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1、关于抛物线焦点弦的弦长公式补充关于抛物线焦点弦的弦长公式补充 高县中学 吴伦红 在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题： (1)已知：抛物线的方程为y=2px(p0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点，且弦AB的倾斜角为q，求弦AB的长。 解：由题意可设直线AB的方程为y=k(x-4k22p2)(qp2)将其代入抛物线方程整理得： x2-(4pk+8p)x+2pk122=0 ，且k=tanq 设A,B两点的坐标为(x,y),(x,y1222) 则：x+x12=pk2+2p2，kxx12=p 42|AB|=1+k2(x1
2、+x2)-4xx12=2p(sinq)2当q=p2时，斜率不存在，sinq=1，|AB|=2p.即为通径 而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。 (2)已知：抛物线的方程为x=2py(p0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB倾斜角为q，求弦AB的长。 解：设A,B的坐标为(x1,y),(x2,y)，斜率为k(k=tanq)，而焦点坐标为(0,122p2)，故AB的方程为y-p22=kx，将其代入抛物线的方程整理得： =0,从而x1+x2-2pkx-px2=2pk,x1x2=-2p2，
3、 2p弦长为：|AB|=1+k2(x1+x2)-4xx12=(cosq)2q=0,cosq=1,|AB|=2p，即为通径。 而y2=-2px与的结果一样，x=-2py与的结果一样，但是与2的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下： 已知：抛物线的方程为y2=2px(p0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A ，B两点，且弦AB与抛物线的对称轴的夹角为q，求弦AB的长。 解：由题意可设直线AB的方程为y=k(x-4k2p2)(qp2 )将其代入抛物线方程整理得：x2-(4pk+8p)x+2pk22=0 ， 若倾斜角ap2，则a=q,k=tana=tanq；
4、 ,则a=p-q,k=tana=tan(p-q)。 p2设A,B两点的坐标为(px,y),(x,y1122) 则：x+x12=k2+2p2，k2xx12=p 42|AB|=1+k(x1+x2)22-4xx122=1+(tan2pa)2(pk2+2p)k4-pk24=(sina)而sinq=sina,sin(p-q)=sina，故|AB|=p22p(sinq)2； 当q=而时，sinq=1，|AB|=2p.即为通径。 y2=-2px与的结果一样 同理：已知：抛物线的方程为x2=2py(p0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB与抛物线的对称轴的夹角为q，求弦AB的长。 解：设A,B的坐
5、标为(x1,y),(x2,y)，若倾斜角为a，斜率为k， 12则k=tana，而焦点坐标为(0,故AB的方程为y-p2p2)， =kx，将其代入抛物线的方程整理得： x2-2pkx-p2=0,从而x1+x2=2pk,x1x2=-2p2， 2p弦长为：|AB|=p21+k2(x1+x2)p2-4xx12=(cosa)2当倾斜角a所以|AB|=p2p2,则a=p2+q,cosa=cos(p2+q)=-sinq 2p(sinq)2恒成立。 当q=2时，sinq=1，|AB|=2p.即为通径。 而x=-2py与的结果一样。 故只要直线AB与抛物线的对称轴的夹角为q，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即|AB|=2p2(sinq)。这个公式包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。
