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1、关于BorelCantelli 引理的若干极限问题的毕业论文摘要 摘 要 近两个世纪以来，极限定理一直是概率极限理论研究的中心课题，纵览整个发展过程，令人印象深刻的是，经典问题的最终解决，主要靠工具的改进,也&lder等更精细的靠方法的精密化，例如Cr不等式，Minkowski不等式，再到Ho不等式. 然而Borel-Cantelli引理在概率论中有很重要的应用，目前已经有很多学者对此进行了研究，特别是在减弱Borel-Cantelli引理第二部分的条件，并且取得了很多完美的结果. 本论文主要针对Borel-Cantelli引理的双边不等式的极限问题进行研究. 运用常见的概率不等式以及概率论的
2、基本性质， 巧妙的证明了论文的定理. 本论文是在文献1的基础上，运用新的方法，得到相应的结果. 第一章给出了引言和若干必要的引理、推论及其证明. 第二章给出了关于Borel-Cantelli引理的一些结果，并说明前面的结果是后面结果的特例. 第三章给出了关于Borel-Cantelli引理的双边不等式的详细证明，并指出了文献1中的一些错误，并举例说明. 最后还给出了类似于Borel-Cantelli引理的双边不等式的结果，更多新的问题有待于我们进一步的研究. &lder不关键词：Borel-Cantelli引理; Cr不等式; Minkowski不等式; Ho等式;双边不等式. I Abstr
3、act Abstract Since last two centuries, the limit theorem is the central subject of the probability limit theory. Through the whole evolution, what made people deeply impressed is, the final settlement of the classical problems，which mainly depends on the improvement of the tools, also depend on the
4、precision of the method. Such as, Cr inequality, to the Minkowskis &lderinequality, more sophisticated, to Hos inequality. However, the Borel-Cantelli Lemma is very important application in probability theory, which has already been studied by many scholars. Particularly, a lot of perfect results ha
5、ve been obtained by weakening the conditions in the second part of the Borel-Cantelli Lemma. The main purpose of the paper is to study the Borel-Cantelli Lemma on bilateral limit inequality issues. The use of common inequalities and the fundamental properties of probability theory is used to prove t
6、he thesis theorem. In this paper, we get several some new results on the basis of reference 1 and the use of some new ways. Chapter I gives the introduction and several necessary lemmas, corollaries and proofs. Chapter II gives some of the results about the Borel-Cantelli Lemma, and also explaining
7、the front of results is a special case of that of the back. Abstract Chapter III gives detailed proof about the Borel-Cantelli Lemma on bilateral inequality and points out some errors in reference 1, also takes a number of examples. Finally, the paper gives a result similar to the Borel-Cantelli Lem
8、ma on bilateral inequality. However, more new problems are waiting us to study. Keywords：Borel-Cantelli Lemma; Cr Inequality; Minkowskis Inequality; &lderHos Inequality; Bilateral Inequality. III 目录 目录 摘要. Abstract . 目录. 第一章 绪论 . 1 1.1 引言 . 1 1.2 定义 . 2 1.3重要不等式和引理.3 第二章 主要推论及引理 . 8 2.1 研究背景. 8 2.2
9、若干引理. 10 第三章 基于Borel-Cantelli引理的双边不等式 . 15 3.1 问题的提出 . 15 3.2 主要结果. 16 3.3 一个例子.24 3.4 附注.25 参考文献. 28 致谢 . 31 读研期间论文发表情况 . 32 IV 符号说明 符号说明 r. v. 随机变量 a. s. 几乎必然地 概率空间 X=Y IA EX limnAn limAn nAn An 定义X=Y 集A的示性函数 随机变量X的数学期望 事件序列An,n=1,2,L的上限事件事件序列An,n=1,2,L的下限事件事件序列An,n=1,2,L是不降的 事件序列An,n=1,2,L是不增的 V
10、第一章 绪论 第一章 绪论 1.1 引言 近两个世纪以来，极限定理一直是概率极限理论研究的中心课题.纵览整个发展过程，令人印象深刻的是，经典问题的最终解决，主要靠工具的改进,也靠&lder等更精细的不方法的精密化，例如Cr不等式，Minkowski不等式，再到Ho等式. 然而Borel-Cantelli引理在概率论中有很重要的应用，目前已经有很多学者对此进行了研究，特别是减弱Borel-Cantelli引理第二部分的条件，并且取得了很多完美的结果,具体可参考文献1-5. 最近, 文献1研究了随机事件的Borel-Cantelli引理的一个双边不等式, 并得到如下结果: 定理1.1.1 设随机事
11、件序列An满足P(An)=，IAi是事件Ai的示性函n=11数,Sn=i=1IAi, Tn=SnI(Sn0)ESn, 则 suplimsup(ETnp)1P(limsupAn)infliminf(ETnp)1(1-p), (1.1) np0,P1其中 limsupAn=IUAk. n=1k=n遗憾的是, 文献1中的主要定理和例子的证明过程存在一些问题, 本文旨在指出文献1中的主要定理和例子的证明过程存在的问题, 并且给出正确的证明. 同时还给出了类似于Borel-Cantelli引理的双边不等式的结果. 本章主要介绍Borel-Cantelli引理及相关的概念和定义，给出论文所需要的不等式、引
12、理以及证明. 1 关于Borel-Cantelli 引理的若干极限问题 1.2 定义 定义1.2.1 设An,n=1,2,是一列事件，则UAn表示事件序列Ak,Ak+1,.中n=k至少发生一个，而IAn则表示Ak,Ak+1,.同时发生. n=k记 limAn=IUAn nk=1n=klimAn=UIAn nk=1n=k称limAn为事件序列An的上限事件;类似地称limAn为事件序列An的下限事nn件，特别当limAn=limAn时，记limAnlimAn=limAn，并称它为事件序列Annnnnn的极限事件. 性质1.2.1 如An，即A1A2A3L，则limAn=UAn;如An，则 nn=
13、1limAn=IAn. nn=1证明 如An，则有 m=nIAm=An, UAm=UAm， m=nm=1故 limAn=UIAm=UAn， nn=1m=nn=1 2 第一章 绪论 limAn=IUAm=UAm， nn=1m=nm=1因此 limAn=UAn. nn=1定义1.2.2 设为一概率空间，对 AF，定义一个W上的函数 如wA,1, IA(w)=如wA,0, 则称IA 为A的示性函数. 1.3 重要不等式和引理 在本文中，将用到一些重要的不等式和引理，具体如下： 引理1.3.1 (Cr不等式) 设X1,L,Xn是r.v.，r0,则 nE Xkk=1rnrcE(Xrk), k=16其中
14、nr-1, r1,cr= 1, 0r1.引理1.3.2 设X,Y是r.v.，E(X)，6pE(Y)，若p1，则 3 p关于Borel-Cantelli 引理的若干极限问题 1p1p; +(EX+Y)1pppp若0p1和q1，则对pq任意r.v.X,Y都有 EXY(EX)1p(EY)1q. pqpq1p1q证明 当X=0a.s.或Y=0a.s.或=或=时，pq式显然成立.今设00我们有 注意到-logx在(0,)上是凸函数，因此，apbq11pq-log+-loga-logb=-logab， pqpqapbq+或者等价地 ab， 0a,b. pq因此 EX(EX)p1pY(EY)q1q 1 EX
15、p(EX)p1pp+1EYq(EY)q1q q =11+=1, pq由此推的(1.2)式成立. 4 第一章 绪论 引理1.3.4 227EXY(EX)12(EY)12. 7&lder不等式的推广) 设0p1和q=-p/(1-p) 引理1.3.5 (Ho(满足1p+1q=1)，则对任意r.v.X,Y都有 EXY(EXp)1p(EYq)1q. 证明 令X=XYp,Y=Y-p. 那么由H&o&lder不等式 EXY(EXp)1p(EYq)1q , 得 EXp=EXY(E(X)1p)p(E(Y)1(1-p)1-p =(EXY)p(EYq)1-p. 注意到q0，则由式得 (EXY)pEXp( EYq)1
16、-pp1p EXY(EX()EYq)-1q, 即 5 1.3） 1.4） 式成立; pq当0=EYq=E1Y-q时，则 1Y得 -q=0，a.s. Y=+，a.s. ( 因为-q0 ) 此时 (EY)若EXpq1q=10-1q=+, 0，P(X0)0，记A=(X0), 则 EXYXYdP=+P(A)=+, A此时式仍成立. 引理1.3.6 (De Morgan定理) 若A,B是事件，则 AUB=AIB ，AIB=AUB. 8推广到有限个和可列个的情形 UAi=IAi ， IAi=UAi; i=1i=1i=1nnnni=1i=1UAi=IAi ， IAi=UAi. i=1i=1i=1 6 第一章
17、 绪论 引理1.3.7 (概率测度的连续性) 设为一概率空间, An,n=1,2,9为W的子集且AnF, n=1,2,.如果limAn=A, 则 nP(limAn)=limP(An). nn 7 关于Borel-Cantelli 引理的若干极限问题 第二章 主要推论及引理 2.1 研究背景 许多学者研究Borel-Cantelli引理，尝试减弱Borel-Cantelli引理第二部分的条件，并取得了一定的成果. 下面的引理2.1.1是经典的Borel-Cantelli引理. 引理2.1.1 (Borel-Cantelli引理) 设An,n1是中的事件序列, (i) 若随机事件序列An满足 8
18、P(A), nn=1则 PlimAn=1; PlimAn=0， nn(ii) 若An是相互独立的随机事件序列，则 P(An)= n=1成立的充要条件为 PlimAn=1 或 PlimAn=0. nn证明 由于 8 第二章 主要推论及引理 P limAn =P IUAn nk=1n=k P UAnP An0, (k) n=kn=k由德莫根定理，有 P limAn=1; n先证必要性. 注意到An的独立性，有 P limAn=P UIAnP IAn nk=1n=kk=1n=k =P(An)=1-P(An). k=1n=kk=1n=k由于 01-P(An)exp-P(An), 则从 P(A)=, n
19、n=1可得 N1-P(A)limexp-P(A)=0, nn=kNnn=k所以 9 关于Borel-Cantelli 引理的若干极限问题 P limAn=0. n再证充分性.若P limAn=1.假定nP(A)，则由得到nn=1P limAn=0，产生矛盾.因P(An)0，故只可能是P(An)=. nn=12.2 若干引理 引理2.2.110 设随机事件序列An满足P(An)=，且 n=1liminfn(P(Ai)2i=1i,k=1nP(AA)ikn=1， 则 P limAn=1. n引理2.2.211 设随机事件序列An满足P(An)=，且 n=1liminfn(P(Ai)2i=1i,k=1
20、nP(AA)ikn=L， 则 P limAn1L n注1 引理2.2.1是引理2.2.2的特例，取L=1, 则 P limAn11=1.又 nP limAn1， 所以 P limAn=1. nn 10 第二章 主要推论及引理 引理2.2.312 设随机事件序列An满足P(An)=，且 n=1liminfn1i0. n引理2.2.5 设随机事件序列An满足P(An)=，且 n=12P(AiAk)HP(Ai)P(Ak)， 对 i, kN，且ik, H1, N为正的常量， 则 PlimAn1H. n注2 引理2.2.4当C1时是引理2.2.5的特例，取H=C, 则 P limAn1C0. n引理2.
21、2.6 设随机事件序列An满足P(An)=，对任意的实数H，n=13记aH=liminfn1ikn(P(AA)-HP(A)P(A)ikik(P(Ai)2i=1n， 11 关于Borel-Cantelli 引理的若干极限问题 则 H+2aH1，且PlimAn1(H+2aH). n注3 (i) 令H=0，由引理2.2.2的条件2a0=L，满足引理2.2.6条件， 得 P limAn1(0+2a0)=1L， n所以由引理2.2.6可以推出引理2.2.2.以下说明2a0=L. L=liminfn(P(Ai)2i=1i,k=1nP(AA)ikn2=liminfn1iknP(AA)+P(A)ikkk=1n
22、(P(Ai)2i=1n2=liminfn(P(Ai)2i=11iknnP(AA)ik+liminfnP(A)kn(P(Ai)2i=1k=1n=2liminfn1iknni=1P(AA)ik(P(Ai)2=2a0. (ii) 令H=1，由引理2.2.3条件 a1=liminfn1ikn(P(AA)-P(A)P(A)ikik(P(Ai)2i=1n0， 它满足引理2.2.6条件，故H+2aH=1+2a11，即a10，从而a1=0，且 P limAn1(H+2aH)=1(1+0)=1， n所以由引理2.2.6可以推出引理2.2.3. 12 第二章 主要推论及引理 (iii) 但引理存在一些问题，H(-
23、,+)，有H+2aH=2a0，那么有P limAn1n(2a0)=limsupn(P(Ai)2i=1nP(AA)ikikik. 令H=0，则 2a0=2liminfn1iknni=1P(AA)(P(Ai)2ik=liminfnP(AA)(P(Ai)2i=1ikn=limsupn1(P(Ai)2i=1n. P(AA)ikik又由 P(An)=，得 n=1P(A)ii=1ni=1n2P(A)in(P(Ai)2(P(Ai)2i=1i=1n=1P(A)ii=1n0. (n) 由aH的定义，得 H+2aH=H+2liminfn1ikn(P(AA)-HP(A)P(A)ikik(P(Ai)2i=1n=lim
24、infn(P(AA)-HP(A)P(A)+H(P(A)ikikiiki=1n2(P(Ai)2i=1n 13 关于Borel-Cantelli 引理的若干极限问题 =liminfnP(AA)+HP(A)ikiiki=1n2(P(Ai)2i=1n=liminfnP(AA)ik(P(Ai)2i=1ikn=2a0. 可以看出引理2.2.6不是最好的结果,与引理2.2.5结果类似. 14 第三章 基于 Borel-Cantelli 引理的双边不等式 第三章 基于Borel-Cantelli引理的 双边不等式 3.1 问题的提出 Petrov于XX年在文献3中改进了其于XX年在文献2中的结果，得到了如下定
25、理： 定理3.1.1 设随机事件序列An,n1满足条件n=1P(An)=，且 3 aH=liminfn1ikn(P(AA)-HP(A)P(A)ikik(P(Ai)2i=1n， (3.1) 则 PlimsupAn1(H+2aH). n这里的H为任意的正常数. 最近，Xie 于XX年在文献1中研究了随机事件的Borel-Cantelli引理的一个双边不等式, 并得到定理1.1.1. 但是文献1中的主要定理和例子的证明存在一些问题， 例如下面等式不是恒成立： P(A)+2pP(B)=(P(A)+2P(B)p1(1-p)1(1-p)(ET3pn)， p1， (3.2) 所以下面的式子也不是恒成立： P
26、(A)+2PP(B)limp0(P(A)+2P(B)p1(1-p)infliminf(ETnp)1(1-p)p0. (3.4) nnnlimsupE(Tn(m)p=limsupE(Tn)p, m1,p0. (3.5) nnliminfE(Tn(m)p=liminfE(Tn)p, m1,p0. (3.6) nn事实上，在文献1中定理1.2的证明过程中，Xie得到了如下不等式 TnmTn(m)， (3.7) ESn1-m/ESn Tn-但是，我们不能由式推出式.事实上，对于一个样本点wW，当 mm=Tn(w)-m 当 nn(m)时， 0Sn-Sm-1Sn-Sm-1SnTn=Tn(m)=， (3.8
27、) ESnESn-ESm-1ESn-m1-m/ESn则 pESpn-Sm-1ESE(T(m)pTnnnE1-m/ESn， p0, nn(m). 由(2.3)式，我们得 limnESn=， 因此，当n,p0,m1时， Spp0Em-1mES-1ESn0. n当0p1时，由Minkowskis不等式得 17 (3.9) 关于Borel-Cantelli 引理的若干极限问题 S-Sp1pnm-1EESn1pSpm-1+EESn1p, 因而 limsupE(Tn)n(p1p)p1pp1pSm-1Sn-Sm-1 +ElimsupEESESnnn1pS-Spnm-1=limsupEESnn. 由(3.9)式我们有 Sn-Sm-1limsupE(Tn)plimsupEnnESn plimsupE(Tn(m)p nE(Tn)plimsup(1-m/ESn)pn=limsupE(Tn)p, n于是证明了(3.5)式.根据(3.5)式，用文献1的方法我们得到(1.1)式的左边不
