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1、农妇卖蛋问题与倒推法农妇卖蛋问题与倒推法 江苏省连云港市教育局 臧雷 一农妇卖鸡蛋，第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个；第二次卖出剩下鸡蛋的一半又半个；第三次卖去所剩下鸡蛋的一半又半个，第四次又卖去所剩鸡蛋的一半又半个，这时鸡蛋恰好卖完，问农妇开始至少有鸡蛋多少个？ 按常规思路来解答，过程较为繁琐，而数学大师欧拉独出心裁，给出了一个别具一格的解法，其解法大意是： 第三次卖完后所剩的鸡蛋为1个；第二次卖完后所剩鸡蛋数为2=7个，所以农妇原来至少有鸡蛋2=15个 把这个问题稍加改变，就是下面的题目： 把一堆西瓜的一半又半个分给第一人，再把剩下的一半又半个分给第二个人，把每上一次所剩西瓜数的一半又半个分
2、给下一个人，照此办理，分给第n个人后恰好分完，问这堆西瓜至少有多少个？ 假设这堆西瓜至少有S0个，分给第i个人后剩下的西瓜为Si个，则 Sn=0于是可推知Sn-1，Sn2，S1，从而可推出S0当n=3时，就是农妇卖蛋问题 由此给我们的启示是：某些数学问题，如能从反面想一想，可能容易解决 一般地，从结论开始、执果索因、逆向推导、逐步还原、解决问题的方法称为逆推法 例1 100个人站成一横排，自1起报数，凡报奇数者离队，留下的再次自1起报数，凡报奇数者又离队，这样反复下去，最后留下一个人，问这人第一次报数为多少？ 解：最后被留者在倒数第1轮必报2，在倒数第2轮必报4，在倒数第3轮必报8，于是容易得
3、出，倒推过去此人报的是16，32，64因为只有100个人，故这个人第一次报数是64 例2 设有n个球，甲乙两人按下法做游戏：两人轮流取球，每人一次，可随意拿一个或两个球，但不准不拿，谁取得最后一个球谁败规定甲先拿，问甲是否一定取胜？ 分析：反过来考虑：失败者最后只拿一只球，倒数第二次拿球时，球数必定是3个或2个这两种情况之一这样，只要球数剩下4只，该谁拿谁失败 当n=3k1时，甲必败，因为乙可采取这样的策略：甲取一个时，乙接着取2个，保证余下的球是3t+1，每一轮都如此，最后必然会出现剩下4个球的情形，这时轮到甲拿，甲必然输了 当n=3k时，甲只要先取2个剩下的球数是“3t1”形数，乙就代替了
4、上述情况里的甲，乙就会输 例3 如图1，图中的一支箭头表示为一段有方向的路，E至I的两个“立交桥表示EI与GF，HF的两个箭头不相交，试计算顺着箭头方向，从A到I有多少条不同的路线 分析：从A要到达I，无论怎么走，都必须经E，F，H之一，如果用SI，SE，SF，SG，SH表示从A分别到达I，E，F，G，H的路线数则有SI=SESFSH对E，F，G作类似的逆推，有SE=SB+SC+SD，SF=SBSESGSH，如此倒推下去，最终归结为求SB，SC，SD 解：首先有SB=SD=1，SC=1SBSD=3，接着算得SE=SB+SC+SD5，SG=SH=SE+SD=6，SF=SB+SE+SGSH=1566=18最后得SI=SESFSH=5+186=29即从A到I共有29条不同的路线 练习题： 上还留下10只桃子，树上原来至少有多少只桃子？ 2现对甲、乙、丙三个小组的人员作调整：第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出7人给另一组，三次调整后，甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人，问各组原有几人？
