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1、全概率公式与贝叶斯公式解题归纳全概率公式与贝叶斯公式解题归纳 来源：文都教育 在数学一、数学三的概率论与数理统计部分，需要用到全概率公式及其贝叶斯公式来解题. 这类题目首先要区分清楚是“由因导果”，还是“由果索因”，因为全概率公式是计算由若干“原因”引起的复杂事件概率的公式，而贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，某一“原因”发生的条件概率. 它们的定义如下： 全概率公式：设B1,B2,L,Bn为样本空间W的一个划分，如果P(Bi)0, i=1,2,L,n，则对任一事件A有 nP(A)=P(Bi)P(A|Bi). i=1贝叶斯公式 ：设B1,B2,L,Bn 是样本空间W的一个划分，则 P
2、(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)P(B)P(A|B)jjj=1n,i=1,2,L,n. 例1 从数字1, 2, 3, 4中任取一个数，记为X，再从1，X中任取一个数，记为Y，则P(Y=2)= . 解 由离散型随机变量的概率分布有： P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=14. 由题意，得 P(Y=2X=1)=0,P(Y=2X=2)=12, P(Y=2X=3)=13,P(Y=2X=4)=14,则根据全概率公式得到 P(Y=2)=P(X=1)P(Y=2X=1)+P(X=2)P(Y=2X=2) +P(X=3)P(Y=2X=3)+P(X=4)P(Y=2X=4) 111113=(
3、0+)=. 423448例2 12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取1件为次品的概率. 解 令A=先取的1件为次品，则A,A为完备事件组，P(A)=2C8228C721取的2件皆为正品，则P(BA)=2=,P(BA)=2=, C1155C115512,P(A)=,令B=后33由贝叶斯公式得 128P(A)P(BA)P(AB)2355P(AB)=. P(B)P(A)P(BA)+P(A)P(BA)128+2215355355若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
