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1、内切球与外接球习题讲义教师立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究 1 球与柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 例 1 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为 如图1所示，正方体ABCD-A1B1C1D1,设正方体的棱长为a，E,F,H,G为棱的中点，O为球的球心。 常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG和其内切圆
2、，则OJ=r=A2 2 B1 C1+2 2 D2 a； 21.2 球与长方体 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG和其外接圆，则OG=R=2a； 2长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一la2+b2+c2样的，故球的半径R=.22 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACC1A1和其外接圆，则A1O=R=3a. 2通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通
3、过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 。 1 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( ) 1087A. B.4 C. D. 333例3 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 . 1.3 球与正棱柱 2 球与锥体 球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法。设正三棱柱ABC-A1B1C1的高为h，底面边长为a，如图2所示，D和D1分别为上下底面的中心。根据几何体
4、的特点，球心必落在高DD1的中点O，OD=,AO=R,AD=h3直角三角形AOD的勾股定理，可求R=。 a+2322规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体 正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。 如图4，设正四面体S-ABC的棱长为a，内切球半径为r，外接球的半径为R，取ABh23a，借助3的中点为D，E为S在底面的射影，连接CD,SD,SE为正四面
5、体的高。在截面三角形SDC,作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆，即2 为内切球的截面。 因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O。此时， 球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离2CO=OS=R,OE=r,SE=2323a,CE=3a,则有R+r=a，R2-r22a3=CE=3，解得：R=64a,r=612a.这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便. 例4 将半径都为的四个钢球完
6、全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3+262626433 B. 2+3 C. 4+3 D. +263的3倍. 2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式： 一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图5，三棱锥A1-AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合，设AA1=a，则R=32a。 二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则
7、可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，a2+b2+c2l2R2=4=4。 3 例5 在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN例6 在三棱锥PABC中，PAPB=PC=3,侧棱PA与底面ABC所成的 角为60，则该三棱锥外接球的体积为 ,若侧棱SA=23,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是 。 Ap B. C. 4p D.p34p3 2.3 球与正棱锥 球与正棱锥的组合，常见的有两类， 一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解. 二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱
8、锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积. 4 2.4 球与特殊的棱锥 球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行求解。 例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。 如图8，三棱锥S-ABC,满足SA面ABC，ABBC，取SC的中点为O，由直角三角形的性质可得：OA=OS=OB=OC,所以O点为三棱锥S-ABC的外接3 球与球 对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的球的球心
9、,则R=SC2. 例7 矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积是( ) A.12512p B.1259p C.1251256p D.3p 空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解. 例8 在半径为的球内放入大小相等的4个小球，则小球的半径的最大值为 5 4 球与几何体的各条棱相切 球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解. 如与正四面体各棱都相切
10、的球的半径为相对棱的一半：r=2a4. 综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体，如正方体、例8 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为 正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记
11、忆必须准确. A.103cm B. 10cm C. 102cm D. 30cm 6 外接球内切球问题 1. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 A334 B33此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由3a28=23知，a=1，则此球的直径为2，故选A。 4325.已知正方体外接球的体积是p，那么正方体的棱长等于 3 C 34 D312A.22 B.答案 D 234243 C. D. 333答案 B 2. 直三棱柱AB-的C各顶点都在同一球面上，若C1A1B6.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) 13 B. 1
12、3 C. 133 D. 19 AB=AC=AA1=2,BAC=120，则此球的表面积等于 。 A. 解:在DABC中AB=AC=2,BAC=120,可得BC=23,由正弦定理,可得DABC外接圆半径答案 C 7.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 答案 4p 398r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTDOBO中，易得球半径R=5，故此球的表面积为4pR2=20p. 3正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为p，则正三棱柱的体积为 答案 8 4.表面积为23 的正八面
13、体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A12222p Bp Cp Dp 33338. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 答案 14 9.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2. 答案 2+42 答案 A 7 P C B A E F D 12.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 A3p C16p 3 B2p D以上都不对 答案C 2313.(吉林省吉林市)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为3 10.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_ 答案 67 11.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 2 Ap B2 C4 答案C 83Dp 4314已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求面上,DABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2;则此棱锥的体积为 A2 6B8 3 6C2 3D2 215已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA平面ABCD,四边形ABCD是边长为23正方形.若PA=26,则OAB的面积为_.
