几何100题.docx

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1、几何100题几何100题 1、如图,在正方形ABCD中,E为AD中点,EFEC交AB于F,连接FC ，求证AEFECF 证明：延长BA和CE交于点G E为AD中点 则AE=1/2AD=BC FEGC FE是BC的垂直平分线 所以FGEFCE G=FCE G=FEA(等角的余角相等） FEA=FCE EAF=FEC 所以 AEFECF 2、在ABC中，AB=AC=13,BC=10,D是AB的中点，过点D作DEAC于点E，则DE的长是-。 过A作 AFBC于F BF=1/2BC=10/2=5 根据勾股定理 AF+BF=AB AF=12 SABC=1/2BCAF=1/21012=60 过B作BGAC

2、 DEBG D为AB中点 DE=1/2BG SABC=1/2ACBG 60=1/213BG BG=120/13 DE=1/2BG=60/13 3、如图，已知ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，则A=_ 如图。已知ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，则A=_36度_ A=ABD C=BDC=2A A+ABC+C=A+2A+2A=180 4.如图所示，ABC中，AB=AC,D是BC上一点，BAD=30，E是AC上一点，AD=AE,求EDC的度数 如图所示，ABC中，AB=AC,D是BC上一点，BAD=30，E是AC上一点，AD=AE,求EDC的度数。 解：根据题意 AD=AE ADE=AE

3、D AB=AC B=C ADE+EDC=B+30 AED+EDC=C+30 EDC+C+EDC=C+30 2EDC=30 EDC=15度 5、ABC中，AD平分BAC，DE是BC的中垂线，E为垂足，过D作DM垂直AB于M，DN垂直AC交AC的延长线于N,求证BM=CN 证明：AD平分BAC DMAB,DNAC 所以DM=DN 连接DB，DC DE垂直平分BC 那么DB=DC DM=DN RtDMBRtDNC BM=CN 6、如图，在ABC中，C为直角，A=30，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正ABE与正ACD，DE与AB交于F。求证：EF=FD 证明： 过E做EGAB 交AB于G 连接G

4、D交AB于H，GC EBA为正 那么G为AB中点 GC=1/2AB=GA GCA=GAC=30 DCA=DAC=60 两式相加 DCG=DAG=90 GC=GA GD=GD DCGDAG GDC=GDA DG为CDA的平分线 那么 我们可以知道 DG垂直平分AC H为AC中点 GHBC EAD=60 BAC=30 EAC=90 BCA=90 BCEA GHAE(1) 同理 EGDA(2) 根据 那么 四边形ADGE为平行四边形 GA和DE是对角线 所以 EF=FD 7、如图，C为线段AE上一动点，在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q

5、，连接PQ. 证明 1.PQ/AE 2.AP=BQ 证明： ABC和CDE为等边三角形 AC=BC(1) BCA=DCE=60度 BCA+BCD=DCE+BCD ACD=BCE(2) CD=CE(3) 由、 ACDBCE(SAS) DAC=CBE(4) AC=BC(5) ACB+BCD+DCE=180 ACB=DCE=60 所以 BCD=60 ACB=BCD=60(6) 由 ACPBCQ(ASA) PC=CQ BCD=60 PCQ为等边三角形 QPC=60 ACB=60 PQ/AE DAC=CBE AC=BC ACP=BCQ=60 ACPBCQ(ASA) AP=BQ 8、BP、CP是三角形AB

6、C的外角平分线 求证：AP是角BAC的角平分线 证明：过点P分别作 PGAB PEBC PFAC 交点分别为G,E,F BP和CP分别为角平分线 PG=PE PE=PF 所以 PG=PF 所以 PA平分角BAC 9、如图，AD是ABC的中线，A=90度，E、F分别在AB、AC上，且DEDF。试猜想线段BE、CF、EF的关系并加以证明. 证明： 延长AD至P，使AD=DP 连接BP,CP,延长FD和ED分别交BP,CP于H,G 连接EH,HG,GF 点D为AP,BC中点 易证四边形ABPC为平行四边形 A=90度 那么ABPC为矩形 ABPC ABC=PCB BD=CD BDE=CDG BDEC

7、DG BE=CG ED=DG EDDF 那么EFG是等腰三角形 EF=FG 在RTFCG中 FC+CG=FG FC+BE=EF 10、如图，ABC是等腰直角三角形，ABACAD，CAD30。求DCB DBC的度数 解：等腰RTABC中 ABC=BCA=45度 等腰ACD中 ACD=ADC=(180-30)/2=75度 DCB=45+75=120度 BAC=90度 BAD=90+30=120度 AB=AD ABD=ADB=/2=30度 DBC-ABD=45-30=15度 11、 证明： 设CF、DE交于点O AE=DF A=ADC=90 AD=CD RTDAERTCDF DE=CF ADE=DC

8、F DCF+DFC=90 DFC+ADE=90 那么 DOF=90 DECF (2)证明： 过点N，P分别做 NEAB,PF BC,垂足分别为E,F NE，PF交于点G 设PQ,MN交于点O PQ,NE交于点H 很明显 NEPF PGN=90 PQ=MN PF=NE RTPQFRTNME MNE=QPF PHG=NHO 所以 PGH=PON PGH=90 PON=90 所以 PQMN 12、在梯形ABCD中，AD/BC,B=90，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别

9、从两点同时出发，多少秒后梯形PQCD是等腰梯形？ 解：设t秒以后PQCD是等腰梯形 那么腰PQ=CD=AB+(BC-AD)=14+3=205 过P做PEBC，垂足为E PE=AB=14cm PD=18-t QE=2t-(18-t)/2=(3t-18)/2 PE+QE=PQ 14+(3t-18)/4=205 (3t-18)=36 3t-18=6或3t-18=-6 t=8或t=4 8秒后梯形PQCD是等腰梯形 13、在ABC中,BD=DC,若ADAC,BAD=30。求证： 证明：过点D做DEAC 点D为中点 所以 E为AB中点 DE=1/2AC AC=2DE DEAC 所以EDA=90度 在RTE

10、DA中 BAD=30度 AC=AB 那么DE=1/2AE AE=1/2AB(E为中点，已证） DE=1/4AB 1/2AC=1/4AB AC=1/2AB 14、平行四边形ABCD,对角线DB的垂直平分线分别相交DC于E,AB于F，请问四边形DEFB是平行四边形吗，是菱形吗？分别详细证明。 证明：设BD的中点为O ABCD FBD=BDE BOF=DOE OB=OD BOFDOE BF=DE，OF=OE BFDE 四边形DEBF是平行四边形 OF=OE EF垂直平分BD，BD垂直平分EF，可知平行四边形DEBF是菱形 15、A=90,AB=AC,BD平分ABC,CE垂直BD,垂足为E,证BD=2

11、CE 证明：延长CE交BA的延长线于F BD平分ABC BECE 那么 CBF是等腰三角形 E为CF中点 CE=1/2CF BDA=CDE 所以 ABD=ACF(等角的余角相等） BAC=CAF AB=AC ABDACF BD=CF CE=1/2BD BD=2CE 16、三角形ABC中，AB=AC，角BAC=20度，D是AB上的一点，角BDC=30度，求证AD=BC 证明：A=20 B=ACB=(180-20)/2=80 ACD=BDC-A=30-20=10 根据正弦定理 在ADC和BDC中，有 CD/sinA=AD/sinACD CD/sin20=AD/sin10 CD/sinB=BC/si

12、nBDC CD/sin80=BC/sin30 / sin80/sin20=ADsin30/(BCsin10) AD/BC=2sin10cos10/sin20=sin20/sin20=1 AD=BC 几何做法： 以BC为一边作正三角形BPC ABC=ACB=(180-20)/2=80 连接AP，交CD于E很明显BAPCAP AP平分A BAP=CAP=10 ACD=BDC-A=30-20=10 AE=EC AED=CEP PCE=ACB-BCP-ACD=80-60-10=10=DAE AEDCEP AD=PC PC=CB=BP AD=BC 17、在平行四边形ABCD中,BE平分ABC交AD于E,

13、DF平分ADC交BC于F,请你说明BE=DF。 证明： BE平分ABC ABE=EBC ADBC AEB=EBC ABE=ABE AB=AE(1) 同理 CF=DF(2) A=C(3) 综合 ABECDF BE=DF 18、已知：RTBAC，A=90，AF平分BAC,交BC的垂直平分线于点E，D为BC中点。求证：DE=1/2BC。 证明：连接EB,EC, 过点E分别向AB,AC做垂线，垂足分别为H,G BAC=AHE=AGE=90 那么四边形AHEG是矩形 AF平分BAC 那么BAE=45 所以AEH=45 HA=HE 矩形AHEG是正方形 EB=EC HE=EG RTBHERTCGE BEH

14、=CEG AEH+AEG=90 AEH+BEH+AEG-CEG=90 AEB+AEC=90 BEC=90 点D为BC中点 DE=1/2BC 19、如图所示,正方形ABCD中,P、Q分别是BC、DC边上的点,若PAQ=DAQ,能否得到PA=PB+DQ？请说明理由。 证明：如图 1=2 3=90-21 设正方形的边长为a 那么PA=a/cos DQ=atan1 PB=atan PA=a/sin21 PB+DQ=actg21+atan1=a(cos21/sin21+sin1/cos1) =a(cos21/sin21+2sin1/2sin1cos1) =acos21/sin21+(1-cos21)/s

15、in21) =a/sin21 所以 PA=PB+DQ 20、正方形ABCD，E是BC上一点，EFAE交BCD的外角平分线于F。 求证：AE=EF 证明：延长AB交BCD的外角平分线于G，连结AC ABC=CBG=90,BC=BC,ACB=BCG=45 所以ABCBCG，因此 AB=BG BC是AG的垂直平分线, 因此 AE=GE， 设BAE=BGE= 于是EGF=45- 由AEEF可知FEC+AEB=90，即FEC=BAE= 在CEF中ECF=135，于是EFC=180-135-=45- 所以EGF=EFG GEF是等腰三角形，故EF=GE=AE (见下图） 25、如图所示，ABC是等边三角形

16、，AE=CD，BQAD于Q，BE交AD于P.求PBQ的度数；判断PQ与BP的数量关系。 解：正ABC C=BAC=60 AC=AB CD=AE ACDBAE(SAS) DAC=ABE AEB=AEB AEPBEA APE=BAE BAE=60度 APE=60度 BPQ=APE=60度 BQAD PBQ=90-60=30度 在RTPBQ中 PBQ=30度 所以 PQ=1/2BP 26、在三角形ABC中已知AB=AC,点D在AC上，E在AB的延长线上。且BE=DC,DE交BC于P,求证PE=PD 证明：过点E作EFBC,交AC的延长线于F BCEF 所以 ABC=AEF,ACB=F AB=AC A

17、BC=ACB 所以 AEF=F AE=AF AB=AC AE-AB=AF-AC BE=CF BE=DC 所以 CF=DC 点C为DF中点 BCEF 所以点P也是DE的中点 所以 PE=PD 27、如图，ABC中，角C=90，BD平分ABC交AC于D,DEBD交AB于E,作BDE的外接圆O,求证AC与圆O相切。 证明：BD平分ABC 1=2 点O为BE中心，即BDE的外接圆圆心 连接OE OE=OB 2=3 所以 1=3 ODBC ODA=90度 ODAC 所以 AC与圆O相切 28、已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的

18、延长线于点M点F在线段ME上，且满足CFAD，MFMA 若MFC120，求证：AM2MB； 求证：MPB90 1/2 FCM 证明：连接AD 点E是CD中点，且MEDC 所以MDC是等腰三角形 MD=MC MA=MF AD=CF AMDFMC MAD=MFC=120 BAD=90 所以 MAB=120-90=30度 在RTMAB中 MB=1/2MA AM=2MB (2)AMDFMC AMD=EMC ME平分DMC DME=EMC 所以 AMD=EMC=DME MAB=30 所以 EMC=(90-30)/3=20度 FCM=180-120-20=40度 PMB=EMC=1/2FCM MPB=90

19、-PMB=90-1/2FCM 29、如图,在ABC中,C=90,AC=BC,AD为CAB的平分线，交BC于D，DEAB于E。若AB=6cm，则DEB周长为？ 解：在RTABC中 AC=BC 根据勾股定理 很容易知道 AC=BC=32 AD平分CAB AB/AC=CD/DB=6/32=2 CD=2DB CD+DB=32 2DB+DB=32 DB=32/(2+1)=32(2-1)=6-32 B=45度 DEB=90度 DE=EB 根据勾股定理 DE=EB=32-3 那么 DEB的周长=DE+EB+DB=32-3+32-3+6-32=32 30、如图,在等腰ABC中,AB=AC,A=20,在边AB上

20、取点D,使AD=BC,求BDC的度数。 证明：以AC为一边做等边AEC，连接ED 则EAD=BAC+CAE=80 在等腰ABC中，A=20 B=C=80. 在ABC和EAD中 AB=EA，ABC=EAD=80，BC=AD ABCEAD(SAS) ADE=ACB=80 由得：DE|BC AED=BAC=20 DEC=60-AED=40 又DE=AC(全等三角形对应边相等)，AC=EC DE=EC 在等腰DEC中，DEC=40 CDE=ECD=(180-40)/2=70 DE|BC BDE=180-B=180-80=100 BDC=BDE-CDE=100-70=30 31、已知 平行四边形ABCD

21、，E为CD上的点 ，F为AD上的点 ，且AE=CF，AE,CF相交于点P，求证： APB=CPB 证明：BE,BF 过点B作BMAE，BNCF，垂足为M,N SABE=1/2S平行四边形ABCD SBCF=1/2S平行四边形ABCD SABE=SBCF 1/2*AE*BM=1/2*CF*BN AE=CF BM=BN 点B在APC的平分线上 APB=CPB 32、如图,在ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C做CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F，求证：PB是PE,PF的比例中项。 连接CP。 因为 AB=AC，AD是中线，由等腰三角形三线合一的性质可得， ADBC， AD是

22、BC是中垂线 则 BP=CP. 又由AB=AC，BP=CP 可得 ABC=ACB，PBC=PCB， 所以 ABP=ACP . 由 CFAB 可得 F=ABP， 所以 ACP=F，又CPE是公共角 所以 PCEPFC 则 PC/PF = PE/PC 所以 PC= PE PF PC=PB PB = PE PF 证毕 33、如下图：梯形ABCD中,AB/DC,A与B互余，DC=3,AB=9,E,F分别为AB,DC的中点，则EF=( ). 解：延长AD,FE,BC 设AD、FE交于G，FE、BC于点G AB/DC DE/AF=GE/GF (3/2)/(9/2)=GE/GF GE/GF=1/3 同理 G

23、E/GF=EC/BF=1/3 所以点G和点G重合 A+B=90 AGB=90 点E是CD的中点 CD是斜边 那么GE=1/2CD=3/2 同理 GF=1/2AB=9/2 那么EF=9/2-3/2=3 34、D为等边三角形ABC外一点,且BD=CD,BDC=120,M,N分别在AB,AC上,若MDN=60 ,求证BM+CN=MN 证明： 延长AC至E使得CE=BM，连接DE。 BD=CD DBM=DCE BM=CE BDMCDE(SAS) DM=DE BDM+MDN+CDN=120 MDN=60 BDM+CDN=60 BDM=CDE CDE+CDN=60 NDE=60 因为 DM=DE MDN=

24、NDE DN=DN(公共边） MDNEDN MN=EN EN=CN+CE=CN+BM MN=CN+BM 证毕 35、AG=CG,AE垂直于BG,AB=AC,角BAC为直角，求证： CGF=AGE 证明： 从C做CM垂直AC交AF延长线于M CAM+BAE=90，ABG+BAE=90CAM=ABG BAG=ACM=90，AB=AC BAGACM。 AGE=CMF，AG=CM=CG AB=AC，GCF=45，MCF=45=GCF CF=CF。GCFMCF CGF=CMF=AGE 36、已知：如图,AB=DC，E是BC的中点，1=2 求证ADBC 证明： 12 AE=DE AB=CD BE=CE B

25、AECDE B=C BAE=CDE 1=2 BAE+1=CDE+2 BAD=CDA B+C+BAE+CDA=360 B+BAD=180 ADBC 37、正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点。若EBF的周长是正方形ABCD的一半，求EDF的度数。 解：延长BC至G，使CG=AE 很明显RtDAERtDCG(SAS) 所以DE=DG,AE=CG,ADE=CDG 设正方形的边长为a 根据已知 EBF的周长是正方形ABCD的一半 而且 BE=a-AE,BF=a-FC 那么 EB+BF+FE=a-AE+a-FC+FE=2a-AE-FC+FE=2a FE=AE+FC=FC+CG=FG DF=DF

26、 DE=DG DEFDGF EDF=FDG=FDC+CDG ADE+EDF+FDG+G=180 ADE=CDG CDG+G=90 所以 EDF+FDG=90 2EDF=90 EDF=45度 38、已知：如图,在平行四边形ABCD中，AC与BD交与点O，P是四边形外一点,且APC=BPD=90，则四边形ABCD是矩形吗？ 证明：连接PO 在RTPAC中，O为AC中点 那么PO=1/2AC 同理 PO=1/2BD 那么 AC=BD AB=CD AD=AD ABDDCA BAD=ADC BAD+ADC=180 BAD=90 所以平行四边形ABCD是矩形 39、三角形ABC中，AB=AC 延长AC至点

27、F ,在AB 上取一点E，使BE=CF,连接EF，交BC于点D.说明DE=DF. 证明：过E作EGAC，角BC于点G EGAC BGE=ACB AB=AC B=ACB B=BGE BE=EG BE=CF 所以 EG=CF EDG=CDF(对顶角） GED=F(EGAC,内错角相等） GEDCFD(AAS) DE=DF 40、直角三角形ABCD中，AD/BC,AD:BC=2:5,P是CD上一点，如果把三角形BCP沿折痕BP向上翻折点C与A重合，则求tan 解：设AD=2a,BC=5a C与A重合，那么很明显AB=5a 过A做AE垂直BC于E BE=5a-2a=3a 根据勾股定理 在直角三角形AB

28、E中 AE+BE=AB AE=4a C与A重合 ABP=CBP BP是AC的垂直平分线 BAP=BCP=90 ABP=PAC(等角的余角相等） PAC=PCA(PA=PC) ABP=PCA tanABP=tanPCA=AD/DC=2a/4a=1/2 41、如图，在三角形ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN/BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F。 (1）说明EO=FO (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论。 证明： MNBC CEF=ACE EC平分BCA BCE=ACE 所以 CEF=ACE OE=OC 同理 OC=OF EO=F

29、O (2) 当O为AC中点时，AECF是矩形 O为AC中点 OA=OC AOE=COF OE=OF AOECOF AE=CF OAE=OCF AECF AECF是平行四边形 EC平分BCA,CF平分ACD ECF=90 AECF是矩形 42、如图，三角形ABC中，C=90，AD平分BAC，BC,DF/AB,证：AD与EF互相垂直平分。 证明： EDBC ACBC DE/AC DF/AB 四边形DEAF是平行四边形 AD平分BAC DAE=DAC ED垂直DAC=ADE(DE/AC) DAC=ADE EA=ED 所以平行四边形DEAF是菱形 所以 AD与EF互相垂直平分。 43、已知,如图,AB

30、CD是正方形,E、F是AD延长线上的点,且DE=DC,DF=DB,求证HD=HG 证明： DEBC DE=DC=BC 四边形BCED是平行四边形 BD=CE DF=BD CE=DF BDF=90+45=135 F=DBF=22.5 DGF=90-F=67.5 DE=DC DCE=45 BHC=EHF=67.5-DCE=22.5 EHF=F EH=EF CE=DF CE-EH=DF-EF CH=DE DE=CD CH=CD CDH=CHD=(180-DCH)/2=67.5 CDH=DGH=67.5 HD=HG 44、如图17，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E是直线AC上的两动点

31、，且AD=CE，AMBD，垂足为点M，延长AM交BC与点N，直线BD交直线NE与点F。 试探求EDF与DEF的大小关系。 若D、E运动到如图17所示位置，其他条件不变，中EDF与DEF的大小关系存在吗？试说明理由。 当D、E运动到如图17所示位置，试探求EDF与DEF的大小关系。 证明： 过点C作CPAC交AN的延长线于点P MAD+ADB=90 MAD+P=90 ADB=P BAD=ACP=90 AB=AC ABDCAP(AAS) AD=CP AD=CE(已知) CE=CP AB=AC ACB=ABC=45 ACP=90 ACB=PCN=45 CE=CP CN=CN CENCPN(SAS)

32、CEN=P CEN=DEF P=ADB 所以 DEF=ADB ADB=EDF DEF=EDF (2)(3)也可以这样做辅助线 简单写 第一步：证明ABDCAP AD=CP AD=CE CP=CE CENCPN P=CEN P=ADB(等角的余角相等） CEN=ADB 证毕 45、证明：延长CD至点P 使DP=BE AB=AD B=ADP=90 ABEADP AE=AP,BAE=DAP EAF=45 BAE+DAF=90-EAF=45 BAE=DAP DAF+DAP=45 FAP=45=EAF FA=FA AE=AP EAFPAF(SAS) EF=FP 所以AG=AD(两个三角形全等，相等的边上

33、的高也相等） AB=AD AB=AG 46、已知为正三角形，P为三角形外一点。且PB=PC,若以点P为顶点作MPN=60，BPC=120，交AB于M，AC于N,求证MN=MB+CN 证明：证明：延长AC至G，使CG=BM 正三角形ABC, ABC=ACB=60 PB=PC,BPC=120 所以 PBC=PCB=(180-120)/2=30 所以 PBM=ACP=PCG=60+30=90 因为 BM=CG PBM=PCG PB=PC PBMPCG BPM=CPG,PM=PG BPC=120,MPN=60 所以 BPM+CPN=BPC-MPN=120-60=60 BPM=CPG 所以 CPG+CP

34、N=NPG=60 因为 PM=PG MPN=NPG=60 PN=PN MPNGPN MN=GN=NC+CG=CN+BM(等量代换） 47、已知三角形ABC中，三个角的平分线AD、BE、CF相较于点I，IH垂直于BC垂足为H求证BID=CIH。 证明： 因为AD,BE是角平分线 那么BID=BAD+ABE=(BAC+ABC)/2=(180-ACB)/2=90-1/2ACB =90-BCI 在直角三角形CIH中CIH=90-BCI 所以 BID=CIH 48、如图，四边形ABCD中，AB=CD,M,N分别是AD,BC的中点，延长BA,MN,CD分别交于点E,F.试说明BEN=NFC 证明: 连接A

35、C，取AC的中点P，连接PM，PN 因为 M是AD的中点，P是AC的中点 所以 PM是三角形ACD的中位线 所以 PM/CD，PM=1/2CD 所以 PMN=NFC 同理 PN/AB，PN=1/2AB 所以 PNM=BEN 因为 AB=CD，PM=1/2CD，PN=1/2AB 所以 PM=PN 所以 PMN=PNM 因为 PMN=NFC，PNM=BEN 所以 BEN=NFC 49、在直角三角形中，AB=AC,点D,E是线段AC上的两个动点，且AD=EC，AM垂直BD，AM的延长线叫BC与N,BD与NE交于F,，问三角形DEF的形状。 过点C作CPAC,交AN延长线于点P RtABC中AB=AC

36、,BAC=90,ACB=45, PCN=ACB,BAD=ACP AMBD, ABD+BAM=BAM+CAP=90 ABD=CAP AB=AC BADACP (ASA) AD=CP ，ADB=P AD=CE,CE=CP PCN=ACB CN=CN CPNCEN (SAS） P=CEN, CEN=ADB, CEN=DEF,ADB=EDF EDF=DEF FD=FE DEF是等腰三角形 50、在等腰直角三角形ABC中，BC=AC，ACB=90，点D是AC边的中点，连接BD，作CEBD于E，交AB于点F，求证：BDC=ADF。 证明： 过点A作AP垂直CF的延长线与点P BCD=DEC=90, 1=2

37、(等角的余角相等） AC=BC(已知) CAP=BCD=90 CAPBCD AP=CD,3=P AD=CD(D为AC中点） AD=AF(1) 5=45(AC=BC) CAP=90 所以 5=6=45 AF=AF(3) 根据 ADFAPF 4=P 因为3=P 所以3=4 即BDC=ADF 51、如图,在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CNDM交AB与N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON的关系说明理由 证明：DMCN CEM=BCD=90 所以1=2 BCD=ABC=90 CD=BC DMCCNB(AAS) DM=CN ODM=45-1 OCN=45-2 1=2 ODM=OCN

38、 OD=OC DM=CN ODMOCN(SAS) OM=ON 52、在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D为AC中点， 如图一，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连接CF，过点F作FH垂直FC，交直线AB于点H，判断FH与FC的数量关系并加以证明。 如图二，若E为线段DC的延长线上任意一点，中的其它条件不变，你在中得到的结论是否发生变化，直接写出你的结论，不必证明 证明：延长DF交AB于点G CDG=ACB=90 DGBC DG为中位线 DG=1/2BC=1/2AC(AB=AC) DC=1/2AC DG=DC DF=DE DG-DF=DC-DE FG=EC

39、(1) CDG=90,DE=DF DEF=DFE=45 CEF=180-DEF=135 同理DGH=135 所以DGH=CEF(2) 1+CFD=90 2+CFD=90 所以1=2(3) 由 CEFFGH CF=FH 注：1=DCF,2=GFH (2)结论不变，CF=FH 简单证明一下 设AH交DF于点K 由我们很容易知道E=HKF=45度(1) DE=DF DC=AD=DK 所以CE=KF(2) DF平行BC DFC=BCF CFH=BCE=90 DFC+CFH=BCE+BCF ECF=KFH(3) 由 CEFFGH(ASA） CF=FH 53、在ABC中,BAC=100,ABC=40,BD

40、是ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD，试猜想：BC,AB,CE三线段之间有着怎样的数量关系并说明理由。 证明：在BC取点F,G，使BF=AB,BG=BD BD平分ABC 那么 ABD=CBD=40/2=20度 AB=BF BD=BD ABDFBD(SAS) AD=DF,A=BFD=100 BD=BG BGD=BDG=(180-20)/2=80 DFG=180-BFD=80 DF=DG ABC=ACB=40 CDG=BGD-ACB=80-40=40 ACB=CDG ADB=180-20-100=60 ADB=BDF=EDC=60 CDF=180-BDF-CDE=60 CDF=CDE(1)

41、 DC=DC(2) 因为DF=AD,AD=DE 所以DF=DE(3) 由 CDFCDE CF=CE BC=BF+CF BF=AB,CF=CE BC=AB+CE 证毕 54、已知ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且2b=a+c，延长D，使AD=AB，连接BD。 求证2D=BAC 求tan1/2BACtan1/2BCA 证明：很明显， AB=AD D=ABD BAC=D+ABD BAC=2D (2)过点B做BE垂直AC于E 作C的平分线交BE于F 设AE=x 在直角三角形ABE和直角三角形CBE中 BE=AB-AE BE=BC-CE AB-AE=BC-CE c-x=a- c=a-b+2bx

42、x=/2b x=+b/2b 2b=c+a AE=x=/4 CE=b-x=/2-/4=/4 DE=c+x=c+/4=/4 CA至D=1/2BAC(已证) tan1/2BACtan1/2BCA=BE/DEEF/EC 在直角三角形CEB中，根据角平分线的性质 BC/CE=BF/EF BF/EF=a/4=4a/ (BF+EF)/EF=(9a-3c)/ BE/EF=(9a-3c)/ EF=/BE 所以 tan1/2BACtan1/2BCA=/BE/(DEEC) BE=AB-AE=c-/16=/16 所以 tan1/2BACtan1/2BCA =/16/(5a-3c)/4/4 =(9a-30ac+9c)/

43、(9a-3c)(3a-9c) =(3a-10ac+3c)/3(3a-c)(a-3c) =(a-3c)(3a-c)/3(3a-c)(a-3c) =1/3 55、如图,在等腰RtABC中,BAC=90,E、F是BC上的点，EAF=45，并且BE=2，CF=1.5，求ABC的面积 因为AB=AC,BAC=90 所以B=C=45 EAF=45 AEC=B+BAE=45+BAE 因为BAE+EAF=BAE+45 所以AEC=BAF B=C 所以ABFECA AB/EC=BF/AC AB*AC=BF*EC 设EF=x AB= 勾股定理 AB+AC=BC 2AB=(3.5+x) 1/2(x+7x+12.25）=x+3.