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1、关于函数恒成立问题的解题策略关于恒成立问题的解题策略 整理人：凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： 在给定区间上某关系恒成立；某函数的定义域为全体实数R； 某不等式的解为一切实数； 某表达式的值恒大于a，等等 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： 一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质； 直接根据函数的图像 二、恒
2、成立问题解决的基本策略 A、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：mf(x)在xD上恒成立mf(x)max； 思路2：mf(x)在xD上恒成立mf(x)min 如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数f(x)的最值 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累 B、赋值型利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得 例1由等式x4+a1x3+a2
3、x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4； 定义映射f：(a1, a2, a3, a4)b1+b2+b3+b4，则f：(4,3,2,1)_ 解：取x=0，则a4=1+b1+b2+b3+b4，又由已知a4=1，所以b1+b2+b3+b4=0 例2如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-解：取x=0及x=-p8对称，那么a=_ pp，则f(0)=f(-)，即a=-1 44此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想 1 C、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思
4、想利用一次函数知识求解，十分简捷 给定一次函数y=f(x)=ax+b (a0)，若y=f(x)在m, n内恒有f(x)0，则等价于：f(m)0f(m)0；同理，若在内恒有，则等价于： m, nf(x)0f(n)2a+x恒成立的x的取值范围 分析：在不等式中出现了两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数；显然可将a看作自变量，则上述问题即可转化为在-2, 2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题 解：原不等式转化为：(x-1)a+x2-2x+10在a2时恒成立， 设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1，则f(a)在-2, 2上恒大于0， x2-4x+30x3或x0故有
5、：即2，解得：； f(2)0x1或x0x3，即x(,1)(3,+) 此类题本质上是利用了一次函数在区间m, n上的图像是一条线段，故只须保证该线段两端点均在x轴上方即可 2、二次函数型 涉及到二次函数的问题是复习的重点，要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用 若二次函数y=ax2+bx+c (a0)大于0恒成立，则有a0且D02a121a9； 当a-10时，有即有22220a-10a+90D=(a-1)-4(a-1)a+1综上所述，f(x)的定义域为R时，a1, 9 例5已知函数f(x)=x2+ax+3-a，在R上f(x)0恒成立，求a的取值范围 分析：y=f(x
6、)的函数图像都在x轴及其上方，如右图所示： 略解：D=a2-4(3-a)=a2+4a-120，-6a2 变式1：若x-2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围 分析：要使x-2,2时，f(x)0恒成立， 只需f(x)的最小值g(a)0即可 a2a2解：f(x)=(x+)-a+3，令f(x)在-2,2上的最小值为g(a)； 24当-a7 4时，g(a)=f(-2)=7-3a0；a，而Qa4，a不存在；23aaa2当-2-2，即-4a4时，g(a)=f=-a+30，-6a2； 242又Q-4a4，-4a2； 当-a2，即a-4时，g(a)=f(2)=7+a0，a-7； 2又Qa-4，-7a0f(
7、2)0f(-2)0；-5a-22-2； -a2或-a-222综上所述，-5a22-2 解法二： 当-a54时，g(a)=f(-2)=7-3a2，a(4,+)，a不存在； 23aaa2当-2-2，即-4a4时，g(a)=f=-a+32； 24222-2a22-2，-4a22-2 当-a2，即a-4时，g(a)=f(2)=7+a2，a-5；-5ag(a)恒成立，则g(a)f(x)min；若对于x取值范围内的任何一个数，都有：f(x)f(x)max 例6已知三个不等式：x2-4x+30，x2-6x+80，2x2-9x+m0要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围 略解：由得2x3，要使同时满足的
8、所有x的值满足， 即不等式2x2-9x+m0在x(2, 3)上恒成立， 即ma恒成立，求实数a的取值范围 分析：转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图像即可求得a的取值范围 -3, x2在直角坐标系中画出图像如图所示，由图象可看出， 要使对任意实数x，不等式|x+1|-|x-2|a恒成立， 只需aa”改为“|x+1|-|x-2|3 利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围 5 三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学
9、习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法 换元引参，显露问题实质 4(a+1)2a(a+1)2例9对于所有实数x，不等式：xlog2+2xlog2+log20恒成立， aa+14a22求a的取值范围 解：因为log22a2a的值随着参数a的变化而变化，若设t=log2， a+1a+1则上述问题实质是“当t为何值时，不等式(3-t)x2+2tx-2t0恒成立”； 这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于： 3-t0求解关于t的不等式组：； 2D=(2t)+8t(3-t)0解得t0，即有log22a0，易得0a1 a+1分离参数，化归值域问题 例10若对于任意角q总有sin2q+2mcosq+4m-
10、10成立，求m的范围 解：此式是可分离变量型，由原不等式得m(2cosq+4)0，则原不等式等价变形为2m恒成立 cosq+2cos2qcos2q故2m必须小于f(q)=的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值 cosq+2cosq+24cos2q(cosq+2)2-4(cosq+2)+4由f(q)=cosq+2+-44-4=0； cosq+2cosq+2cosq+2即cosq=0时，有最小值为0，故max恒成立，求a的取值范围 解：若设y1=x(4-x)，则(x-2)2+y12=4 (y10)表示为上半圆 设y2=ax，为过原点，a为斜率的直线 在同一坐标系内 作出函数图像； 依题意，半圆恒在
11、直线上方时，只有a0时成立， 即a的取值范围为a0 例13当x(1, 2)时，不等式(x-1)logax恒成立，求a的取值范围 解：设y1=(x-1)2，y2=logax，则y1的图像为右图是抛物线； 要使对一切x(1, 2)，y11， 并且必须也只需当x=2时，y2的函数值大于等于y1的函数值；故loga21，1a-2时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A必在圆上或圆内， 即点A到圆心距离不大于半径，则有a2+12a+4(a-2)，得-1a3 评析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立， 用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A，曲线为圆 分类讨论，避免重复遗漏
12、 例15当|m|2时，不等式2x-1m(x2-1)恒成立，求x的范围 解：使用|m|2的条件，必须将m分离出来，此时应对x2-1进行讨论 当x2-10时，要使不等式当x2-10时，要使不等式2 y y2 y1 0 4 x2x-12x-11+3恒成立，只要，解得； 1x2m2x2-1x2-12x-12x-1-1+7恒成立，只要，解得 x1；m0恒成立，只有x=1； 综上得-1+71+3 x0恒成立 这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手；若考虑到求a的范围， 12n-1x可先将a分离出来，得a-x+x+L+(1恒成立 )(n2)，对于x(-，nnn12n-1x构造函数：g(x)=-x+x+
13、L+， nnn则问题转化为求函数g(x)在x(-，1上的值域 k由于函数u(x)=-x(k=11上是单调增函数， ，2，L，n-1)在x(-，n则g(x)在(-，1上为单调增函数； 11于是有g(x)的最大值为：g(1)=-(n-1)，从而可得a-(n-1) 22四、巩固练习 1对任意的实数x，若不等式x+1-x-2a恒成立，求实数a的取值范围 2已知函数f(x)=1 (mR)，对任意xR都有意义，求实数m的取值范围lg(2x+22-x-m)3已知f(x)是定义在(-, 3的单调减函数，且f(a2-sinx)f(a+1+cos2x)对一切实数x成立，求实数a的取值范围 (x2+1)a-x(a-
14、5)+34当a、关于x的不等式b-1对一切实数x恒成立？ b满足什么条件时，2x-x+15已知f(x)=x3+ax2+bx+c，在x=1与x=-2时，都取得极值； 求a、b的值；若x-3, 2都有f(x)答案：a=11-恒成立，求实数c的取值范围 c23-133+133，b=-6； c2228 6定义在定义域D内的函数y=f(x)，若任意的x1,x2D，都有|f(x1)-f(x2)|1，则称函数 ，否则称“非接近函数”，函数f(x)=x3-x+a (x-1,1,aR)是 y=f(x)为“接近函数”否为“接近函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由 解：因为|f(x1)-f(x2)|fmax-fmin|； 函数f(x)=x3-x+a (x-1,1,aR)的导数是：f(x)=3x2-1； 当3x2-1=0即x=33时， 在x(0, 33)时，f(x)=3x2-10； 故f(x)在x0, 1内有极小值是f(33)=a-239； 同理，f(x)在x-1, 0内有极大值是f(-3233)=a+9； 因为f(1)=f(-1)=a， 所以函数f(x)=x3-x+a (x-1,1,aR)的最大值是a+239，最小值是a-239；故有：|f(x21)-f(x2)|f4max-fmin|=91； 所以函数f(x)=x3-x+a (x-1,1,aR)是“接近函数” 9
