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1、函数恒成立问题参变分离法学 科 数学 课题名称 函数恒成立问题参变分离法 周次 教学目标 教学重难点 函数恒成立问题参变分离法 一、基础知识： 1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时，可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母视为参数。 3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： 已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即
2、可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：(x-1)21等 要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值，若解析式过于复杂而无法求出最值，则也无法用参变分离法解决问题。 4、参变分离后会出现的情况及处理方法： 若f(x)的值域为m,M xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)f(x)min=m xD,g(x)f(x)，则只需要g(a)f(x)，则只需要g(a)f(x)max=M 1 $xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)f(x)max=M $xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)f(x)，则只需
3、要g(a)f(x)min=m 若f(x)的值域为(m,M) xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)m xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)M中对应情况进行对比） $xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)M中对应情况进行对比） $xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)m中对应情况进行对比） $xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)m 5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知，那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理 选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值，进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问
4、题了。 将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。 二、典型例题： 例1：已知函数f(x)=ex-ae-x，若f(x)23恒成立，则实数a的取值范围是_ 思路：首先转化不等式，f(x)=ex+ae-x，即ex+aex23恒成立，观察不等式a与ex便于 2 分离，考虑利用参变分离法，使a,x分居不等式两侧，a-(ex)2+23ex，若不等式恒成立，只需a(-(ex)2+23ex)，令g-(ex)2+23ex=-(ex-3max(x)=)2+3g(x)max=3，所以a3 答案：a3 例2：已知函数f(x)=lnx-ax，若f(x)
5、x2在(1,+)上恒成立，则a的取值范围是_ 思路：恒成立的不等式为lnx-axx2，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法 解：lnx-ax2xlnx-axlnx-x3x，其中x(1,+) 只需要a(xlnx-x3)max，令g(x)=xlnx-x3 g(x)=1+lnx-3x2 g(1)=-2，g(x)=11-6x2x-6x=x0， g(x)在(1,+)单调递减，g(x)g(1)0g(x)在(1,+)单调递减 g(x)0时，2a3x-1+34x，而min3x-1+34x=3x+34x-123x34x-1=2 2a2a1；当x=0时，不等式恒成立；当x0时，2a3x+1+3334x，而3x+1
6、+max4x=1-3x+-4x-2 2a-2a-1 综上所述：-1a1 答案：-1a1 注意：不等式含有绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进而去掉绝对值，在本题中对x进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值，二是参变分离时确定不等号的是否变号。 在求x解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式，替代了原有的构造函数求导出最值的方法，简化了运算。 注意最后确定a的范围时是三部分取交集，因为是对x的取值范围进行的讨论，而无论x取何值，a的值都要保证不等式恒成立，即a要保证三段范围下不等式同时成立，所以取交集。 例4：设函数f(x)=x2-1，对任意的x3,+,fx2m-4m2f(x)f(x
7、-1)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是_ 2思路：先将不等式进行化简可得：xm-1-4m2(x2-1)(x-1)2-1+4(m2-1)，即1222m2-4mxx-2x-3，便于进行分离，考虑不等式两边同时除以x2，可得： x2-2x-3x2-21m2-4m2，x2g(x)=2x-3minx2=-31x-21x+1，12x0,3 最小值g253=-3，1m2-4m2-5312m4-5m2-30即(3m2+1)(4m2-3)0解 4 得：m-,-332U2,+ 答案：m-,-32U3,+2 注意：本题不等式看似复杂，化简后参变分离还是比较容易的，从另一个角度看本题所用不等式为二次不等式，那
8、么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的办法，因为二次项系数为关于m的表达式且过于复杂，而对称轴的形式也不利于下一步的计算。所以在解题时要注意观察式子的结构，能够预想到某种方法所带来的运算量，进而做出选择 例5：若不等式x2+2+x3-2xax对x(0,4)恒成立，则实数a的取值范围是 思路：x2+2+x3-2xaxax2+2+x3-2xx2+x，令f(x)=2+x3-2x，minxx+2+2对绝对值内部进行符号讨论，即f(x)=x+2x+x2-2=xx-2,2x4，而x+2+2-x2x,00解得：x0 g(x)在(-,0)单调递减，在(0,+)单调递增 g(x)min=g(0)=0 x
9、21(0,+)，ax1-(2a+1)x1+lnx10恒成立 即只需f(x)max0 f(x)=2ax-2a-1+12ax2-(2a+1)x+1(2ax-1)(x-1)x=x=x 当a0时，令x=2a+1a6 则f2a+1a=ln2a+1a=ln2+1a0，与f(x)0矛盾 当a0时，2ax-10解得x0时估计f(x)函数值的变化，可发现当x+时，ax2-(2a+1)x0 在选取特殊值时，因为发现x1时，lnx已然为正数，所以只需前面两项相消即可，所以解方程ax2-(2a+1)x=0x=2a+11a=2+a0，刚好符合反例的要求。 例8：若不等式x+22xya(x+y)对任意正数x,y恒成立，则
10、正数a的最小值是 A. 1 B. 2 C. 2+12 D. 22+1 思路：本题无论分离x还是分离y都相对困难，所以考虑将x,y归至不等号的一侧，致力于去求x,y表达式的最值：x+22xya(x+y)ax+22xy，从22xy入手考虑x+ymax使用均值不等式：22xy=2x2yx+2yx+22xyx+(xx+y+2y)x+y=2，所以a2 答案：B 注意：在多变量不等式恒成立问题上处理方式要根据不等式特点灵活选择合适的方法，本7 题分离a与x,y很方便，只是在求二元表达式最值上需要一定的技巧。 本题在求x+22xyx+y的最大值时，还可以从表达式分子分母齐次的特点入手，同时除以x1+22y：
11、x+22xy=x，在通过换元t=yx+y1+yx转化为一元表达式，再求最值即可。 x例9：已知函数f(x)=1+lnxkx ，如果当x1时，不等式f(x)x+1恒成立，求实数k的取值范围. 思路：恒成立不等式为1+lnxkxx+1,只需不等号两侧同时乘以x+1即可进行参变分离，且由于x1,x+10，也不存在不等号变号问题。则可得：k(x+1)(1+lnx)x,只需k(x+1)(1+lnx)即可，设g(x+1)(1+lnx)，尝试利用导数求得最小值， x(x)=minx解：Qx1 1+lnxxk(x+1)(1+lnx)x+1kx 即只需要k(x+1)(1+lnx)x min设g(x)=(x+1)
12、(1+lnx)xg(x)=(x+1)(1+lnx)x-(x+1)(1+lnx)x2=x-lnxx2 令h(x)=x-lnx (分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析） h(x)=1-1x-x=1x Qx1 h(x)0 h(x)在(1,+)单调递增 h(x)h(1)=10 8 g(x)0 g(x)在(1,+)单调递增 g(x)min=g(1)=2 k2 答案：k2 例10：已知函数f(x)=x+xlnx,若kZ,且k1恒成立,则k的最大值为_. 思路：恒成立不等式kf(x)x+xlnxx+xlnxx-1=x-1，k0h(x)在(1,+)单调递增。尽管不能够确定零点，但可以通过零点存在
13、性定理大致的确定零点所在的位置。Qh(3)=1-ln30 $b(3,4)，使得h(b)=0。x(1,b),h(x)0g(x)0，所以g(x)在(1,b)单调递减，在(b,+)单调递增。g(x)min=g(b)=b+blnbb-1，因为h(b)=0即b-lnb-2=0lnb=b-2，g(b)=b+b(b-2)b-1=b(3,4) kb kmax=3 答案：3 注意：本题的一个重要技巧在于对h(x)零点的“设而不求”，在求得h(x)单调增的前提下，判断h(x)的符号零点必不可少，但方程x-lnx-2=0无法求出解。那么卡在这一步是否要放弃重来？不然。可暂用一个变量来表示零点，再用特殊点的函数值将零点控制在一个小的范围内。在本题中这种方法带来方法上的两个突破：第一，能够判断h(x)的符号进而得到g(x)的符号，确定了g(x)的单调性，找到最小值。第二，尽管b不可求，但是本身自带一个方程b-lnb-2=0lnb=b-2，从而达到了一个对数与一次函数的转换。对后面的化简有极大帮助 9 若所求变量在整数集中取值，则求变量的值时不仅可利用等量关系，也可考虑求关于该变量的不等关系，再由其整数性选取符合条件的整数即可。 10
