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1、函数对称性与周期性几个重要结论赏析函数对称性与周期性几个重要结论赏析 对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、 几个重要的结论 函数图象本身的对称性 1、函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)的充要条件是y=f(x)的图象关于直线x=T对称。 2、函数y=f(x)满足f(x)=f(2T-x)的充要条件是y=f(x)的图象关于直线x=T对称。 3、函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)的充要条件是y=f(x)图象关于直线x=(a+x)+(b-x)a+b对称。 =224、如果函数则y=f(x)满足f(T1+x)=
2、f(T1-x)且f(T2+x)=f(T2-x)，y=f(x)是以为2(T2-T1)为周期的周期函数。 5、如果奇函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)，则函数y=f(x)是以4T为周期的周期性函数。 6、如果偶函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)，则函数y=f(x)是以2T为周期的周期性函数。 两个函数的图象对称性 y=f(x)与y=-f(x)关于X轴对称。 2、曲线y=f(x)与y=f(-x)关于Y轴对称。 3、曲线y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。 4、曲线f(x,y)=0关于直线x=b对称曲线为f(x,2b-y)=0。 5、曲线f(x,y)=0关于直线
3、x+y+c=0对称曲线为f(-y-c,-x-c)=0。 6、曲线f(x,y)=0关于直线x-y+c=0对称曲线为f(y-c,x+c)=0。 7、曲线f(x,y)=0关于点P(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0。 1、曲线二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数则xf(x)恒满足f(1+x)=f(1-x)，且x(-1,0)时, f(x)=2+1,5f(log220)=_。 2、已知函数y=f(x)满足f(x)+f(2-x)=0，则y=f(x)图象关于_对称。 3、函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于关于_对称。 4、设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x-
4、1)=f(1-x)，则y=f(x)的图象关于_5、设函数对称。 y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x+1)的图象关于_对称。y=f(x)图象关于_对称。 6、设y=f(x)的定义域为R，且对任意xR，有f(1-2x)=f(2x)，则y=f(2x)图象关于_对称，y=f(x)关于_对称。 7、已知函数y=f(x)对一切实数x满足f(2-x)=f(4+x)，且方程f(x)=0有5个实根，则这5个实根之和为 A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数 y=f(x)的定义域为R，则下列命题中，若y=f(x)是偶函数，则y=f(x+2)图象1 y=f(x+2)是
5、偶函数，则y=f(x)图象关于直线x=2对称；若f(x-2)=f(2-x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=2对称；y=f(x-2)与y=f(2-x)图象关于直线x=2对称，其中正确命题序号为_。 9、函数y=f(x)定义域为R，且恒满足f(x+2)=f(2-x)和f(6+x)=f(6-x)，当 12x6时，f(x)=2-x，求f(x)解析式。 210、已知偶函数y=f(x)定义域为R，且恒满足f(x+2)=f(2-x)，若方程f(x)=0在0,4上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(-8,10中的根。 关于y轴对称；若附参考答案： T1：-1 T2：(1,0) T3：x=1 T4：y轴即x=0 T5：y轴x=1 11T6：x=x= T7：C T8： 421(x-8k)(8k-2x8k+2,kZ)2 T9：f(x)=-1(x-8k)+2(8k+2x8k+6,kZ)20、2、4、6、8、10共9个根。 T10：方程的根为-6、-4、-2、 2
