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1、函数零点与一元二次方程根的分布函数零点与一元二次方程根的分布 函数的零点：对于函数y=f(x)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0acx1x2=0a0，x20(两个正根)推论：x10，x20D=b-4ac0D=b2-4ac0或a0f(0)=c0b0b02x10，x202D=bx1+x2x1x2=-4ac0b=-0a， 推论：x10，x20a0f(0)=c0b0x10x2c0 abb2x10。 0c=0且函数零点与一元二次方程根的分布 1 二一元二次方程的非零分布k分布 +bx+c=0的两实根为x1
2、，x2，且x1x2。k为常数。则一元二次方程根的k分布有以下若干定理。 设一元二次方程ax2D=b2-4ac0k0b-k2ax1x20b-k2ax1kx2af(k)0。 x10x2ac0。 推论2 x11x2a(a+b+c)0。 有且仅有k1x1k2f(k1)f(k2)0f(k)0a0f(k)011k1x1k2p1x2p2f(k)0f(p)01f(p2)0f(p2)0函数零点与一元二次方程根的分布 2 k1x1x20或a0f(k1)0f(k)022bbk1-k2k1-k22a2a三、例题 2 若一元二次方程kx+3kx+k-3=0的两根都是负数，求k的取值范围。 k在何范围内取值，一元二次方程
3、kx+3kx+k-3=0有一个正根和一个负根？ 2 已知方程x-11x+m-2=0的两实根都大于1，求m的取值范围。 若一元二次方程mx若一元二次方程mx 222-(m+1)x+3=0的两个实根都大于-1，求m的取值范围。 -(m+1)x+3=0的两实根都小于2，求m的取值范围。 已知方程x+2mx+2m-3=0有一根大于2，另一根比2小，求m的取值范围。 已知方程x222+(m-2)x+2m-1=0有一实根在0和1之间，求m的取值范围。 例1、例2、 51129）2、3、 例3、1、 ） 2 没有零点 有且仅有一个零点有且仅有两个零点 有无穷多个零点 4、 已知f(x)是R上最小正周期为2的
4、周期函数，且当0x0，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 6、设函数A.a若x1f(x2)，则实数a的取值范围是 f(x)=x2+(2a-1)x+4，1 2B.a1 2 C.a0，不存在实数c(a,b)使得f(c)=0； f(a)f(b)0，有可能存在实数c(a,b)使得f(c)=0； f(a)f(b)0，有可能不存在实数c(a,b)使得f(c)=0； y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是 函数零点与一元二次方程根的分布 4 10如果二次函数 A11直线(-2,6) B-2,6 C-2,6 D(-,-2)U(6,+) 的图象的交点个数为 y=3与函数y=x2
5、-6xA4个 B3个 C2个 D1个 12若方程x3-x+1=0在区间(a,b)(a,bZ,且b-a=1)上有一根，则a+b的值为 A-1 B-2 C-3 D-4 二、填空题 13、已知函数2x2，若关于x的方程,f(x)=x(x-1)3,x2f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_. 14函数15函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为 。 11f(x)对一切实数x都满足f(+x)=f(-x)，并且方程f(x)=0有三个实根，则这三个实根的和22为 。 16若函数f(x)=4x-x2-a的零点个数为3，则a=_。 三解答题 17、已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
6、(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 18、若方程x2+(k+2)x-k=0的两实根均在区间内，求k的取值范围。 19、若方程x 20、若方程4 函数零点与一元二次方程根的分布 5 x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围。 +(m-3)2x+m=0有两个不相同的实根，求m的取值范围。 21、若关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一的实根，求实数a的取值范围。 参考答案： 一、选择题 ADBADC CCCDAC
7、二、填空题 13 14、2 15、1.5 16、4 三解答题 17、(1)-151m-.(2) -m1-2 6223k-1） 218、 2320、0m1 2x0 x+20x021、提示：原方程等价于即 22x+12x+6a+3=0x+20x=8x-6a-32令f(x)=x+12x+6a+3 11(1) 若抛物线y=f(x)与x轴相切，有=1444(6a+3)=0即a=。 21111将a=代入式有x=6不满足式，a。 22(2) 若抛物线y=f(x)与x轴相交，注意到其对称轴为x=6，故交点y O x 6 f(-20)0163120 解得-a-。 62f(0)01631当-a-时原方程有唯一解。 622另法：原方程等价于x+20x=8x6a3(x0) 2问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y=8x6a3与抛物线y=x+20x(x0)有且只有一的横坐标有且仅有一个满足式的充要条件是 个公共点。 x2+12x+3=26a(x0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物线y=x+12x+3和直线y=6a，如图，显然当36a1631a-时直线y=6a与抛物线有且只有一个公共点。 163即-62y 虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将变形为 163 O 3 20 函数零点与一元二次方程根的分布 6 6 x
