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1、函数正交以及傅里叶展开式函数的正交解释: 函数的正交是向量正交的推广,函数可看成无穷维向量,在n维空间中两向量正交是借助内积来定义的,设X=(x1,x2,.,xn),Y=(y1,y2,.,yn),则X与Y正交定义为其内积X*Y=x1*y1+x2*y2+.+xn*yn=0, 设f(x),g(x)是定义在a,b区间的可积函数,f(x),g(x)中的自变元类似于(有限维)向量下标,向量X中分量的下标取1,2,.,n这些离散值,而f(x)中的x可连续取a,b中所有的值,因此f(x)是无穷维向量,两向量内积是对应分量之积的有限和,推广到函数空间,两函数内积是对应分量(函数值)之积的无限和,积分是有限和的
2、极限,因此积分表示一个无限和,为了看清这一推广,将向量内积表示为X*Y=x1*y1*1+x2*y2*1+.+xn*yn*1,这个和式中每一项是由X的分量,Y的分量和1相乘之积(1看成下标取1个单位),对应于向量内积的写法,函数内积应写为f(x)g(x)x,它对应了a,b区间某子区间的值,该子区间长为x,它类似于下标,将所有这些值加起来,当最大子区间长为趋于零,有限和变为无限和,其值恰为f(x)g(x)在a,b的积分。 周期信号的傅里叶级数展开 周期信号是定义在(-,)区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号，如图3-1所示。它可表示为 f(t)=f(t+mT) (3-1) 式中：m任意整
3、数， T信号的周期 f(t)10T/2-1Ttf(t)1-T0Tf(t)t1-T0图3-1 周期信号 Tt3.2.1 周期信号的傅里叶级数 三角函数集1, cosw0t, cos2w0t, L, cosnw0t, L, sinw0t, sin2w0t, L, sinnw0t, L在区间(t0, t0+T)(式中T=2pw0)是一个完备正交函数集。 复指数函数集交函数集。 ejnw0t(n=0, 1, 2, L在区间(t0, t0+T)内也是完备正所以函数在(t0, t0+T)区间内可以展开为正交三角函数或是正交复指数函数的加权和，将函数周期化扩展到整个时间轴，就得到周期函数的三角函数级数展开或
4、复指数函数级数展开，它们是傅里叶级数两种不同的表示形式。 1、三角形式傅里叶级数 w=2pf0=2pT，则该信号可展开为下设周期信号f(t)，其周期为T，角频率为面三角形式的傅里叶级数 0f(t)=a0+a1cosw0t+a2cos2w0t+L+b1sinw0t+b2sin2w0t+L =a0+(an=1ncosnw0t+bnsinnw0t)(3-2) an,bn式(3-2)中各正、余弦项的系数1a0=T2a=nTb=2nT t0+T称为傅里叶系数。 t0t0+Tf(t)dtt0t0+Tf(t)cosnw0tdtn=1,2,Lt0f(t)sinnw0tdtn=1,2,L上面积分区间可以是周期信
5、号的任意一个周期。式(3-2)还可写成下列形式， f(t)=A0+An=1ncos(nw0t+jn) (3-4) 式中 A0=a022An=an+bn n=1, 2, L bnjn=-arctgan 若将式(3-4)转化成式(3-2)，其系数之间的关系如下： an=Ancosjn n=1, 2, L bn=-Ansinjn (3-6) a0=A0从物理概念上来说，式(3-4)中 A0信号f(t)的直流分量； 信号f(t)的基波或基波分量，它的角频率与原周期信号信号f(t)的二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，A1cos(w0t+j1)相同，A1是基波振幅，j1是基波初相角； A2cos(2w0
6、t+j2)A2是二次谐波振幅，j2是其初相角； 以此类推，Ancos(nw0t+jn)称为信号f(t)的n次谐波，An是n次谐波振幅，jn是其初相角；n比较大的那些分量有时候又通称为高次谐波。 2、复指数形式傅里叶级数 三角形式傅里叶级数，物理含义明确，但运算不便，因而常用复指数形式的傅里叶f(t)级数。设周期信号的傅里叶级数为 ，其周期为T，角频率为w0=2pf0=2pT，该信号复指数形式f(t)=Fn=-nejnw0t (3-7) 其中 TFn=1T2-f(t)e-jnw0tdt, n=0, 1,2, LT2 (3-8) 称为复指数形式傅里叶级数系数。 三角形式的傅里叶级数物理含义明确，而
7、指数形式的傅里叶级数数学处理方便，而且很容易与后面介绍的傅里叶变换统一起来。两种形式的傅里叶级数的关系可由式表示 f(t)=a0+(n=1an-jbn2ejnw0t+an+jbn2e-jnw0t) =F0+(Fenn=1jnw0t+F-ne-jnw0t)(3-9) 其中： F0=a01Fn=(an-jbn)21F-n=(an+jbn)2n=1,2,3,Ln=1,2,3,L表3-1综合了三角形式和复指数形式的傅里叶级数及其系数之间的关系。图3-2更直观地表示了两种傅里叶级数系数之间的关系。 表3-1 周期信号展开为傅里叶级数 傅里叶系数 形式 傅里叶级数展开式 傅里叶系数 之间关系 a0=1T2
8、Tt0+Tt0+TA0=a0t0f(t)dtAn=an+bn bnan22f(t)=a0+n=1ancosnw0tan=jn=-arctg三角形式 + n=1bnsinnw0tt0f(t)cosnw0tdta0=A0 n=1, 2, Lt0+Tan=Ancosjn2=A0+(Ancosnw0t+jn)b=n=1 nTt0f(t)sinnw0tdt n=1, 2, L bn=-Ansinjnn=1,2,3,L F0=a01指数f(t)=形式 Fn=-nejnw0tFn=1Tt0+Tt0f(t)e-jnw0t(an-jbn)dt 2F-n=Fn=12 n=0, 1, L(an+jbn)n=1,2,3,LIm0jnan2anRe-jbn2FnAn-jbn图3-2 傅里叶级数系数之间的关系
