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1、函数知识点汇总和解题思路一种特殊的对应：映射 9 4 1 开平方 求正弦 3 -3 2 -2 1 -1 30 45 60 90 122 23211 -1 2 -2 3 -3 求平方 乘以2 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个元素与此相对应。 2对应的形式：一对多、多对一、一对一 3映射的概念：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。 4注意映射是有方向性的。 5符号：f ： A B 集合A到集合B的映射。 6讲解：象与原象定义。 再举例：1A=1,2,3,4 B=3,4,5,6,7,8,9 法则：乘2加1 是映射 2A=N+ B=0,1
2、 法则：B中的元素x 除以2得的余数 是映射 3A=Z B=N* 法则：求绝对值 不是映射 4A=0,1,2,4 B=0,1,4,9,64 法则：f ：a b=(a-1)2 是映射 一一映射 观察上面的例图 得出两个特点： 1对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象 2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象 即集合B中的每一个元素都有原象。 从映射的观点定义函数： 1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射 f：A B 这里 A, B 非空。 2A：定义域，原象的集合 B：值域，象的集合其中C B f：对应法则 xA yB 3函数符号：y=f(x) y 是 x 的函数，简记 f(x
3、) 1 函数的三要素： 对应法则、定义域、值域 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1y1=(x+3)(x-5)x+3y2=x-5 解：不是同一函数，定义域不同 2。 y1=x+1x-1 y2=(x+1)(x-1) 解：不是同一函数，定义域不同 3。 f(x)=x g(x)=x2 4 解：不是同一函数，值域不同 f(x)=x F(x)=3x3 解：是同一函数 5f1(x)=(2x-5)2 f2(x)=2x-5 解：不是同一函数，定义域、值域都不同 关于复合函数 设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 则称 fg(x)为
4、复合函数。 fg(x)=2(x2+2)-3=2x2+1 gf(x)=(2x-3)2+2=4x2-12x+11 例：已知：f(x)=x-x+3 求：f(21) f(x+1) x111 解：f=2-+3 f(x+1)=(x+1)2-(x+1)+3=x2+x+3 xxx1. 函数定义域的求法 l 分式中的分母不为零； l 偶次方根下的数大于或等于零； l 指数式的底数大于零且不等于一； l 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 l 正切函数y=tanx.(xR,且xkp+p2,kZ)(xR,且xkp,kZ) l 余切函数y=cotx l 反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理) -函
5、数yarcsinx的定义域是 1, 1 ，值域是pp,22， 函数yarccosx的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ， (-函数yarctgx的定义域是 R ，值域是pp,)22， 2 函数yarcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, ) . 注意， 1. 复合函数的定义域 x-1(1,3)2-x(1,3) f(x)F(x)=f(x-1)+f(2-x)如：已知函数的定义域为，则函数的定义域。2. 函数f(x)的定义域为(a,b),函数g(x)的定义域为(m,n), g(x)(a,b)x(m,n)，解不等式，最后结果才是 fg(x)则函数的定义域为3.这里最容易犯错的地方在这里： 已知函
6、数f(x-1)的定义域为(1,3),求函数f(x)的定义域；或者说，已知函数f(x-1)的定义域为(3,4), 则函数f(2x-1)的定义域为_? 2. 函数值域的求法 函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题, 对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 y=例 求函数1,x1,2x的值域 、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 2y=x-2x+5,xR的值域。 例、求函数、根判别式法
7、 对二次函数或者分式函数都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如: 3 b型：直接用不等式性质2k+xbxb. y=2型,先化简，再用均值不等式x+mx+nx11 例：y=121+x2x+xx2+mx+nc. y=2型 通常用判别式x+mx+nx2+mx+nd. y=型 x+n 法一：用判别式a. y= 法二：用换元法，把分母替换掉2x2+x+1-+1 1 例：y=+-12-1=1x+1x+1x+1 4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 y=例 求函数3x+45x+6值域。 y=3x+46y-435
8、xy+6y=3x+4x=y5x+63-5y,分母不等于0,即5 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。 我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 ex-12sinq-12sinq-1y=y=y=x1+sinq，1+cosq的值域。 e+1，例 求函数 4 ex-11+yy=xex=01-ye+12sinq-11+yy=|sinq|=|1,1+sinq2-y2sinq-1y=2sinq-1=y(1+cosq)1+cosq2sinq-ycosq=1+y4+y2sin(q+x)=1+y,即sin(q+x)=1+y4+y21+y4+y2又由sin(q+x)1知1解不等式，求出y，就是要求的答案10.倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 y=例 求函数x+2x+3的值域 x+2x+3x+20时，1x+2+1=x+2+yx+2y=x+2=0时，y=00y121x+220y12多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时， 首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 5
