方，得 k 2 l r2 + r2 = r2 + kr l + k 0 0 0 4 k2 l 2 项，则 r k = kr0l 略去 将 k = 1, r0 = 100cm, l = 4500 10 -8 cm 带入上式，得 r =
2、0.067cm 2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样 改变大小。问：小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心 4m 的 P 点的光强分别得到极大值和极小值；P 点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的 波长为 500nm。 解 ：根据上题结论 将r k = kr0 r r0 = 400cm, l = 5 10-5 cm 代入，得 r = 400 5 10 -5 k = 0.1414 kcm k 当 k 为奇数时，P 点为极大值； k 为偶数时，P 点为极小值。 P 点最亮时，小孔的直径为 2r1 = 2 r0l = 0.2828cm
3、3波长为 500nm 的单色点光源离光阑 1m，光阑上有一个内外半径分别为 0.5mm 和 1mm 的透光圆环，接收点 P 离光阑 1m，求 P 点的光强 I 与没有光阑时的光强度 I之比。 = 0.5mm r= R R = 1mm l = 500nm hk1 hk2 解：根据题意 R = 1m 0 1m 2 (R+ r) 2 1 RR1 h h 0 k = = + lr R l r R 有光阑时，由公式 0 15 kR hk2 1 l 1 1 0.5 2 1 1 1 得 = r+ = + 1000 = 1 0 R 500 10 -6 1000 k R 2 2 = 1 + 1 = 1 2 1
4、1 hk2l r R 500 10-6 1000 + 1000 = 4 按圆孔里面套一个小圆屏幕 a p = 1 2 (a 1 1 1 1 1 + a 3 ) - 2 a 1 + 2 a 2 = 2 a 2 + 2 a 3 = a1 没有光阑时 a = a 12 0 I = a p 2 2 a 1 = 4 所以 I = 0 a 0 a1 / 2 4波长为 632.8nm 的平行光射向直径为 2.76mm 的圆孔，与孔相距 1m 处放一屏。试问：屏上正对圆孔中心的 P 点是亮点还是暗点？要使 P 点变成与相反的情况，少要把屏幕分别向前或向后移动多少？ 解 ：P 点的亮暗取决于圆孔中包含的波代数是
5、奇数还是偶数.当平行光如射时, 波带数为 2 d 2 k = r = ( 2 ) 1.38 2 lr = 0 lr 632.8 10 -6 103= 3 0 故P 点为亮点. (2) 当P 点向前移向圆孔时,相应的波带数增加;波带数增大到 4 时, P 点变成 暗点,此时, P 点至圆孔的距离为 r 0 = r kl 2 = 1.38 2 4 632.8 10 -6mm = 750mm 则P 点移动的距离为 Dr = r0 - r = 100cm - 75cm = 25cm 当P 点向后移离圆孔时,波带数减少,减少为 2 时, P 点也变成暗点。 与此对应的P 到圆孔的距离为 16 至 1.3
6、8 2 r2 r = = mm = 1500mm -60 kl 2 632.8 10 则P 点移动的距离为 Dr = r0 - r0 = 150cm - 100cm = 50cm .一波带片由五个半波带组成.第一波带片为半径 r1 的不透明圆盘,第二半波带是半径 r1 至 r2 的透明圆环,第三半波带是 r2 至 r3 的不透明圆环,第四半波带是 r3 至 r4 的透明圆环,第五 半波带是 r4 至无穷大的不透明区域,已知 r1:r2：r3:r4=1: 2 : 3 : 4 ,用波长 500nm 的平行单色 光照明,最亮的像点在距波带片 1m 的轴上.试求:(1) r1; (2) 像点的光强;
7、(3) 光强极大值出现 在轴上哪些位置上. r1 不 透 光 ; K 2 = 2, r1至r2 透 解 ： 因 为 5 个 半 波 带 组 成 的 半 波 带 片 上 , K1 = 1, 光; K3 = 3, r2 至r3 不透光; K4 = 4, r3 至r4 透光; K5 = 5, r4 至无穷大不透r1 : r2 : r3 : rr = 1 : 2 : 3 : 4 第一条最亮的像点在单色平行光l = 500nm r0 = 1m = 1000mm f = r的轴上,即 1 0 R0 = 3 mm = 10 2 2 h r Rf = r = = 0 1 kl 1 l (1) r = r kl
8、 = 103 1 500 10-6 = 0.5 = 0.707 1 0 2 2 2 I = 4a= I = A = (a + a ) = (2) 像点的光P 2所以 p P 2 4 a强: f f f , , L 5 7 ) (3) 光强极大值出现在轴的位置是3 0 (即 Q f = r = 1m = 103 mm 1 f 1 f 1 f = 1= m f = 1= m 2 3 3 3 5 5 f 1 1 f = = m LL 5 7 7 6. 波长 为 的点 光源经波带片成一个像点 , 该波 带片有 100 个透 明奇数半波带 (1,3,5,)。另外 100 个不透明偶数半波带.比较用波带片
9、和换上同样焦距和口径的透镜时 该像点的强度比 I:I0. 解: 100 个奇数半波带通光总振幅 A100 = a = 100a I = (100a ) 2 1 同样焦距和口径的透镜可划分为 200 个半波带通光 17 A200 = a1 + a1 = 2 总振幅为 200a 1 (100a ) 2 1 = = I 4 (100a ) 2 4 I 0 199 200 I0 = (200 a )2 = 4(100a ) 2 7. 平面光的波长为 480nm,垂直照射到宽度为 0.4mm 的狭缝上,会聚透镜的焦距为 60cm. 分别计算当缝的两边到 P 点的相位为/2 和/6 时,P 点离焦点的距离
10、. f 。缝宽为b，则位相差和光程差的关 解：设 P 点离焦点的距离为 y，透镜的焦距为 系式为 2l p 2pl 2p l 2p yl f 故 lf y = Dj 2pb p 2 时，P 当缝的两边到 P 点的位相差为 点离焦点的距离为 -4 l4.8 f 10 600 p y = Dj = = 0.18mm 2 2pb 2p 0.4 p 6 时，P 当缝的两边到 P 点的位相差为 点离焦点的距离为 -4 l4.8 f 10 600 p y = Dj = = 0.06mm 2pb 2p 0.4 6 8. 白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为 600nm 的光 波的第
11、二个次最大值重合.求该光波的波长. 解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知 1 bsinq = k 0 + l 2 1 bsinq = 3 + l = 2 + 2 5 l = l = 428.6 7 nm 1 l 2 得 所以 所以该光为紫色光. 9. 波长为 546.1nm 的平行光垂直地射在 1mm 宽的缝上,若将焦距为 100cm 的透镜紧贴 于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到(1)第一最小值;(2)第一最大值;(3)第三 最小值的距离分别为多少? 18 解: 根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知: y bsinq btanq = b =f k l 得第一、第三最小值的位置
12、分别为 f 1000 y = l = 5.461 10 - 4 = 0.5461mm 1 b 1 f y 3 = 3 l = 1.638mm b 由单缝衍射的其它最大值位置的近似式 y 1 bsinq k0 b k 0 + l f 2 3 f 3 1000 y = l = 5.46110 - 4 = 0.819mm 10 2 b 2 1 得 10. 钠光通过宽 0.2mm 的狭缝后,投射到与缝相距 300cm 的照相底片上.所得的第一最小 值与第二最小值间的距离为 0.885cm,问钠光的波长为多少?若改用 X 射线(=0.1nm)做此实 验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少? 解：如果近
13、似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式 sinq = k 21 l k0 + 2 b 得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为 l l l Dy = y - y 2 f - f = f 2 1 b b b l = 那么 Db 0.02 y 0.885 = 590nm f 300 如果改用l = 0.1nm时 -9 300 0.110 Dy = = = 1.5 10-6 m b 0.02 f l 12. 一束平行白光垂直入射在每毫米 50 条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二 光谱的始端的衍射角之差为多少？(设可见光中最短的紫光波长为 400nm，最长的红光波 长为 760nm) q = j
14、l 得 解：由光栅方程 dsin -4 l 红 7.6 10 sinq 1 = = = 3.8 10 - 2 d 0.02 所以 q1 = 2.18 19 -4 4.0 10 sinq 2 = = 2 = 4.0 10 -2 d 0.02 2 l 紫 所以 q 2 = 2.29 1 d = = 0.02mm 50 式中 所以 Dq = q - q = 2.29 - 2.18 = 636 = 2 10 -3 rad 2 1 13. 用可见光(760400nm)照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎 样？若重叠，则重叠范围是多少？ 解：根据光栅方程 dsin q = jl l760n
15、m 红 = sinq = 1 j = 1, d d 得 l800nm sinq = 2 = j = 2 ， 紫2 d d 因为 q 2 q1 所以 一级和二级不重叠. l 红 1520nm = sinq 2 = 2 d d 而 j = 2, l1200nm sinq = 3 = j = 3, 紫3 d d 因为 q 3 q 2 所以二级和三级光谱部分交迭. 设第 3 级紫光和第 2 级波长的光重合 ll 3 2 =紫1d d 则 3 3 l = l 紫 = 400 = 600nm 2 所以 1 2 2 的光重合 设第 2 级红光和第 3 级波长为l ll 2 3 =红2d 则 d 20 2 2
16、 l = l = 760 = 红 2 3 3 所以 600 700nm 与三级 综上 , 一级光 谱与 二级 光谱 不重 叠 ; 二级光 谱的 光谱400 506.7nm 重叠. 14. 用波长为 589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最 大值之间的衍射角为 1510，求该光栅 1cm 内的缝数是多少？ 解: Q dsin q = jl( j = 0,1,2,L12） 1 1 sinq q 1510 = = p 222(条/cm） -7d jl jl 180 2 589 10 15. 用每毫米内有 400 条刻痕的平面透射光栅观察波长为 589nm 的钠光谱。试问：
17、(1) 光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？(2)光以30 角入射时,最多能观察到几级光谱? 解: (1) 根据光栅方d j = sinq dsin q = jl 得 l j的最大值与sin可见 q = 1 的情况相对应( sinq 真正等于 1 时,光就不能到达屏上). 1 1 d = mm = cm 400 4000 ,并取sin q = 1, 则得 根据已知条件 1 j = 4000 = -8j只能取整数,分数无实际意义) 5890 10 (此处 即能得到最大为第四级的光谱线. (2) 根据平行光倾斜入射时的光栅方程 d(sin sinq 0 ) = jl ( j = 0,1,2,L)
18、,可得 d(sinq + sinq 0 ) j = l 同样,取sin q = 1, 得 1 (sin 30 + 1) 4000 = 6.4 j = -85890 10 即能得到最大为第六级的光谱线. 16. 白光垂直照射到一个每毫米 250 条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为 30处会 出现哪些波长的光？其颜色如何？ 21 解: 由题意可知 1 = 250 条 毫米 q = 30 d 由公式dsinq = jl 390nm l 760nm 当l = 760nm 时, 1 d j = l sin 30 = 250 760 10 -6 2 = 2.6 得 当l = 390nm 时, d 1 =
19、5.1 j = sin 30 = -6 l 250 390 10 2j可取 这里 3, 4, 5 2.6 j 1 故当位于法线两侧时，第二级谱线无法观察到。 当位于法线同侧时，满足 dsinq = jl - dsinq 0 ， l j = 2时，sinq = 2 - sinq 0 d 将(4)代入得sin q = 0.6855 1 故位于法线同侧时，第二级谱线也可观察到。 23 波长为 600nm 的单色光正入射到一透射光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在 sinq1 = 0.2 和 sinq 2 = 0.3 处，第四级为缺级。 试求光栅常量； 试求光栅的缝可能的最小宽度； 解：(1)光栅方程
20、为 dsinq1 = jl dsinq 2 = ( j+ 1)l sinj + 1 0.3 q 2 = = sinq1 j 0.2 j = 2 故 ， 25 jl 2 600 = = 6000nm = 6 10-3 mm d = sinq 0.2 故 10 -3 mm 即光栅常量为 6 d -3 b = 4= 1.5 10mm (2) 由第四级缺级，得 -3 1.5 10 mm 即光栅上缝的最小宽度为p sinq = sin 2 故最大的级次为 j = 10 (3) 故 其 时 最 多 观 察 到 j = 9, 又 考 虑 到 缺 级 4,8 ， 所 以 能 呈 现 的 全 部 级 次 为 j = 0,1,2,3 5,6,7,9 26
