《关于无穷级数求和问题的探讨毕业论文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于无穷级数求和问题的探讨毕业论文.docx（27页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、关于无穷级数求和问题的探讨毕业论文关于无穷级数求和问题的探讨 方先锋 摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容,无穷级数的和对于研究无穷级数的特性、函数敛散性、近似计算等都有重要的作用，本文介绍了无穷级数求和的一些方法，如裂项相消法、逐项微分或积分法、转化为函数项级数求解法、利用子列的极限等等，以及这些方法在具体例子中的应用，其目的是为了让读者更加熟练地掌握无穷级数求和方法及技巧，从而进一步促进其对该知识的学习和理解无穷级数，为以后更深入的学习数学做好准备。 关键字：级数求和;逐项积分;函数项级数;拉普拉斯变换 Abstract: Infinite series is an important
2、 part of mathematical analysis, infinite series and for research the characteristics, function infinite series converges scattered sex, approximate computation has important effect, this paper introduces some methods of infinite series summation, such as Cancellation Method of Splitting, item by ite
3、m, a photograph of differential and integral method, is transformed into a function of series method, using subsequence limit, etc, and these methods in specific examples of application, Its purpose is to let the reader more mastered the infinite series summation methods and skills, thus further pro
4、mote its to the knowledge learning and understanding infinite series, for further study mathematics ready. Keywords: Series summation; Item by item, integral; Function of series; Laplace transform 1 引言 无穷级数不仅是研究分析学的重要工具，同时在自然科学和工程技术中有许多问题也可以由无穷级数来解决。这是因为，一方面有很多函数可以用无穷级数来表示；另一方面，又能借助于无穷级数来研究函数逼近和近似计算
5、等问题。所以无穷级数理论在理论或实际应用中，都是研究函数的一种重要数学工具。要掌握这一工具无穷收敛级数求和的问题，便成为一个基本又很重要的一个课题了。 我们在研究级数的敛散性时, 当级数收敛的情况下, 如何去求出其和, 有时是比较麻烦的事。对于无穷级数求和的这一问题，李素峰、张春平、郑春雨、蔡炯辉等人对此有一定的研究，并撰写了与此相关的一些文章，对学生学习起到了一定的指导作用 但他们的文章篇幅甚少，内容简单，没有系统全面地介绍无穷级数求和的方法，本文作者通过长时间阅读大量的文献学习研究，研究级数求和方法以飨读者。 12341 利用级数和的定义求和法 定义5：如果级数un=1nimsn=s，则称
6、无穷级数的部分和数列sn有极限s，即lxun=1n收敛，这时极限s叫做这级数的和，并写成s=u1+u2+.+un+.；如果级数 2n-1例1 求和 1+2x+3x+.+nx+.,x1. un=1n没有极限，则称无穷un=1n发散。 ()分析：我们可以根据已知级数的特点：后一项中的x的次数都比前一项的次数多一，这样我们就可以乘以一个x，然后作差，最后再取极限。 解：记部分和Sn=1+2x+3x2+.+nxn-1 则xSn=x+2x2+3x3+.+nxn 两式相减得：(1-x)Sn=1+x+x+.+x2n-1-nxn 1-xn-nxn =1-x1-xnnxnSn=- 2(1-x)1-x1-xnnx
7、n1-=取极限后易得：S=limSn=lim (x1). 22nn(1-x)1-x(1-x)n例 2 求级数n-1的和。 n=13分析：由已知级数的通项可知：它的后一项的分母是前一项分母的3倍，我们把通项的分母先乘以3，然后作差，最后取极限。 23n解：QSn=1+2+.+n-1 (1) 333 2 1123n+2+3+.+n (2) 33333由(1)-(2)得： Sn=12111nSn-Sn=Sn=1+2+.+n-1-n 333333111-n23-n=31-1-n 即Sn=nnn1332331-3231n3于是limSn=lim1-n-n= n3n2332339limSn= n224n9
8、n-1= 4n=132 裂项相消法求和法 主要适用于无穷级数的通项公式为分式且其分母是因式之积的形式的级数。它的关键是将级数的一般项分解成部分分式的形式。诸如：都可以用裂项相消法求和。 例 3 求无穷级数2n+11，等等，22n(n+1)n=1(n+1)(n+2)(n+3)n(n+1)(n+2)的和. n=11分析：观察到此无穷级数的通项公式为分式且其分母是因式之积的形式的级数， 1111=-，然后再求和。 n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)1111=-解 ：因为un= n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2) 1111111Sn=-+.+21223233
9、4nn+1n+1n+2()()()111- = 212(n+1)(n+2)1111-所以limSn=lim= nn212n+1n+2()()411即= 4n=1n(n+1)(n+2)注意到 3 例 4 求无穷级数1. n=1nn+1+(n+1)n分析：题目所给出的级数的通项是分母为根式之积的分式，我们可以考虑先将其分母有理化再进行约分化简成可抵消的两项之差。 解：先对通项分母中的和式进行有理化，得 nn+1-(n+1)n(n+1)n-nn+1=1-11= =22n(n+1)nn+1nn+1+(n+1)nnn+1-n+1n()nn1111所以Sn=1-1 (n) =-n+1k+1k=1kk+1+
10、(k+1)kk=1k()从而 1=1 n=1nn+1+(n+1)n3 利用逐项求导与逐项求积分求和法 定理16 如果级数u(x)的各项u(x)在区间a,b上连续，且u(x)在a,b上一致收敛nnnn=1n=1于s(x)，则级数u(x)在a,b上可以逐项积分，即 nn=1xxs(x)dx=u1(x)dx+u2(x)dx+.+un(x)dx+. xxxxxx其中ax0xb,并且上式右端的级数在a,b上也一致连续。 定理27 如果级数u(x)在区间a,b上收敛于和s(x)，它的各项u(x)都具有连续导数nnun(x)，并且级数un(x)在a,b上一致收敛，则级数un(x)在a,b上也一致收敛，且可n
11、=1n=1n=1逐项求导，即 s(x)=u1(x)+u2(x)+.+un(x)+. 方法：利用逐项求导或逐项积分，将级数化为已知的展式求和。 234例 5 求级数x-4x+9x-16x+.+(-1)n+1n2xn+.的和. 分析：观察到如果先对原级数从0到x积分，然后再变形就可转化为泰勒展开式了，最后求和。 解：记G(x)=x-4x+9x-16x+.+(-1)234n+1nx+.=anxn，其中an=n2。 2ni=1(n+1)=1 a因为limn+1=limxaxn2n所以R=1，当x=1时，G(1)=2ni=12发散。 4 当x=-1时，G(-1)=(-1)i=1nn2发散 即G(x)的收
12、敛域为(-1,1)，从而在其收敛域内逐项积分有x1 x14916()G(x)dx=2x025 12131415=x-1+x+2+x-3+x+.2345 121332=x+-x+x-x+.-x(1-2x+3x-.)23=x-ln(1+x)-x3(x-x2+x3-.)3-3x3+4x4-x5+.x =x-ln(1+x)-xg1+x x3=x-ln(1+x)-2(1+x)x313x2-4x3+x4G(x)=x-ln(1+x)-=1-24所以 . 1+x1+x1+x()()x2x3x4x5xnn例 6 计算无穷级数-+-+.+(-1)+.之和。(x1) 21324354n(n-1)分析：该级数求和的困
13、难之处在于有分母, 如果没有分母, 这就是一个等比级数, 其和马上可以写出。但此级数容易证明其收敛半径为1。因此,x1内可以逐项微分任意多次。将级数逐项微分两次之后便消去了全部分母, 成为了即可得解。 解：由limx(-1)xn=0nn。求出和再积分两次,n(n+1)an=lim=1则R=1 an+1x(n+1)(n+2)n对于级数(-1)n=0xn=1x1)，两边从0积到x，得 (1+xnxn+1 (-1)=ln(1+x)(x1) n+1n=0两边再从0积到x，得 nxn+2(-1)(n+1)(n+2)n=0 =ln(1+t)dt0x0x=xln(1+x)-tdln(1+t) 5 =xln(
14、1+x)-tdt 01+t=xln(1+x)-x+ln(1+x) (x1)上式左边正是原级数。 x所以级数和S=xln(1+x)-x+ln(1+x) x0，$N1，当nN1时，有S-S3n0，$N2，当nN2时，有S-S3n-10，$N3，当nN3时，有S-S3n-2N时，有S-S3ne且S-S3n-1e且S-S3n-2N时，K=3n-2或K=3n-1或K=3n 所以S-SK0，$N1，当2nN1时，有S-S2n0，$N2，当nN2时，有anmaxN1,N2，考察e2，则a2n+1e2S-S2n+1=S-(S2n+a2n+1)=S-S2n-a2n+1S-S2n+a2n+10时有定义，而且积分
15、+-px0f(x)edx 在P的某一领域内收敛，则有此积分所确定的函数为 F(P)=+0f(x)e-pxdx 公式(1)称为函数f(x)的拉普拉斯变换式。记为 F(P)=Lf(x) F(P)称为f(x)的拉氏变换，而f(x)称为F(P)的拉氏逆变换，记为 f(x)=L-1F(P) 积分反演定理 若f(x)是可变换的，且Lf(x)=F(P)，则 L-1f(x)+pF(p)dp=x。 例 16 求级数12之和. n=1n分析：这种题目比较简单，也有其他的方法，我们这里就用拉普拉斯变换来求和。解： 由于Lx=1p2，将p改成n得 1+-nxn2=0xedx， 故得1+xx+xn2=n=10x(e)d
16、x=n=10ex-1dx=n2-6. e-na例 17 求级数之和(a0). n=1n分析：这里用拉普拉斯变换来求和，比较一下和其他的其和方法有什么好的地方。-na解：由于Le-na=e-naLl=eP，把P改成n， 12 (1) +e-na即有=e-nage-nxdx. 0n+e-nadx-n(a+x)=edx=-ln(1-e-a). 所以n+x00e-1n=1nn=19 结论 以上本着由浅入深循序渐进的原则介绍了无穷级数的几种求和方法 相信对于解决此类问题会起到一定的指导作用，但单纯地掌握几种方法还远远不够，总之 ,在级数求和过程中,要掌握多种求和方法 ,而且要根据具体题确定用哪种方法。以
17、上较为全面地介绍了一些常用的方法和技巧，希望对提高学生的计算能力和计算速度起到一定的作用，特别是针对许多一题多解的级数求和问题采取正确的方法以便最简。有些求和问题用一种方法求解很麻烦甚至不可能，它需要多种方法的灵活交错使用，有些题目也可以用多种方法求解，读者可以结合自身的特点使用。 致谢 在此论文撰写过程中，要特别感谢我的导师林美琳的指导与督促，同时感谢她的谅解与包容。没有林美琳老师的帮助也就没有今天的这篇论文。求学历程是艰苦的，但又是快乐的。感谢我的铺导员陈梅香老师、林斌老师，谢谢他们在这四年中为我们全班所做的一切，他们不求回报，无私奉献的精神很让我感动，再次向他们表示由衷的感谢。在这四年的
18、学期中结识的各位生活和学习上的挚友让我得到了人生最大的一笔财富。在此，也对他们表示衷心感谢。 谢谢我的父母，没有他们辛勤的付出也就没有我的今天，在这一刻，将最崇高的敬意献给你们！ 本文参考了大量的文献资料，在此，向各学术界的前辈们致敬！ 参考文献： 1 李素峰.关于无穷级数求和问题的探讨J.邢台学院学报，2008，：12-13. 2 张春平.无穷级数的求和探讨J.沈阳师范大学学报，2008，：20-21. 3 郑春雨.数项级数和的求法例谈J.海南广播电视大学学报，2006，24：96-97. 4 蔡炯辉，胡晓敏.收敛级数求和的初等方法J.玉溪师范学院院报，2006，22：95-98. 5 复旦
19、大学数学系. 数学分析M.3版.北京：高等教育出版社，1983. 6同济大学数学系.高等数学习题全解指南M.北京：高等教育出版社，2007 . 7复旦大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，2007：75-88. 8华东师范大学数学系.数学分析：上册M.2版北京：高等教育出版社，1991: 43. 9 汪晓勤，韩祥临.中学数学中的数学史M.北京:科学出版社,2002. 10复旦大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，2007：108-119. 11张春平.无穷级数求和探讨J. 沈阳师范大学学报，2008，26：279. 12沈克精.利用拉普拉斯变换对无穷级数求和J. 安徽大学学报，1995，(s1):32-34. 13
