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1、函数均值23本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于定义域为D的函数y=f(x)，若有常数M，使得对任意的x1D，存在唯一的f(x1)+f(x2) x2D满足等式=M，则称M为函数y=f (x)的“均值”2判断1是否为函数f(x)=2x+1(-1x1)的“均值”，请说明理由； 若函数f(x)=ax2-2x(1x2,a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围； 若函数f(x)是单调函数，且其值域为区间I试探究函数f(x)的“均值”情况与区间I之间的关系，写出你的结论 说明：对于，将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分 23解：对任意的x1-1,1，有-x
2、1-1,1， f(x1)+f(x2)当且仅当x2=-x1时，有=x1+x2+1=1， 2f(x1)+f(x2)故存在唯一x2-1,1，满足=1， 2分 2所以1是函数f(x)=2x+1(-1x1)的“均值” 4分 (另法：对任意的x1-1,1，有-x1-1,1，令x2=-x1， f(x1)+f(x2)则x2-1,1，且=x1+x2+1=1， 2f(x1)+f(x2)若x2-1,1，且=1，则有f(x2)=f(x2)，可得x2=x2， 2f(x1)+f(x2)故存在唯一x2-1,1，满足=1， 2分 2所以1是函数f(x)=2x+1(-1x1)的“均值” 4分） 当a=0时，f(x)=-2x(1
3、x2)存在“均值”，且“均值”为-3；5分 当a0时，由f(x)=ax2-2x(1x2)存在均值，可知对任意的x1， 都有唯一的x2与之对应，从而有f(x)=ax2-2x(1x2)单调， 111故有1或2，解得a1或a0或0a， 9分 aa21综上，a的取值范围是a或a1 10分 2111aaa当I =(a,b)或a,b时，函数f(x)存在唯一的“均值” a+b这时函数f(x)的“均值”为； 12分 21 当I为(-,+)时，函数f(x)存在无数多个“均值” 这时任意实数均为函数f(x)的“均值”； 14分 当I =(a,+)或(-,a)或a,+)或(-,a或a,b)或(a,b时， 函数f(x)不存在“均值” 16分 评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分 当且仅当I形如(a,b)、a,b其中之一时，函数f(x)存在唯一的“均值” a+b这时函数f(x)的“均值”为； 13分 2当且仅当I为(-,+)时，函数f(x)存在无数多个“均值” 这时任意实数均为函数f(x)的“均值”； 16分 当且仅当I形如(a,+)、(-,a)、a,+)、(-,a、a,b)、(a,b其中之一时，函数f(x)不存在“均值” 18分 评分说明：在情形与中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分 2
