函数与导数专题练习.docx

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1、函数与导数专题练习 专题一：函数与导数 一主要数学思想： 分类讨论、形数结合、构建应用、函数与方程等。 常见讨论：就导数的正负、就系数、就判别式、就根的大小、就对称轴的位置，等等。 构建应用：这里主要是指构建出一个函数，把问题转化为考察函数的性质来解决，如参数范围中的变量分离法。多个变数时，可利用拼凑、同除等x-x手段构建成某一整块的函数，如lnx1-lnx2=21。 x2+x2函数与方程：方程解的个数、解的范围等，转化为函数图象的交点个数及范围，反之亦然。 二主要解题思路： 定义域求导f(x)导数的正负？f(x)=0列表判断 单调区间参数范围最值不等式放缩公式求和比较证明 交点(零点,方程的

2、解)的个数极值三主要题型再现： 选择、填空： 1若集合P=x|0x4,Q=y|0y2，则下列对应中，不是从P到Q的映射是( ) 1112Ay=x By=x Cy=x Dy=x 23832对任意的函数f(x),g(x)，在公共定义域内，规定若f(x)=3-x,g(x)=2x-3，则f(x)*g(x)的f(x)*g(x)=minf(x),g(x)，最大值为 。 3函数f(x)的定义域为xR且x1,已知f(x+1)为奇函数，当x1时f(x)的递减区间是( ) 5577A.,+) B.(1,) C. ,+) D.(1,) 44444如果一个函数f(x)满足：定义域为R；任意x1,x2R，若x1+x2=

3、0，则f(x1)+f(x2)=0；任意xR，若t0，则f(x+t)f(x)，则f(x)可以是 Ay=x3 By=xx Cy=3x+1 Dy=x2 115已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)=x，那么f的值是 2333 B- C3 D-3 336对于函数f(x)=ax2+bx+c,(a0)作代换x=g(t)，则不改变函数f(x)的值域的代换是( ) A 1 Ag(t)=2t Bg(t)=|t| Cg(t)=sint Dg(t)=log2t 7已知映射f:AB,其中A=(-,1,B=R，对应法则 在集合A中不存在原象，则k的f:xy=log1(2-x)-1-x对于实数kB，2取值范围是

4、Ak0 Bk0 D以上都不对 8函数f(x)=ax+loga(x+1)在0,1上的最大值与最小值之和为a，则a的值为 11A B C2 D4 421 9设函数f(x)(xR)为奇函数，f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)= 25A0 B1 C D5 210已知f(x)是周期为T(T0)的周期函数，那么f(2x+1)是 A周期为T的周期函数 B周期为2T的周期函数 TC周期为的周期函数 D不是周期函数 22a-311.设函数f(x)是R上以3为周期的奇函数，若f(1)1,f(2)=，则 a+12222Aa Ba且a1 D-1af(a) C.f(a+1)f(a) D不能确定 1

5、3若f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内内单调递减，则实数a的取值范围是 Aa3 Ba=3 Ca3 D0a-1 Bx2或x-2 Cx-1 Dx0或-2x0恒成立，试求实数a的取值范围。 2 112设函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,cR,a0)的321图象在点(x,f(x)处的切线的斜率为k(x)，且函数g(x)=k(x)-x为偶函数.若211函数k(x)满足下列条件：k(-1)=0；对一切实数x，不等式k(x)x2+恒22成立. 求函数k(x)的表达式； 1112n(nN*). +求证：k(1)k(2)k(n)n+23设函数f(x)=lnx-px+1 求函数f(x)的极值点；

6、当p0时，若对任意的x0，恒有f(x)0，求p的取值范围； ln22ln32 证明：2+2+23lnn22n2-n-1+2(nN,n2). n2(n+1)3 4已知f(x)=ln(1+x)+ax 讨论f(x)的单调性； 证明：(1+2111nN*，n2， )(1+)(1+)e2. 4 6(本题满分14分) 设函数f(x)=(x-1)2+blnx，其中b为常数。 当b=-1时，求函数f(x)的单调区间； 11证明：对任意不小于3的正整数，不等式2ln(n+1)-lnn-16 5 nx1x2）， 若函数f(x)在2,+)上是增函数，求实数a的取值范围； 若函数f(x)在1,e上的最小值为3，求实数

7、a的值 9已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e处的8已知函数f(x)=lnx+切线斜率为3 求实数a的值； 若kZ，且k1恒成立，求k的最大值。 x-1a10已知函数f(x)=x+(aR), g(x)=lnx. x (1) 求函数F(x)=f(x)+g(x)的单调区间； (2) 若关于x的方程求a的值. g(x)=f(x)-2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根, 2x11已知函数f(x)=axlnx+b(a,bR)，在点(e,f(e)处的切线方程是2x-y-e=0。 求实数a、b的值及f(x)的解析式； 若t是正数，设h(x)=f(x)+f(t-x)，求h(x)的最小值； 若关

8、于x的不等式xlnx+(6-x)ln(6-x)ln(k2-72k)对一切x(0,6)恒成立，求实数k的取值范围. 7 12设命题p：函数f(x)=x3-ax-1在区间-1,1上单调递减；命题q：函数y=ln(x2+ax+1)的值域是R如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围 13已知函数f(x)=ln(x+a),g(x)=13x+b，直线l:y=x与y=f(x)的图象6相切 求实数a的值； 若方程f(x)=g(x)在(0,+)上有且仅有两个解x1,x2； 求实数b的取值范围； 比较x1x2+1与x1+x2的大小 14已知f(x)是定义在区间-11，上的奇函数，且f(1)=1，若m

9、,n-1,1，m+n0时，有f(m)+f(n)0。 m+n1解不等式fx+0恒成立，试求实数a的取值范围。 112=x+1+2,x1,+) 解：当a=时,f(x)=22xx7 f(x)在1,+)上单调递增, 当x=1时f(x)的最小值为. 2x2+2x+x2+2x+a当任意x1,+)时，函数f(x)=0恒成立不等式xx2+2x+a0对 x1,+)恒成立。 由x2+2x+a0，得 ax22x， 令g(x)= x22x=(x+1)2+1 ，则g(x)在 1,+)上递减， 当x=1是g(x)最大=3，因此 ，a3 13122设函数f(x)=ax+bx+cx(a,b,cR,a0)的图象在点321(x,

10、f(x)处的切线的斜率为k(x)，且函数g(x)=k(x)-x为偶函数.若函数k(x)满足下2121列条件：k(-1)=0；对一切实数x，不等式k(x)x+恒成立. 22求函数k(x)的表达式； 求证：11+k(1)k(2)+12n(nN*). k(n)n+22解：由已知得：k(x)=f(x)=ax+bx+c. 1分 由g(x)=k(x)- 显然有b=11x为偶函数，得g(x)=ax2+bx+c-x为偶函数， 2211. 2分 又k(-1)=0，所以a-b+c=0，即a+c=.3分 22121x+对一切实数x恒成立， 22 又因为k(x) 9 即对一切实数x，不等式(a-)x+ 显然，当a=1

11、2211x+c-0恒成立. 4分 221时，不符合题意. 5分 21a-成立, k(n)n+2即证11+22321n. 10分 (n+1)22n+4因为1111=-, 12分 (n+1)2(n+1)(n+2)n+1n+211+2+223+11111-+-+2(n+1)2334+1111n-.=-=n+1n+22n+22n+4 所以所以11+k(1)k(2)12n成立. 14分 k(n)n+23设函数f(x)=lnx-px+1 求函数f(x)的极值点； 当p0时，若对任意的x0，恒有f(x)0，求p的取值范围； ln22ln32lnn22n2-n-1(nN,n2). 证明：2+2+20,f(x)

12、在(0,+) 上无极值点 3分 1x=(0,+),f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：当p0时，令f(x)=0， p 10 x f(x) f(x) (0，1) p+ 1 p0 极大值 1(,+?) p 1 7分 p从上表可以看出：当p0 时，f(x)有唯一的极大值点x=111当p0时在x=处取得极大值f=ln，此极大值也是最大值， ppp11要使f(x)0恒成立，只需f=ln?0， p1 ppp的取值范围为1，+) 10分 令p=1，由知，lnx-x+10,lnxx-1，QnN,n2 lnn2n2-1， lnn2n2-11=1-2 11分 22nnnln22ln32lnn21112+2+L

13、+2(1-2)+(1-2)+L+(1-2) 23n23n111=(n-1)-(2+2+L+2) 12分 23n111(n-1)-(+L+) 2334n(n+1)111111=(n-1)-(-+-+L+-) 2334nn+1112n2-n-1=(n-1)-(-)= 2n+12(n+1)结论成立 14分 14分）已知f(x)=ln(1+x)+ax 讨论f(x)的单调性； 证明：(1+2111nN*，n2， )(1+)(1+)0得x0 1+x2f(x)在(0,+)单调递增，在(-,0)单调递减。 当a0且ax+2x+a=0的判别式V0，即a-1时，f(x)0对xR恒成立。 2f(x)在R上单调递减。

14、 11 当-1a0得：ax+2x+a0 21+1-a21-1-a2x解得： aa1+1-a21-1-a2由f(x)0可得：x aaf(x)1+1-a21-1-a21+1-a21-1-a2,上单调递增，在(-,+)上在aaaa单调递减。 综上所述：当a=0时，f(x)在(0,+)单调递增，在(-,0)单调递减； 1+1-a21-1-a2,上单调递增， 当-1a0时f(x)f(0) ln1+x(2)-x0，即ln(1+x)x 2111ln1+41+41+423n 111111=ln1+4+ln1+4+ln1+42+2+?+2n23n23111+1223n(n-1)111111=+-=1-e2. 2

15、0 解：方法一在区间(0,+)上,f(x)=11-ax. 1分 -a=xx-12=-，1则切线方程为y-(-2=)-x(-，1)即当a=2时，f(1=)x+y+1=0 3分 若a0,f(x)是区间(0,+)上的增函数, Qf(1)=-a0,f(ea)=a-aea=a(1-ea)0, f(1)f(ea)0,令f(x)=0得: x=. a1在区间(0,)上, f(x)0,函数f(x)是增函数; a1在区间(,+)上, f(x)0,函数f(x)是减函数; a11故在区间(0,+)上, f(x)的极大值为f=ln-1=-lna-1. aa11由f0,即-lna-1. ae故所求实数a的取值范围是1(,

16、+). 9分 elnx方法二、函数f(x)无零点方程lnx=ax即a=在(0,+)上无实数x解 4分 令g(x)=由lnx1-lnx，则g(x)= xx2g(x)=0即1-lnx=0x2得：x=e 6分 在区间(0,e)上, g(x)0,函数g(x)是增函数; 13 在区间(e,+)上, g(x)1e. 即所求实数a的取值范围(1e,+). 9分 注:解法二只说明了g(x)的值域是-,1e,但并没有证明. (3) 设x1x20,Qf(x1)=0,f(x2)=0,lnx1-ax1=0,lnx2-ax2=0 lnx1+lnx2=a(x1+x2),lnx1-lnx2=a(x1-x2) 原不等式x21

17、x2elnx1+lnx22 a(xlnx1-lnx2x1-x2)1+x2)2x2(x2ln11-x2x1+x2xx 21+x2令x1x=t,则t1,于2lx12-(x12xnt-x22+xt1+1x. ) ( l n 1 ) 12分 2t设函数g(t)=lnt-2(t-1)t+1(t1), 求导得: g(t)=14(t-1)2t-(t+1)2=t(t+1)20 故函数g(t)是(1,+)上的增函数, g(t)g(1)=0 即不等式lnt2(t-1)2t+1成立,故所证不等式x1x2e立. 14分 14 是是成4(本题满分14分) 设函数f(x)=(x-1)+blnx，其中b为常数。 当b=-1

18、时，求函数f(x)的单调区间； 211都成立。 ln(n+1)-lnn0) x21+1-2b1+3=此时f(x)有惟一极小值点x=， 3分 221+31+3)时，f(x)0，所以f(x)在(,+)上为增函数。 5分 当x(222由知b=-1时，函数f(x)=(x-1)-lnx，f(x)有惟一极小值点1+1-2b1+3=， 221+31+3)时，f(x)0，所以f(x)在(0,)上为减函数。 且x(0,22141+31因为当n3时，011+f(1+)，8分 n32n111即恒有02-ln(1+)。所以当n3时恒有ln(n+1)-lnn2成立。 10分 nnn1x-1令函数h(x)=(x-1)-l

19、nx(x0)，则h(x)=1-=， xxh(x)0，所以当x1时，又h(x)在x=1处连续，所以x1,+)时h(x)为增函数。 x=12分 1111，所以h(1+)h(1)，即-ln(1+)0， nnnn11所以ln(n+1)-lnn=ln(1+)， nn11综上可知，当n3时不等式2ln(n+1)-lnn都成立 14分。 nn因为当n3时，12判断f(x)在(-2，()讨论 f(x)的极值点 15 解：(理)由题设函数f(x)定义域是(-2，+)，1分 k2x2+4x+k=函数f(x)=2x+ x+2x+2分 ()当k2时，式的2x+4x+k的D=16-8k=8(2-k)0，又x+20 2x

20、2+4x+kf(x)=0 分 x+2f(x)在(-2，+)上的单调递增 分 () 2x2+4x+k0， (1) 当k2时，由()知f(x)=x+2f(x)在(-2，+)上的单调递增，故f(x)无极值点分 (2) 当k2时，由2x+4x+k=0解得x=2-24-2k，此时f(x)=0 2当x时，2x+4x+k0 22当-2-4-2k-2+4-2k2x时，2x+4x+k0 22分 -2-4-2k2-4-2k-(-2)= 22 当k0时，-2-4-2k2-4-2k-2， 0，22-2+4-2k2x2+4x+k-2x0 ，f(x)=2x+2 16 f(x)在(-2，-2+4-2k-2+4-2k，+)上

21、单增， )上单减，在(22x=-2+4-2k为极小值点，无极大值点分 2-2-4-2k2-4-2k-2， 0，22 当0k0 当-2x时，f(x)=22x+2-2-4-2k-2+4-2k2x2+4x+kx0 时，f(x)=22x+2f(x)在(-2-4-2k-2+4-2k-2-4-k2，)上单减，在(-2，)和222(-2+4-2k，+)上单增， 2-2-4-2k-2+4-2k为极大值点，x=为极小值点分 22-2+4-2k为极小值点，无极大值点；0k2时，2x=综上，k0时，x=x=-2-4-2k-2+4-2k为极大值点，x=为极小值点；k2时，f(x)无极值22点 分 5已知函数f(x)=

22、lnx+2a,aR x若函数f(x)在2,+)上是增函数，求实数a的取值范围； 若函数f(x)在1,e上的最小值为3，求实数a的值 解：f(x)=lnx+f(x)在2,+)上是增函数， f(x)=2a12a，f(x)=-2 xxx12ax-20在2,+)上恒成立，即a在2,+)上恒成立 xx2 17 x，则ag(x)min,x2,+) 2xg(x)=在2,+)上是增函数，g(x)min=g(2)=1a1所以实数a的取值范2令g(x)=围为(-,1 由得f(x)=x-2a，x1,e 2x若2a0，即f(x)0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上是增函数 所以 f(x)min=f(1)=2a=

23、3，解得a=2若12ae，令f(x)=0，得x=2a当1x2a时，f(x)0，所以f(x)在3(1,2a)上是减函数，当2ax0，所以f(x)在(2a,e)上是增函数 所以f(x)mine2 =f(2a)=ln(2a)+1=3，解得a=2若2ae，则x-2a0，即f(x此时f(x)在1,e上是减函数 )0在1,e上恒成立，所以f(x)min=f(e)=1+综上所述，a=e 2a=3，所以a=e e已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3 求实数a的值； 若kZ，且k1恒成立，求k的最大值。 x-121.解：因为f(x)=ax+xlnx，所以f(x)=a+lnx+1 因为

24、函数f(x)=ax+xlnx的图像在点x=e处的切线斜率为3， 所以f(e)=3，即a+lne+1=3 所以a=1 解：由知，f(x)=x+xlnx， 所以k1恒成立，即k1恒成立 x-1x-1令g(x)=x+xlnx， x-1 18 则g(x)=x-lnx-2(x-1)2， 令h(x)=x-lnx-2(x1)， 则h(x)=1-1x-1=0， xx所以函数h(x)在(1,+)上单调递增 因为h(3)=1-ln30， 所以方程h(x)=0在(1,+)上存在唯一实根x0，且满足x0(3,4) 当1xx0时，h(x)0，即g(x)x0时，h(x)0，即g(x)0， 所以函数g(x)=所以 x+xl

25、nx在(1,x0)上单调递减，在(x0,+)上单调递增 x-1g(x)min=g(x0)=x0(1+lnx0)x0(1+x0-2)=x0(3,4) x0-1x0-1所以k0) xG(x)在(0,1)上递减，在(1,+)上递增 求实数m的取值范围，并证明：F(x2)-G(x)G(1)=0 f(x)g(x) 3分 h(x)=f(x)-ag(x) h(1=) 0所以h(x)0的必要条件是h(0)=0，得a=15分 19 当a=1时，由(1)知h(x)0恒成立。 所以a=1 6分 F(x)=f(x)+mg(x)=x2-x+mlnx， 2x2-x+mF(x)=(x0)，F(x)有两个极值点x1、x2等价

26、于 x方程2x2-x+m=0在(0,+)上有两个不等的正根 D01x1+x20 得 0m012由F(x)=0得m=-2x22+x2， 4211设j(x)=x2-x+(x-2x2)lnx,(x0，j(x)j=- 4163+4ln2所以F(x2)- 14分 16111由0x1x2得lnx20，又0mx2-x2+lnx2 8111m(x)=x2-x+lnx,(x0 得m(x)=8x13+4ln2所以m(x)m=- 4163+4ln2所以F(x2)- w w14分 167 已知函数f(x)=x+a(aR), g(x)=lnx. x (1) 求函数F(x)=f(x)+g(x)的单调区间； g(x)=f(

27、x)-2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a的 (2) 若关于x的方程x2 20 值. (1)解: 函数F(x)=f(x)+g(x)=x+a+lnx的定义域为(0,+). xa1x2+x-a F(x)=1-2+=. x2xx12 当D=1+4a0, 即a-时, 得x+x-a0,则F(x)0. 4 函数F(x)在(0,+)上单调递增. 2分 12时, 令F(x)=0, 得x+x-a=0, 4-1-1+4a-1+1+4a0,x2=解得x1=. 22-1+1+4a10. () 若-0,函数F(x)在(0,+)上单调递增. 4 当D=1+4a0, 即a-分 -1+1+4a ()若a0,则x0

28、,时, F(x)0, 2-1+1+4a-1+1+4a,+函数F(x)在区间0,上单调递减, 在区间上单调递增. 22综上所述, 当a0时, 函数F(x)的单调递增区间为(0,+); 6分 当a0时, F(x)的减区间为0,8分 -1+1+4a-1+1+4a,+, 增区间为. 22g(x)lnxalnx(2) 解: 由2=f(x)-2e, 得2=x+-2e, 化为=x2-2ex+a. xxxxlnx1-lnx令h(x)=, 则h(x)=.令h(x)=0, 得x=e. 2xx当0x0; 当xe时, h(x)0. 函数h(x)在区间(0,e)上单调递增, 在区间(e,+)上单调递减. 当x=e时,

29、函数h(x)取得最大值, 其值为h(e)=分 而函数m(x)=x-2ex+a=(x-e)+a-e, 2221. 10e当x=e时, 函数m(x)取得最小值, 其值为m(e)=a-e. 122分 21 当a-e=分 2g(x)112, 即a=e+时, 方程2=f(x)-2e只有一个根. 14xee(本题满分14分) 设函数f(x)=(x-1)+blnx，其中b为常数。 当b=-1时，求函数f(x)的单调区间； 211都成立。 ln(n+1)-lnn0) x21+1-2b1+3=此时f(x)有惟一极小值点x=， 3分 221+31+3)时，f(x)0，所以f(x)在(,+)上为增函数。 5分 当x(222由知b=-1时，函数f(x)=(x-1)-lnx，f(x)有惟一极小值点1+1-2b1+3=， 221+31+3)时，f(x)0，所以f(x)在(0,)上为减函数。 且x(0,22141+31因为当n3时，011+f(1+)，8分