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1、函数概念的学习与理解函数概念的学习与理解 丹阳五中 吴延俊 摘要：函数概念是重要的数学概念，学好函数概念是应用函数知识解决问题的前提函数的传统定义与近代定义叙述不同，但实质都是从非空数集A 到非空数集B的一个特殊的对应；函数概念包括定义域、值域及对应法则三个要素，缺一不可；映射从集合论的角度进一步定义函数，学习映射也有利于函数概念的学习 一、函数定义 基本定义 定义1：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，与x值对应的y值叫函数值 定义2 ：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个
2、数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x值对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集 定义分析 定义1是函数的传统定义，定义2是函数的近代定义两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发函数的实质都是从非空数集A 到非空数集B的一个特殊的对应 1举例：正比例函数y=3x反比例函数y= x解析：是对于每一个实数x，都有惟一的实数y与其对应，y是x的3倍；非空
3、数集A、B是实数集R，对应关系f是乘3 对每个不等于0的实数，都有惟一的实数y与其对应，y是x的倒数；非空集合A是不等于0的全体实数组成的集合xR|x0，非空集合B可以是实数集R，对应关系f是求倒数 从以上两个例子中，可以进一步明确函数的两个定义本质上是相同的，只是叙述方式略有不同符号y=f(x)表示的是“y是x的函数”的数学表示，理解为：x是自变量，它是对应关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可1 以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量x的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式，而y=f(x)仅
4、仅是函数符号，表示的是与x对应的函数值 定义学习 在初中阶段主要学习了函数的传统定义、一次函数、二次函数、反比例函数；在高中阶段还会学习函数的近代定义以及更多的函数，如：对数函数、指数函数、三角函数等因为任何函数都属于函数，都具有函数的共同特征，所以函数概念的学习尤为重要 学习函数的概念可以通过概念的同化和知识的迁移来完成因为在初中阶段已经学过函数的定义，学生对于函数的概念已经基本形成，学生认知结构中已有概念的基础，教师可以以定义的方式用准确的语言直接向学生讲授函数概念，突出函数概念的关键特征，控制无关特征，运用恰当的正例与反例，从而使学生获得函数概念同时，由于函数的传统定义已经学习过，在学习
5、函数的近代定义时会发生学习的迁移为了防止产生负迁移，教师应该有意识地引导学生发现不同知识之间的共同点和不同点，启发学生进行概括，指导学生运用已有的知识去学习新的知识 函数的传统定义指出了函数中y和x的关系，同时涉及到两个集合，即自变量的取值范围和函数值的取值范围，但这两个集合在定义中都没有说明近代定义中既概括了x与y之间的对应关系是f，还明确地指出x的取值范围是集合A，y的取值范围是集合B，比函数的传统定义更具体，特点更明显 二、函数三要素 函数的三要素 由函数的近代定义知函数概念包括三个要素：定义域A、值域C、对应法则f 定义域A是自变量x的取值范围，是构成函数不可缺少的组成部分值域之所以用
6、C而不用B表示，那是因为值域C是集合B的子集；集合B中不仅包含与任意x相对应的y值，还可能包含其它数值，故集合B包含集合C函数的值域是由函数的定义域A和对应法则f确定的 例1：对应法则f就是集合A到集合B的函数吗？ 答：不是集合A、B以及对应法则f一起称为集合A到集合B的函数 1例2：写出y=的定义域、值域 x2 解：函数定义域A是x|x0，值域C是y|y0与例2相比较，集合B可以是R，而值域C是y|y0，显然CB；同时集合B也可以是值域C，但是不能是C的真子集 三要素的几点说明 1定义域不同，两个函数不同；如：f(x)=x,(xZ)与g(x)=x,(xR) 2对应法则不同，两个函数不同；如：
7、f(x)=x,(xR)与g(x)=2x,(xR) 3定义域、值域分别相同的函数，也不一定是同一个函数，还要看对应法则；如：f(x)=x,(xR,yR)与g(x)=2x,(xR,yR)不同；f(x)=|x|,与g(x)=x2相同 4f(x)与f(a的区别f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量 例3：判断(1)y=x,(2)y=|x|,(3)y=x2表示的是否为同一函数？ 解：y=x的定义域是xR，值域是yR，对应法则是y的值等于x的值； y=|x|的定义域是R,值域是y|y0，对应法则是y等于x的绝对值； y=x2的定义域是xR，值域是y|y0，对应法则是y等于x的绝对值； 根据函数
8、的三要素，判断和表示的是同一函数 注意：由于值域是由定义域和对应法则来决定，当且仅当定义域和对应法则分别相同时，函数才是同一函数 例4：判断f(x)=5x+1与g(t)=5t+1是否为同一函数？ 解：f(x)=5x+1与g(t)=5t+1的定义域、值域、对应法则完全相同，故是同一函数 注意：函数是两个数集之间的对应关系，与使用什么字母来表示自变量、因变量以及对应关系都是无关的 三、函数与映射 映射的定义及特点 1定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射 2
9、映射特点：映射中集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合，同时两个集合必须有先后次序，从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射截然不同；映射包括集合A、B以及A到B的对应法则f，三者缺一不可；对于一个从集合A3 到集合B的映射，A中的每一个元素必有唯一的象，但B中的每一个元素却不一定都有原象，也不一定只有一个原象 例5：判断下列关系是不是集合A到集合B的映射？ A=B=R,对应法则f:xy=x A=0,1,2,4,9,B=0,1,4,9,64,对应法则f:ab=(a-1)2 解：集合A中的负数在集合B中没有元素与之对应，并且一个原象有两个象，故不 是映射； 集合A中的0，1，2，4，
10、9分别对应集合B中的1，0，1，9，64，一个原象有惟一确定象，故是映射 例6：试举两例生活中的映射 解：每本书的封底都有一个条形码，这个条形码与书之间是一个映射； 每个学校都给该校的学生编写一个学号，学号与学生之间是映射 函数与映射 通过学习映射的概念可以进一步理解函数，即： 集合A、B是非空数的集合，且B中的每一个元素都有原象时，映射f:AB，就是从定义域A到值域B的函数记作：y=f(x),xA,yB简记：一个数集到另一个数集的映射，即称函数 举例：映射y=3x2+5x-4 (xR)；我国的每位居民与他的身份证号之间的映射；平面上的点到其坐标的对应关系是从平面上的点集到二元实数集 (x,y
11、)|x,yR的一个映射与函数关系 解析：是二次函数，是从定义域R到值域R的函数. 不是函数.因为居民与其身份证号的集合都不是数集,故不是函数. 不是函数.因为平面上的点构成的集合是点集不是数集，故不是函数. 映射中的集合可以是数集、点集或其他集合；而函数中的集合只能是数集，可以说函数是特殊的映射映射的范围要广于函数，可以更广泛地应用于实际生活中 函数概念既是中学数学的学习重点也是学习难点。函数概念在初中采用“变量说”，在高中采用“对应说”，它的学习决不是单纯的知识记忆。只有充分理解函数的本质，抓住函数的三要素分析其性质、根据实际情况构造函数，将实际生活与数学知识有机的结合起来，为将来进一步学习打下良好的基础；而学生也只有真正地理解、掌握函数概念的本质属性，才能增强其使用函数知识解决问题的灵活性，从而提高自身的数学素养和应用数学的能力 4
